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2023-2024学年河南省南阳市邓州市十林中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省南阳市邓州市十林中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．比较2，，的大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6≤a＜﹣5B．﹣6＜a≤﹣5C．﹣6＜a＜﹣5D．﹣6≤a≤﹣5
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，B．，，C．6，7，8D．2，3，4
4．今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.147×102B．0.2147×103
C．2.147×1010D．0.2147×1011
5．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1
6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
A．15B．18C．21D．24
8．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8B．﹣8C．4D．﹣4
9．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：（+）（﹣）2＝ ．
12．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝ ．
13．若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，AD平分∠B′AC，则∠B′CD＝ ．
15．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为 ．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．解方程：+1＝．
18．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
20．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
21．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中a的值为 ；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.75m的运动员能否进入复赛．
22．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．比较2，，的大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．
解：∵26＝64，，，而49＜64＜125，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键．
2．不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6≤a＜﹣5B．﹣6＜a≤﹣5C．﹣6＜a＜﹣5D．﹣6≤a≤﹣5
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解有3个整数解，可得答案．
解：不等式组，
由﹣x＜﹣1，解得：x＞4，
由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，
故不等式组的解集为：4＜x≤2﹣a，
由关于x的不等式组有3个整数解，
解得：7≤2﹣a＜8，
解得：﹣6＜a≤﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，B．，，C．6，7，8D．2，3，4
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
解：A、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；
C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合题意；
D、∵22+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.147×102B．0.2147×103
C．2.147×1010D．0.2147×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：214.7亿，用科学记数法表示为2.147×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1
【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．
解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，
∴点C表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．
解：设这个多边形的边数为n，则
（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
故这个多边形为六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°解答．
7．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
A．15B．18C．21D．24
【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题．
解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD＝18，
∵OD＝OB，DE＝EC，
∴OE+DE＝（BC+CD）＝9，
∵BD＝12，
∴OD＝BD＝6，
∴△DOE的周长为9+6＝15，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
8．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8B．﹣8C．4D．﹣4
【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah＝k1，bh＝k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，求出k1﹣k2＝8．
解：∵AB∥x轴，
∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah＝k1，bh＝k2．
∵S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，
∴k1﹣k2＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．
9．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】三角形的外心是各边垂直平分线的交点，有差评得即可．
解：三角形的外心的各边垂直平分线的交点，选项C满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外心等知识，解题关键是读懂图象信息，理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
10．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，则△BPE为等边三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP＝3，PE＝4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．
则△ABC的面积是•AB2＝•（25+12）＝．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：（+）（﹣）2＝ ﹣ ．
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
解：原式＝[（+）（﹣）]（﹣）
＝（3﹣2）（﹣）
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
12．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝ （y﹣1）2（x﹣1）2 ．
【分析】式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点，设x+y＝a，xy＝b，将a、b代入原式，进行因式分解，然后再将x+y、xy代入进行因式分解．
解：令x+y＝a，xy＝b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
＝（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
＝b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
＝（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
＝（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
＝（b﹣a+1）2；
即原式＝（xy﹣x﹣y+1）2＝[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2＝[（y﹣1）（x﹣1）]2＝（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了多项式的因式分解，因式分解要根据所给多项式的特点，选择适当的方法，对所给多项式进行变形，套用公式，最后看结果是否符合要求．
13．若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥0 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
解：若式子﹣2在实数范围内有意义，
则x的取值范围是：x≥0．
故答案为：x≥0．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
14．把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，AD平分∠B′AC，则∠B′CD＝ 30° ．
【分析】先根据翻折变换的性质得出∠B′AC＝∠BAC，再由AD平分∠B′AC得出∠B′AD＝∠DAC，再由矩形的性质得出∠DAC的度数，故可得出∠B′AD的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵△AB′C由△ABC翻折而成，
∴△AB′C≌△ABC，
∴∠∠B′AC＝∠BAC．
∵AD平分∠B′AC，
∴∠B′AD＝∠DAC．
∵∠BAC+∠DAC＝90°，即3∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠B′AD＝30°．
∵∠B′＝∠D＝90°，∠AEB′＝∠CED，
∴∠B′CD＝∠B′AD＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
15．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为 13 ．
【分析】根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△DEA；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．
解：∵ABCD是正方形（已知），
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°，
∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）；
在Rt△AFB和Rt△DEA中，
∵，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等），
∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质．实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝ ．
【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．解方程：+1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：x﹣1+x﹣3＝﹣2，
移项合并得：2x＝2，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣3＝1﹣3＝﹣2≠0，
则x＝1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1
＝﹣1﹣2×+4
＝3
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∵BD＝＝2，
∴OB＝BD＝，
∵BD⊥EF，
∴EO＝＝，
∴EF＝2EO＝．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
20．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将点C的坐标代入求得m的值即可；
（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设D（x，x2﹣x﹣2），则DF＝﹣x2+2x，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；
（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点E，EA＝EC＝EB＝，过D作y轴的垂线，垂足为R，交AC的延线于G，设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x，最后，分为∠DCM＝2∠BAC和∠MDC＝2∠BAC两种情况列方程求解即可．
解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．
设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．
∴S△BCD＝OB•DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．
（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AC＝，BC＝2，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
取AB的中点E，连接CE，则CE＝BE，
∴∠OEC＝2∠ABC．
∴tan∠OEC＝＝．
当∠MCD＝2∠ABC时，则tan∠CDR＝tan∠ABC＝．
设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x．
∴＝，解得：x＝0（舍去）或x＝2．
∴点D的横坐标为2．
当∠CDM＝2∠ABC时，设MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．
∵tan∠MGD＝，
∴GM＝6k，GD＝3k，
∴GC＝MG﹣CM＝2k，
∴GR＝k，CR＝k．
∴RD＝3k﹣k＝k．
∴＝＝，整理得：﹣x2+x＝0，解得：x＝0（舍去）或x＝．
∴点D的横坐标为．
综上所述，当点D的横坐标为2或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中a的值为 25 ；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.75m的运动员能否进入复赛．
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以求得a的值；
（2）根据条形统计图中的数据可以得到该组数据的众数、中位数和平均数；
（3）根据条形统计图中的数据可以解答本题．
解：（1）a%＝1﹣10%﹣20%﹣30%﹣15%＝25%，
即a的值是25．
故答案为：25，
（2）由条形统计图可知，
这组平均数是：＝1.71（m），
在这组数据中，1.75出现了6次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是1.75m，
把这些数从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是1.70，
则中位数是＝1.70（m），
（3）初赛成绩为1.75m的运动员能进入复赛，
理由：由条形统计图可知前9名的成绩，最低是1.75m，故初赛成绩为1.75m的运动员能进入复赛．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数＝甲品牌粽子节省的钱数+乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数．
解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
（2）80×40×（1﹣80%）+100×120×（1﹣75%）＝3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
1．比较2，，的大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6≤a＜﹣5B．﹣6＜a≤﹣5C．﹣6＜a＜﹣5D．﹣6≤a≤﹣5
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，B．，，C．6，7，8D．2，3，4
4．今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.147×102B．0.2147×103
C．2.147×1010D．0.2147×1011
5．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1
6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
A．15B．18C．21D．24
8．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8B．﹣8C．4D．﹣4
9．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：（+）（﹣）2＝ ．
12．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝ ．
13．若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，AD平分∠B′AC，则∠B′CD＝ ．
15．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为 ．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．解方程：+1＝．
18．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
20．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
21．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中a的值为 ；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.75m的运动员能否进入复赛．
22．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．比较2，，的大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．
解：∵26＝64，，，而49＜64＜125，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键．
2．不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6≤a＜﹣5B．﹣6＜a≤﹣5C．﹣6＜a＜﹣5D．﹣6≤a≤﹣5
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解有3个整数解，可得答案．
解：不等式组，
由﹣x＜﹣1，解得：x＞4，
由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，
故不等式组的解集为：4＜x≤2﹣a，
由关于x的不等式组有3个整数解，
解得：7≤2﹣a＜8，
解得：﹣6＜a≤﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，B．，，C．6，7，8D．2，3，4
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
解：A、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；
C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合题意；
D、∵22+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.147×102B．0.2147×103
C．2.147×1010D．0.2147×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：214.7亿，用科学记数法表示为2.147×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1
【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．
解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，
∴点C表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．
解：设这个多边形的边数为n，则
（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
故这个多边形为六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°解答．
7．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
A．15B．18C．21D．24
【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题．
解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD＝18，
∵OD＝OB，DE＝EC，
∴OE+DE＝（BC+CD）＝9，
∵BD＝12，
∴OD＝BD＝6，
∴△DOE的周长为9+6＝15，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
8．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8B．﹣8C．4D．﹣4
【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah＝k1，bh＝k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，求出k1﹣k2＝8．
解：∵AB∥x轴，
∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah＝k1，bh＝k2．
∵S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，
∴k1﹣k2＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．
9．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】三角形的外心是各边垂直平分线的交点，有差评得即可．
解：三角形的外心的各边垂直平分线的交点，选项C满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外心等知识，解题关键是读懂图象信息，理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
10．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，则△BPE为等边三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP＝3，PE＝4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．
则△ABC的面积是•AB2＝•（25+12）＝．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：（+）（﹣）2＝ ﹣ ．
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
解：原式＝[（+）（﹣）]（﹣）
＝（3﹣2）（﹣）
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
12．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝ （y﹣1）2（x﹣1）2 ．
【分析】式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点，设x+y＝a，xy＝b，将a、b代入原式，进行因式分解，然后再将x+y、xy代入进行因式分解．
解：令x+y＝a，xy＝b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
＝（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
＝b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
＝（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
＝（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
＝（b﹣a+1）2；
即原式＝（xy﹣x﹣y+1）2＝[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2＝[（y﹣1）（x﹣1）]2＝（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了多项式的因式分解，因式分解要根据所给多项式的特点，选择适当的方法，对所给多项式进行变形，套用公式，最后看结果是否符合要求．
13．若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥0 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
解：若式子﹣2在实数范围内有意义，
则x的取值范围是：x≥0．
故答案为：x≥0．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
14．把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，AD平分∠B′AC，则∠B′CD＝ 30° ．
【分析】先根据翻折变换的性质得出∠B′AC＝∠BAC，再由AD平分∠B′AC得出∠B′AD＝∠DAC，再由矩形的性质得出∠DAC的度数，故可得出∠B′AD的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵△AB′C由△ABC翻折而成，
∴△AB′C≌△ABC，
∴∠∠B′AC＝∠BAC．
∵AD平分∠B′AC，
∴∠B′AD＝∠DAC．
∵∠BAC+∠DAC＝90°，即3∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠B′AD＝30°．
∵∠B′＝∠D＝90°，∠AEB′＝∠CED，
∴∠B′CD＝∠B′AD＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
15．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为 13 ．
【分析】根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△DEA；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．
解：∵ABCD是正方形（已知），
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°，
∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）；
在Rt△AFB和Rt△DEA中，
∵，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等），
∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质．实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝ ．
【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．解方程：+1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：x﹣1+x﹣3＝﹣2，
移项合并得：2x＝2，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣3＝1﹣3＝﹣2≠0，
则x＝1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1
＝﹣1﹣2×+4
＝3
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∵BD＝＝2，
∴OB＝BD＝，
∵BD⊥EF，
∴EO＝＝，
∴EF＝2EO＝．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
20．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将点C的坐标代入求得m的值即可；
（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设D（x，x2﹣x﹣2），则DF＝﹣x2+2x，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；
（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点E，EA＝EC＝EB＝，过D作y轴的垂线，垂足为R，交AC的延线于G，设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x，最后，分为∠DCM＝2∠BAC和∠MDC＝2∠BAC两种情况列方程求解即可．
解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．
设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．
∴S△BCD＝OB•DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．
（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AC＝，BC＝2，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
取AB的中点E，连接CE，则CE＝BE，
∴∠OEC＝2∠ABC．
∴tan∠OEC＝＝．
当∠MCD＝2∠ABC时，则tan∠CDR＝tan∠ABC＝．
设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x．
∴＝，解得：x＝0（舍去）或x＝2．
∴点D的横坐标为2．
当∠CDM＝2∠ABC时，设MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．
∵tan∠MGD＝，
∴GM＝6k，GD＝3k，
∴GC＝MG﹣CM＝2k，
∴GR＝k，CR＝k．
∴RD＝3k﹣k＝k．
∴＝＝，整理得：﹣x2+x＝0，解得：x＝0（舍去）或x＝．
∴点D的横坐标为．
综上所述，当点D的横坐标为2或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中a的值为 25 ；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.75m的运动员能否进入复赛．
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以求得a的值；
（2）根据条形统计图中的数据可以得到该组数据的众数、中位数和平均数；
（3）根据条形统计图中的数据可以解答本题．
解：（1）a%＝1﹣10%﹣20%﹣30%﹣15%＝25%，
即a的值是25．
故答案为：25，
（2）由条形统计图可知，
这组平均数是：＝1.71（m），
在这组数据中，1.75出现了6次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是1.75m，
把这些数从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是1.70，
则中位数是＝1.70（m），
（3）初赛成绩为1.75m的运动员能进入复赛，
理由：由条形统计图可知前9名的成绩，最低是1.75m，故初赛成绩为1.75m的运动员能进入复赛．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数＝甲品牌粽子节省的钱数+乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数．
解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
（2）80×40×（1﹣80%）+100×120×（1﹣75%）＝3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
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