28，河南省南阳市方城县2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题

这是一份28，河南省南阳市方城县2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题，共17页。试卷主要包含了2章， 二元一次方程 的一个解是等内容，欢迎下载使用。

测试范围：第6章－第7.2章
注意事项：
1.本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟．
2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上．
3.答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 在下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【详解】A. 未知数最高次数2，不是一元一次方程，故不符合题意；
B. 有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意；
C. 右边不是整式不是一元一次方程，故不符合题意；
D. 是一元一次方程，故符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义：含有一个未知数，未知数的次数是一次的整式方程，是解本题的关键．
2. 下列运用等式性质的变形中，正确的是( )
A. 如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB. 如果a＝5，那么a2＝5a2
C. 如果ac＝bc，那么a＝bD. 如果＝，那么a＝b
【答案】D
【解析】
【分析】根据等式的基本性质对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：A、如果a＝b，那么a+c＝b+c，故错误；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。B、如果a＝5，那么a2＝5a，故错误；
C、如果ac＝bc，那么a＝b(c≠0)，故错误；
D、如果，那么a＝b，故正确；
故选D．
【点睛】考查的是等式的基本性质，熟知等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解答此题的关键．
3. 已知关于x的方程的解是，则a的值等于（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】将代入，再解出a即可．
【详解】将代入，得：，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
4. 二元一次方程 的一个解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别将选项中的解代入方程，使等式成立的即是它的解．
【详解】A选项，能使方程成立,故该选项正确，符合题意；
B选项，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；
C选项，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；；
D选项，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握，即可解题．
5. 解方程时，去分母、去括号后，正确的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对原方程按要求去分母，去括号得到变形后的方程，再和每个选项比较，选出正确选项．
【详解】，
去分母，两边同时乘以6为：
去括号为：．
故选：C
【点睛】此题考查解一元一次方程的去分母和去括号，注意去分母是给方程两边都乘以分母的最小公倍数；去括号时，括号前是负号括在括号内的各项要变号．
6. 关于x，y的二元一次方程组，用代入法消去y，得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据代入消元法，即可得出结论．
【详解】解：方程：，
把式代入式，可得：，
整理，可得：，
故选：D
【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，解本题的关键在熟练掌握代入消元法．
7. 如图，其中(a)(b)中天平保持左右平衡，现要使(c)中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ）
A. 25克B. 30克C. 40克D. 50克
【答案】C
【解析】
【分析】设一个圆形重x克，一个三角形重y克，根据题意建立方程组，求出方程组的解即可得出一个圆形和一个三角形的重量．
【详解】解：设一个圆形重x克，一个三角形重y克，由题意，得： ，
解得：，
2x+y=40．
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，用到的知识点是二元一次方程组的解法，根据图形列出方程组是解题的关键．
8. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，令，，可得，由题意得到，即可求解．
详解】解：令，，可得，
∵方程组的解是，
∴方程组的解是，
∴，
解得：，
即方程组的解是，
故选：A．
9. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数和车数．甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（ ）
甲：设车数为x辆，可列方程为
乙：设人数为y人，可列方程为
A. 甲对乙错B. 甲错乙对C. 甲、乙都对D. 甲、乙都错
【答案】C
【解析】
【分析】设车数为x辆，由人数不变列方程可判断甲，设有人，根据车的辆数不变列方程可判断乙，从而可得答案．
【详解】解：设车数为x辆，可列方程为，
设人数为y人，可列方程为，
故选C．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．
10. 我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
A. 2025B. C. 2024D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设左上角的数字为m，最中间的数为n，根据题意可得方程，，解方程即可得到答案．
【详解】解：设左上角的数字为m，最中间的数为n，
由题意得，，
∴，
∴，
解得，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个解为的方程：____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据等式性质：等号两边同时乘除同一个数等式仍成立,即可解题.
【详解】解：∵,
等号两边同时乘以2得,
（答案不唯一）
【点睛】本题考查了等式的性质,属于简单题,熟用性质是解题关键.
12. 若关于x、y的方程（a﹣2）x|a|﹣1+2y＝3是二元一次方程，则a＝_____．
【答案】﹣2．
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，再解即可．
【详解】由题意得：
|a|-1＝1，且a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
13. 当______时，代数式的值与代数式的值相等．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得：，求解即可．
【详解】解：由题意可得：
解得
故答案为：
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是理解题意，正确列出方程．
14. 已知关于x的方程无解，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将原式变形为：，由题意可知，求解即可．
【详解】解：将原方程化简为：，
因为方程无解，
所以：且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解是解题的关键．
15. 已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30
【解析】
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
三、解答题（共8题，共75分）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算是解题的关键．
（1）移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程．
【小问1详解】
，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
．
17. 解二元一次方程方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用代入消元法，先求出 ，再求出 即可．
（2）利用加减消元法，先求出 ，再求出 即可．
【小问1详解】
解：
把 代入，得
解得
把代入得
所以，原方程组的解是
【小问2详解】
解：
得
解得
把代入得
解得
所以，原方程组的解是
【点睛】本题考查了利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解题关键是能把二元一次方程组转化成一元一次方程．
18. 定义一种新运算“”： ，比如：．
（1）求的值：
（2）已知，请根据上述运算，求值．
【答案】（1）；
（2）3.
【解析】
【分析】此题主要考查了定义新运算，有理数的混合解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
（1）根据“”列式计算即可；
（2）先根据列出方程，再根据解一元一次方程方法，求出的值即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
解得．
19. 小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入中求出a值，再将，代入中即可求出b值；
（2）确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到正确的解．
【小问1详解】
解：将代入中，得：
，解得：，
将，代入中，得：
，解得：；
【小问2详解】
原方程组为，
得：，
解得：，代入①中，
解得：，
∴方程组的正确解为．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
20. 甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线匀速相向行驶，已知出发后4h两人相遇，甲速度比乙快30km/h，相遇后甲再经1h到达B地．
（1）甲、乙两人的速度分别是多少？
（2）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距50km？
【答案】（1）甲的速度为是，乙的速度是；
（2）经过3h或5h两人相距．
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，
（1）设乙的速度为，则甲的速度为．根据出发后4h两人相遇，相遇后乙再经1h到达A地，列方程解答；
（2）设经过th两人相距．分两种情况：相遇前和相遇后列方程解答即可．
【小问1详解】
设乙的速度为，则甲的速度为．
由题意可得：，
解得：，
则．
答：甲的速度为是，乙的速度是；
【小问2详解】
设经过两人相距，
①相遇前相距时，由题意可得：，解得，
②相遇后相距时，由题意可得：，解得．
答：经过或两人相距．
21. 阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y＝＝4﹣x（x、y为正整数）x为正整数，则x为正整数，从而x＝3，代入y＝4﹣．
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ．
（2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
【答案】（1）；（2）B；（3）2，0，﹣4
【解析】
【分析】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可；
（2）根据题意得出x-3=6或3或2或1，求出即可；
（3）先求出y的值，即可求出k的值．
【详解】解：（1）由3x+2y＝8得：
当 时， ，
∴方程3x+2y＝8的正整数解为，
故答案为；
（2）∵若为自然数，
∴的值为6，3，2，1，
正整数x有9，6，5，4，共4个，
故选B；
（3）
①×2﹣②得：（4﹣k）y＝8，
解得： ， ，
∵x，y是正整数，
∴4﹣k＝1，2，4，8，
∴k＝3，2，0，﹣4，
∵ ，x是正整数，
∴ ，
∴ ，
即 ，
但k＝3时，y=8，不合题意，舍去，
综上所述，整数k的值为2，0，-4．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
22. 如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米．
（1）若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F的边长 ；正方形E的边长 ，正方形C的边长 ；
（2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的）．根据等量关系可求出 ；
（3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问乙还要多少天完成？甲、乙2个工程队各铺设多少米？
【答案】（1）；；或．
（2）
（3）还要10天完成，甲工程队铺设了9.6米，乙工程队铺设了38.4米
【解析】
【分析】本题考查了代数式表示数的运用，列一元一次方程求值的运用，工程问题的数量关系的运用．在求x的值时运用长方形的性质建立方程是关键．
（1）根据图象由最小正方形的边长为1可以得出正方形F、E和C的边长；
（2）设图中最大正方形B的边长是x米，分别表示出和的值由建立方程求出其解即可；
（3）设余下的工程由乙队单独施工，还要y天完成，由工程问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【小问1详解】
由题意，得
正方形F的边长，
正方形E的边长，
正方形C的边长或；
【小问2详解】
设图中最大正方形B的边长是x米，由图象，得
，，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
由（1）（2）可知，长方形的长为13米，宽为11米，
∴长方形的周长为（米）．
设余下的工程由乙队单独施工，还要y天完成，由题意，得
，
解得：．
则甲工程队铺设了（米）．
乙工程队铺设了（米）．
答：还要10天完成，甲工程队铺设了9.6米，乙工程队铺设了38.4米．
23. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．
（1）若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则______．
（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值．
（3）①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：．（只需要补充含有y的代数式）．
②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为______．
【答案】（1）
（2）3或
（3）①，；②
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
（1）首先求出两个方程的解，然后根据题意列方程求解即可；
（2）根据题意得到或，进而求解即可；
（3）①根据题意得到的解是，，进而求解即可；
②首先根据题意的得到方程的解为：，然后得到，求出，进而求解即可．
【小问1详解】
解，得；
解，得；
∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，
∴
解得；
【小问2详解】
∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为，
∵这两个“阳光方程”的解的差为5
则或，
解得或．
故k的值为3或；
【小问3详解】
①∵关于x的一元一次方程的解是，
∴的解是，
∵，则，
则的解是，
即：的解是，
故答案为：，；
②方程的解为：，
∵关于x方程与互为“阳光方程”，
∴方程的解为：．
∵关于y的方程就是：
∴，
∴．
∴关于y的方程的解为：．
故答案为：．2030
x
2
3