专题24 求几何图形的面积（练透）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题24 求几何图形的面积

一、单选题

1．（2022·廊坊市第四中学八年级月考）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（    ）

A．7 B． C．7 D．

【答案】B

【分析】

根据题意可知，两小正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为和，所以两个长方形的面积和为

【详解】

解：两小正方形的面积分别是2和5，

两小正方形的边长分别是和，

两个长方形的面积和为：；

故选B．

2．（2022·全国）在中，、分别是、边上的中点，的面积为，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据中位线将三角形面积分为两部分可知：△ABC的面积是的面积的4倍，依此即可求解．

【详解】

解：∵、分别是、边上的中点，

∴，

∴

∴

∴

故选B

3．（2022·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，在中，，是的角平分线，DE∥AB交于点，为上一点，连结、，已知，，则的面积（    ）

A．12 B．7.5 C．8 D．6

【答案】B

【分析】

在中，依据勾股定理求出，由“是的角平分线，”，依据角平分线的定义、平行线的性质、等量代换及等角对等边，可得，由等底等高的三角形面积相等可知，和的面积相等，即可求解．

【详解】

解：∵在中，，，，

∴,

∵是的角平分线，，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴和的面积相等，

∴的面积=，

故选B．

4．（2022·广州市真光中学八年级期中）如图，在中，已知点、，分别为、、的中点，且，则阴影部分面积（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

根据三角形面积公式由点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，同理得到S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，则S△BEC＝6，然后再由点F为EC的中点得到S△BEF＝S△BEC＝3．

【详解】

解：∵点D为BC的中点，

∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，

∵点E为AD的中点，

∴S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，

∴S△EBC＝S△EBD＋S△EDC＝6，

∵点F为EC的中点，

∴S△BEF＝S△BEC＝3，

即阴影部分的面积为3cm2．

故选：C．

5．（2022·四川德阳五中）从一块正方形铁皮上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来正方形的面积为（　　）

A．56cm2 B．64cm2 C．81cm2 D．100cm2

【答案】B

【分析】

设原来正方形的边长为xcm，利用剩余部门的面积＝原来正方形的面积﹣截去的小长方形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入x2中即可求出原来正方形的面积．

【详解】

解：设原来正方形的边长为xcm，

依题意得：x2﹣2x＝48，

解得：x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去），

∴x2＝8×8＝64．

故选：B．

6．（2022·三明市列东中学）如图，的面积为14，平分，且于点，则的面积是（    ）

A．5 B．7 C．9 D．11

【答案】B

【分析】

延长BD交AC于点E，证明△ADB≌△ADE，得到BD=ED，，推出，由此得到答案．

【详解】

解：延长BD交AC于点E，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∵AD=AD，

∴△ADB≌△ADE，

∴BD=ED，，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

7．（2022·全国）在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用扇形面积公式求解即可．

【详解】

解：由题意得扇形的面积是．

故选C．

8．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（　　）

A．4 B．4 C．3 D．3

【答案】A

【分析】

证△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解．

【详解】

解：连接AC，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，

∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAD＝120°，BC∥AD，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∴△ABC、△ACD为等边三角形，

∴∠4＝60°，AC＝AB，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴S△ABE＝S△ACF，

故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，

过A作AH⊥BC于H，则BH＝BC＝2，

∴AH＝，

S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝×4×2＝4，

故选：A．

9．（2022·长沙市北雅中学八年级期中）菱形的两条对角线长分别为和，则此菱形的面积是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．

【详解】

解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，

根据，

故选：C．

10．（2022·全国九年级课时练习）如图，中，，且，则被分成的三部分面积之比（    ）

A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．1∶3∶5 D．

【答案】C

【分析】

由已知证得△ADE∽△AFG∽△ABC，其相似比分别是1：2：3，则面积的比是1：4：9，可求S1：S2：S3＝1：3：5．

【详解】

解：根据，得到，

∵，

∴，

即、、的相似比是1∶2∶3，

∴、、的面积比是1∶4∶9，

设的面积是a，则的面积是，的面积是，

则，

∴．

故选：C

二、填空题

11．（2022·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，，，则面积是_______．

【答案】6

【分析】

连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=BD，进而证明△BDC是直角三角形，据此解题即可．

【详解】

解：连接BD，

、分别是、的中点，

则EF是△ABD的中位线，

∴EF＝BD＝2，

∴BD＝4，

在△BCD中，BC＝5，CD＝3，

∴，

∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形，

∴，

故答案为：6．

12．（2022·哈尔滨德强学校八年级月考）如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积是_______．

【答案】120

【分析】

由中，，，，求得，的长，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，继而求得答案．

【详解】

解：中，，，

，，

，

，

是直角三角形，即，

．

故答案为：120．

13．（2022·哈尔滨市萧红中学八年级月考）菱形的对角线长分别是10、16，则它的面积是_______．

【答案】80

【分析】

根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．

【详解】

解：∵菱形的两条对角线长分别为10和16，

∴其面积为：×10×16=80．

故答案为：80．

14．（2022·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级开学考试）将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是_____cm2．

【答案】18

【分析】

由于BCDE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．

【详解】

解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，

∴AC=6cm．

由题意可知BCED，

∴∠AFC=∠ADE=45°，

∴AC=CF=6cm．

故S△ACF=×6×6=18（cm2）．

故答案为：18．

15．（2022·沭阳县修远中学八年级期末）如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为__________．

【答案】S1=S2

【分析】

由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果．

【详解】

解：∵四边形为矩形，

∴．

又∵，，

∴四边形和四边形都是矩形．

∵，，四边形为矩形，

∴四边形和四边形也是矩形，

∴，，，

∴，

故答案为：．

三、解答题

16．（2022·上海市卢湾中学期末）如图所示，，．

（1）已知，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；（结果可保留）

（2）填空：已知阴影甲的面积为6平方厘米，则阴影乙的面积为__________平方厘米．

【答案】（1），；（2）6

【分析】

（1）根据扇形面积公式即可求出结果；

（2）观察图形可得阴影甲的面积=阴影乙的面积，进而可得结果．

【详解】

解：（1）根据题意得：

，

；

（2）观察图形可知：

阴影甲的面积＝阴影乙的面积＝6平方厘米，

故答案为：6．

17．（2022·安徽合肥市·八年级期中）已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm．

（1）求证：CD⊥AB；

（2）求△ABC的面积．

【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为10cm²．

【分析】

（1）先算CD²，BC²，BD²，发现三者之间的等量关系，再结合勾股定理的逆定理判断垂直；

（2）先设AD=x，然后用含有x的式子表示AC，再结合勾股定理列出方程求x，最后求面积．

【详解】

（1）证明：∵BC=2cm，CD=4cm，BD=2cm，

∴CD2=16，BC2=20，BD2=4，

∴CD2+BD2=BC2，

∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC=90°，

∴CD⊥AB；

（2）解：设AD=x，则AB=x+2，

∵△ABC为等腰三角形，且AB=AC，

∴AC=x+2，

在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，

∴x2+42=（x+2）2，

解得：x=3，

∴AB=5，

∴S△ABC=×AB×CD=×5×4=10（cm²）．

18．（2022·安徽合肥市五十中学西校）如图，四边形中，，，，．

（1）求的度数．

（2）求四边形的面积．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）连接，根据，，得出为等边三角形，求得，然后根据勾股定理逆定理判断△BDC是直角三角形，，从而求得的度数．

（2）根据四边形的面积等于△ABC和△ACD的和即可求解．

【详解】

解：（1）如图，连接，

，

为等边三角形

，

，

，

（2）如图，过点作

为等边三角形

在中，

．

19．（2022·南昌市心远中学）如图，在和中，．

求的面积；

试判断的形状，并证明你结论．

【答案】（1）（2）直角三角形；理由见解析

【分析】

（1）过点C作于E，设，在和中，

，，列出方程组，解方程求得的值，运用三角形面积公式计算即可；

（2）过点D作于F，先证明，求出的长，运用勾股定理得出的长度，即可得出结论．

【详解】

解：（1）过点C作于E，

设，在和中，

，，

则，解得，

∴；

（2）为直角三角形，理由如下：

过点D作于F，

∵，

∴,

在三角形和中，

,

∴，

∴，，

∴,

则，

在中，

， ，

∴，

∴为直角三角形．

20．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如图，在ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4．

（1）证明：APN∽ABC；

（2）求矩形PQMN的面积．

【答案】（1）见解析；（2）S矩形PQMN= 48．

【分析】

（1）由PN∥BC即可得出结论；

（2）设PQ=3x，则PN=4x，利用PN∥BC，可得到，代入可求得x，再计算矩形PQMN的面积即可．

【详解】

（1）证明：∵四边形PQMN是矩形，

∴PN∥QM，

∴△APN∽△ABC；

（2）解：∵PQ：PN=3：4，

∴设PQ=3x，则PN=4x，

∵四边形PQMN为矩形，

∴ED=PQ=3x，AE=AD-DE=10-3x，

又PN∥BC，

∵△APN∽△ABC，

∴，

即，

解得x=2，

∴PQ=6，PN=8，

∴S矩形PQMN=PQ•PN=6×8=48．

21．（2022·天津南开翔宇学校）如图，四边形中，，，，，求四边形的面积．

【答案】16

【分析】

延长AB和DC线交于点O，可得OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，根据列方程求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积，最后作差即可．

【详解】

延长和线交于点，

∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

由勾股定理可得，，，，

设，则，

∵，，

∴，解得：，

∴，，

，

∴四边形的面积

．

故填16．

22．（2022·珠海市紫荆中学桃园校区八年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，点E、F分别为AC、BC上的点，且∠EDF＝90°．

（1）求证：ED＝DF；

（2）若BC＝4，求四边形EDFC的面积．

【答案】（1）见解析；（2）4

【分析】

（1）首先证明，，根据全等三角形的判定易得到，继而可得出结论．

（2）根据全等可得，进而得到，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．

【详解】

证明：（1）是等腰直角三角形，

，

为中点，

，平分，．

，

，

，，

，

在和中，

∵，

，

．

（2），

，

，

是的中点，

．

．

23．（2022·山东邹城市·）如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，．

（1）求证：四边形为矩形；

（2）若是等边三角形，且边长为6，求四边形的面积．

【答案】（1）见解析；（2）四边形的面积．

【分析】

（1）利用平行四边形的性质先证明，可得再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；

（2）先求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.

【详解】

（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

，

点是中边的中点，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

又，

平行四边形为矩形；

（2）解：由（1）得：四边形为矩形，

，

是等边三角形，

，，

，

四边形的面积．