初中数学一轮复习【讲通练透】专题16 全等三角形判定与性质定理（练透） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题16 全等三角形判定与性质定理
一、单选题
1．（2021·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
根据作图过程可得，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.
【详解】
解：根据作图过程可得，AD平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD=,
故选B.
2．（2021·四川广安中学）如图，，．若，，则OA的长为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】
过O作于F，于E，由等腰三角形的性质得到，，，，由，得到，进而得到，根据全等三角形判定证得，得到，在中，根据勾股定理即可求得OA．
【详解】
解：过O作于F，于E，
∴，
∴，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
故选：C．
3．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级期中）如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（ ）
A．B．C．7D．8
【答案】B
【分析】
连接AP，根据角平分线的判定定理得到点P在∠A的平分线上，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，，BD=DC，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】
解：连接：AP，
∵PD：PE：PF＝1：3：3，
∴PE=PF，
∵PE⊥AC，PF⊥AB，
∴点P在∠A的平分线上，
∵AB＝AC，
∴AP⊥BC，
∵PD⊥BC，
∴AD⊥BC，
∵BC＝12，
∴BD=CD=BC=6，
在 中，AB＝AC＝10，
由勾股定理得 ，
设PD、PE、PF分别为x、3x、3x，
∵ ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
故选：B．
4．（2021·沭阳县修远中学九年级月考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则点D到AB的距离等于（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】A
【分析】
根据比例求出CD的长，再过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可得解．
【详解】
解：∵BC=16，DC：DB=3：5，
∴CD=，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=6，
即点D到AB的距离是6cm．
故选：A．
5．（2021·四川九年级期中）如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点E，交BC于点D，若△ADC的周长为16cm，AC＝4cm，则BC的长为（ ）
A．22cmB．12cmC．10cmD．7cm
【答案】B
【分析】
根据垂直平分线的性质计算即可；
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴，
∵△ADC的周长为16cm，
∴，
∴，
∴，
∵AC＝4cm，
∴；
故答案选B．
6．（2021·西安市铁一中学九年级模拟预测）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，使得点恰好落在上，则线段的长为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】
由锐角三角函数可求，由旋转的性质可求，，，，，，可证是等边三角形，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，连接，
∵，，，
∴，
，
∴，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，
∴，，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
7．（2021·西安市铁一中学九年级模拟预测）如图，为的角平分线，于为中点，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
延长BE交AC于点G，可得△ABE≌△AGE，从而E是BG的中点，得到EF是△BCG的中位线，从而EF//GC，可得到∠EFD=∠C，即可求解．
【详解】
如图，延长BE交AC于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE，
∵，
∴∠BEA=∠GEA=90°，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴E是BG的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF//GC，
∴∠EFD=∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵AD平分∠BAC，，
∴∠BAE =40°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=50°+20°=70°，
∴∠EFD=∠C=180°-80°-70°=30°．
故选：C．
8．（2021·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD中∠ABC＝90°，AB＝CB，AD＝2，CD＝4，将BD绕点B逆时针旋转90°得BD'，连接DD'，当DD’的长取得最大值时，AB长为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】B
【分析】
连接，AC然后证明≌△DBC（SAS），利用三角形三边的关系得到当点A在上时，有最大值，然利用勾股定理求解即可得到答案.
【详解】
解：如图所示，连接，AC
由题意可得：∠=90°=∠1+∠2，
∵∠ABC=90°=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵AB=BC，，
在和△DBC中
，
∴≌△DBC（SAS），
∴，
在三角形中，，
∴当点A在上时，的最大值为，
∴此时∠=45°，
∴∠ADC=90°
∵≌△DBC
∴∠CDB=45°
在直角三角形ADC中，
在直角三角形ABC中，
∴
又∵AB=BC，
∴，
∴，
故选B.
9．（2021·重庆市实验中学九年级月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点到三角形三条边的距离相等
B．等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线都三线合一
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【分析】
根据三角形角平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”性质、正方形的判定定理以及垂线的判定即可得出结论．
【详解】
解：A.三角形三条角平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故符合题意；
B. 等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线都“三线合一”，原说法错误，是假命题，故不符合题意；
C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，是假命题，故不符合题意；
D.在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，是假命题，故不符合题意；
故选 A
10．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴上，连接对角线AC，AC∥x轴，点F为AD边的中点，点G在对角线AC上，已知点F、G均在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，OB：AG＝1：3，S△ABF＝10，则k的值为（ ）
A．20B．C．24D．
【答案】C
【分析】
过点F作FN⊥x轴于点N，过点G作GM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点P，过点C作CE⊥x轴于点E，易得四边形OACE为矩形，S矩形AOEC＝2S△ABC＝40；设OB＝a，由于OB：AG＝1：3，可得AG＝3a．设OA＝b，则A（0，b），G（3a，b），得出k＝3ab；通过说明△DAP≌△CBE，得到AP＝BE＝−a，DP＝CE＝b，进而得到点F的坐标，利用待定系数法求得ab，则k值可求．
【详解】
过点F作FN⊥x轴于点N，过点G作GM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，
交AC于点P，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
∵点F为AD边的中点，
∴AF＝．
∵S矩形ABCD＝AD×AB，AF×AB，
∴S矩形ABCD＝4×S△ABF＝4×10＝40．
∵，
∴S△ABC＝20．
∵ACx轴，AO⊥OB，EC⊥OE，
∴四边形AOEC为矩形．
∴S矩形AOEC＝2S△ABC＝40．
设OB＝a，
∵OB：AG＝1：3，
∴AG＝3a．
设OA＝b，则A（0，b），G（3a，b），
∴k＝3ab．
∵OA×OE＝40，
∴OE＝．
∴BE＝OE﹣OB＝−a．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°．
∴∠CBE+∠ABO＝90°，∠DAC+∠CAB＝90°，
∵ACx轴，
∴∠CAB＝∠ABO，
∴∠DAC＝∠CBE．
∵DH⊥x轴，ACx轴，
∴DP⊥AC．
∴∠DPA＝90°．
在△DAP和△CBE中，
，
∴△DAP≌△CBE（AAS）．
∴AP＝BE＝−a，DP＝CE＝b．
∴DH＝DP+PH＝2b．
∴D（−a，2b）．
∴OH＝−a．
∵FN⊥x轴，DH⊥x轴，OA⊥AB，
∴OA∥FN∥DH．
∵点F为AD边的中点，
∴FN是梯形AOHD的中位线，
∴FN＝．
ON＝OH＝．
∴F（，）．
∵点F在反比例函数y＝上，
∴＝3ab．
解得：ab＝8．
∴k＝3ab＝24．
故选：C．
二、填空题
11．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）已知，，点为中点，，，若，，则__________．
【答案】
【分析】
延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，则易得△ABM是等腰三角形，且AB=AM=2AE，根据 得EF×AM=BC×AC ，可得AE×EF=AC，平方得，分别在Rt△ABC和R t△AEF中，由勾股定理得： ， ，设，由此三式可得关于x一元二次方程，解方程即可求得x，从而可求得EF的长．
【详解】
延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，如图
∵∠ACB=∠ACM=90°，AC=AC ，
∴△ACB≌△ACM(ASA)
∴AB=AM，BC=MC
∴
∵E点是AB的中点
∴AB=2AE，
∴
∴EF×AM=BC×AC
即EF×AM=BC×AC
∴
即AE×EF=AC
∴
在Rt△ABC和R t△AEF中，由勾股定理得： ，
设，则
即
解得：x=4或x=9
即AE=2或AE=3
当AE=2时，由AF=1及EF⊥AF，得∠AEF=30°，则∠EAF=60°，∠BAC=30°；但此时AC=2，AB=2AE=4，由∠ACB=90°，得∠ABC=30°，则∠ACB=120°，这与△ABC为直角三角形矛盾
∴AE=3
∴
故答案为：．
12．（2021·四川成都·）如图，△ABC≌△ABD，∠C=30°，∠ABC=85°，则∠BAD的度数为______．
【答案】
【分析】
根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：，．
，
，
．
故答案为：．
13．（2021·沈阳实验中学九年级二模）如图，在中，，将绕点B按逆时针旋转度（）到，边和边相交于点P，边和边相交与点Q，当为等腰三角形时，则______．
【答案】或．
【分析】
由题意过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转的性质和全等三角形的性质得到BP平分∠A'PC，再根据∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．
【详解】
解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
∴∠A′EB=∠ADB，
由旋转可得，A′B=AB，∠A′=∠A，
在△A′BE和△ABD中
△A′BE≌△ABD（AAS），
∴BD＝BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，
∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，
∴∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB＝PQ时，∠PBQ＝∠PQB＝∠C+∠QBC＝40°+θ，
∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB＝180°，
∴90°﹣θ+2×（40°+θ）＝180°，
解得θ＝；
②如图所示，当BP＝BQ时，∠BPQ＝∠BQP，
即90°﹣θ＝40°+θ，
解得θ＝；
③当QP＝QB时，∠QPB＝∠QBP＝90°﹣θ，
又∵∠BQP＝40°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP＝2（90°﹣θ）+40°+θ＝220°＞180°（不合题意），
故答案为：或．
14．（2021·全国）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是__．
【答案】①②
【分析】
由两个等边三角形容易证明△DAC≌△BAE，则可得①正确，同时有∠ADC＝∠ABE，利用三角形内角和即可得②正确，再由AB≠AC及AC=AE，得AB≠AE，从而可得∠ABE≠∠AEB，则易得∠DBO≠∠OCE，从而得③不正确．
【详解】
∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＋60°，
∠BAE＝∠BAC＋60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE＝DC．
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD＋∠BDO＋∠DBO＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO
＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°＋∠ABE）＝60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，
∵∠DBO＝∠ABD＋∠ABE＝60°＋∠ABE，∠OCE＝∠ACE＋∠ACO＝60°＋∠ACD，
∵AE=AC，
∴AB≠AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∵∠AEB＝∠ACD，
∴∠ABE≠∠ACD，
∴∠DBO≠∠OCE，
∴两个三角形的最大角不相等，
∴△BOD不相似于△COE；
即③不正确；
故答案为：①②．
15．（2021·哈尔滨市萧红中学九年级三模）如图，在中，点在上，，于点，，，则_______．
【答案】
【分析】
过A作，证明出，再根据边的关系求出BD=7，最后根据勾股定理求出．
【详解】
解：如图所示，过作，
，
∵AB=AC，
∴BF=CF，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴BE=BF，
∵BA=BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
三、解答题
16．（2021·全国）如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC边上的中点．D、E为BC边上的两点，且DE＝BD＋EC，ME与ND交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．
【答案】△MON≌△EOD，证明见解析
【分析】
因为M、N分别为AB、AC边上的中点，∠A＝∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，又因为DE＝BD＋EC，证明 所以有△MON≌△EOD．
【详解】
解：△MON≌△EOD．
证明：∵M、N分别为AB、AC边上的中点，
∴AM∶AB＝1∶2，AN∶AC＝1∶2．
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC．
∴∠AMN＝∠ABC，MN＝BC．
∴MN∥BC．
∴∠OMN＝∠OED，∠ONM＝∠ODE．
∵DE＝BD＋EC，
∴DE＝BC．
∴MN＝DE．
∴△MON≌△EOD．
17．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）如图，点在上，、交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△ADE，则∠C=∠E，此题得证；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠ADE=∠B；由等腰△ABD的性质和三角形内角和定理求得∠ADB=78°；最后根据邻补角的定义解答．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE．
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴∠C=∠E；
（2）由（1）知，△ABC≌△ADE，则∠ADE=∠B．
∵∠BAD=24°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=78°．
∴∠ADE=78°．
∴∠CDF=180°-∠ADB-∠ADE=24°．
18．（2021·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E．
（1）若∠C＝72°，求∠B、∠1的度数；
（2）若BD＝6，AC＝7，求△AEC的周长．
【答案】（1）∠B＝36°，∠1=54°；（2）19
【分析】
（1）由题意可得AE＝BE，则∠B＝∠BAE＝40°，可求出∠3的度数，再求∠1即可；
（2）由AE＝BE，可求出结论．
【详解】
解：（1）∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴BE＝AE，∠ADE＝∠BDE=90°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝∠3＋∠4＝72°，
∴∠B＝180°−∠C−∠BAC＝180°−72°−72°＝36°，
∴∠3＝∠B＝36°，
∴∠1＝90°−∠3＝54°；
（2）∵BD＝6，
∴AB＝2BD＝2×6＝12，
∴BC＝12，
∵AE＝BE，
∴AE＋CE＋AC＝BC＋AC＝12＋7＝19．
即△AEC的周长为19．
19．（2021·福建省福州第十九中学九年级月考）如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
先由平行线的性质得∠ACB=∠DFE，再证BC=EF，然后由ASA证△ABC≌△DEF，即可得出结论．
【详解】
解：证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
又∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴∠A=∠D．
20．（2021·西安市铁一中学）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上的一点，连接AD，过点A、D分别作AE//BD、DE//AB，AE、DE交于点E，连接CE．求证：AD＝CE．
【答案】见解析
【分析】
根据题意先利用SAS证明△ADC与△EDC全等，再利用全等三角形的性质进行证明即可．
【详解】
解：证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BD、DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴DE=AB，∠EDB+∠B=180°，
∴DE=AC，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠EDC，
在△ADC与△EDC中
，
∴△ADC≌△EDC（SAS），
∴AD=CE．
21．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图，点在矩形的边上，连接，，过点作于点，且．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）18°．
【分析】
（1）由题意结合矩形和全等三角形的判定定理证得进而即可得证；
（2）根据题意利用全等三角形的判定定理证得，进而根据进行角度的等量换算即可得出的度数．
【详解】
解：（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．（2021·珠海市紫荆中学九年级一模）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为中点，连接、．
（1）试判断的形状；
（2）求的度数．
【答案】（1）是等腰直角三角形，见解析；（2）45°
【分析】
（1）先证明∠BEA＝∠BAE＝45°，得出∠CEF＝45°，AB＝BE，得出∠F＝45°，再证出EC＝FC，即可得出结论；
（2）由△DCG≌△BEG，得出∠DGC＝∠BGE，证出∠BGD＝∠EGC＝90°，即可得出结果．
【详解】
（1）解：是等腰直角三角形；理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴∠DGC＝∠BGE，
∵，
∴,
∵，
∴
∴，
∵，∠DGC＝∠BGE
∴，
∵，
∴．
23．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）十九中趣味数学社的同学用10块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由，，根据同角的余角相等可证，然后利用AAS即可证出；
（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长．
【详解】
（1）证明：由题意得：，，
∴，
∴，
∴
在和中
，
∴；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
答：两堵木墙之间的距离为．