专题16 全等三角形判定与性质定理（讲通）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题16 全等三角形判定与性质定理

1. 掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

一、基本概念

1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

2.全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等.

特别提醒：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.

3.全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).

例1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．

【答案】

证明：

（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，
　　　　　　 ∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．
　　　　　　 ∴∠1=∠2,

∵在△AQC和△PAB中，
　　　　　　

∴△AQC≌△PAB．

∴ AP=AQ.
(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，
∵∠PAD+∠P=90°，
∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．
∴AP⊥AQ．

二、灵活运用定理

三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．

应用三角形全等的判别方法注意以下几点：

1. 条件充足时直接应用判定定理

在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．

2. 条件不足，会增加条件用判定定理

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．

3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理

在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．

例2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.

【答案】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,

在△BDE和△CDM中，

∴△BDE≌△CDM（SAS）．

∴BE=CM.

 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，        

     ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，

   ∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，

   ∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．

在△EDF和△MDF中

   ∴△EDF≌△MDF（SAS）,

   ∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,

   ∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,

∴BE＋CF＞EF.

三、常见的几种辅助线添加

①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；

②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；

③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；

④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；

⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．

例3．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.

【答案】

证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，
 

∵ D为BC中点，
∴ BD=DC，
在△ADC和△HDB中
　，
∴ △ADC≌△HDB(SAS)，
∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，
∵ EA=EF，
∴ ∠HAE=∠AFE，
又∵ ∠BFH=∠AFE，
∴ BH=BF，
∴ BF=AC．

1．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据全等三角形的判定方法解答即可．

【详解】

解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′=∠A，A′B′=AB，∠B′=∠B，

符合全等三角形的判定定理ASA，

故选：C．

2．（2022·全国九年级专题练习）如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积＝（    ）

A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2

【答案】D

【分析】

根据重心的概念得出D，F分别是三角形边的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．

【详解】

解：设三角形ABC的面积是2，
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，
∵BG：GF＝CG：GD＝2，
∴三角形CGF的面积是，
∴四边形ADGF的面积是2−1−＝，

∵,

∴,

∵,
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：＝3：2．
故选：D．

3．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（    ）

A． B．25 C．20 D．15

【答案】D

【分析】

由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得，可求出S△BQF=25，再证明△ABE≌△BCF（SAS），△BGE∽△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN⊥AB交AB于N，可证明△ANG∽△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解．

【详解】

解：将沿翻折得到，

PF=FC，∠PFB=∠CFB，

四边形是正方形

∠FPB=90°，CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，

∵PF=FC=，PB =AB=2，

在Rt△BPQ中，，
∴，

∴QB=，

∴S△BQF=，

∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠AEB=∠BFC，
又∵∠EBG=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，

，
∵CF=，BC=2，

∴BF=5，

∴GE=，BG=2，

过点G作GN⊥AB交AB于N，

∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，
∴△ANG∽△ABE，
∴

∵GA=AE-GE =
∴GN=

∴S△BQG=×QB×GN==10，
∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，
故选：D．

4．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．四边形为矩形

C．四边形为菱形

D．当，时，四边形是正方形

【答案】A

【分析】

利用SAS得到△EBF与△DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由△ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB＝AC，∠BAC＝120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．

【详解】

解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，

∴∠ABE−∠ABF＝∠FBC−∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF（SAS），

∴EF＝AC，

又∵△ADC为等边三角形，

∴CD＝AD＝AC，

∴EF＝AD＝DC，

同理可得△ABC≌△DFC，

∴DF＝AB＝AE＝DF，

∴四边形AEFD是平行四边形，故B、C选项错误；

∴∠FEA＝∠ADF，

∴∠FEA＋∠AEB＝∠ADF＋∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，

在△FEB和△CDF中，

．

∴△FEB≌△CDF（SAS），故选项A正确；

若AB＝AC，∠BAC＝120°，则有AE＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项D错误

故选A．

5．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（   ）
 

A．1.5 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】

如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明△BE′C≌△BE′F，可得CF=2，再证明△FCA≌△DBA，可得BD=CF=2．

【详解】

解：如图，延长和相交于点，

由翻折可知：

，，

是的角平分线，

，

，

，

，

，

，，

，

，，

，

．

故选：C．

6．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级三模）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点H．若，P为上一动点，则的最小值是（    ）

A． B．2 C．1 D．无法确定

【答案】B

【分析】

根据作图过程可得BH平分∠ABC，当HP⊥BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．

【详解】

解：根据作图过程可知：BH平分∠ABC，

当HP⊥BC时，HP最小，

∴HP＝HA＝2．

故选：B．

7．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则______度．

【答案】72°

【分析】

利用三角形内角和180°，解得，由角平分线性质解得的度数，最后根据三角形外角性质解题即可．

【详解】

解：

平分

故答案为：．

8．（2022·广东深圳市南山外国语学校九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______．

【答案】

【分析】

设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：由题意可知：，，

设，则，

又∵

∴

∴

在中，，即

解得：

∴点的坐标为

故答案为

9．（2022·广东实验中学九年级三模）已知，，，求证：．

【答案】证明见解析

【分析】

由条件∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，根据ASA证明△ABC≌△DCB

即可．

【详解】

证明：在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB（ASA）；

10．（2022·厦门市湖滨中学）如图，在△ABE和△CDF中，点C、E、F、B在同一直线上，BF＝CE，若AB∥CD，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

【答案】见解析

【分析】

根据平行线的性质可得∠B＝∠C，根据已知条件可得BE＝CD，结合已知条件∠A＝∠D，即可证明△ABE≌△DCF，进而即可得证AB＝CD．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C．

∵BF＝CE，

∴BF＋EF＝CE＋EF，

即BE＝CF．

∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，BE＝CF

∴△ABE≌△DCF（AAS）．

∴AB＝CD．