2023-2024学年湖南省郴州市桂东县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省郴州市桂东县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在6mm，4y，y4，6x+1，yπ，x+y2中分式的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a8÷a2=a4C. (a3)4=a12D. a0=1
3.下列说法不一定成立的是( )
A. 若a>b，则a+c>b+cB. 若a+c>b+c，则a>b
C. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b
4.关于x的方程x−5=−3a解为负数，则实数a的取值范围是( )
A. a>0B. a<0C. a>53D. a<53
5.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等B. 全等三角形的面积相等
C. 如果a>0，b>0，那么ab>0D. 两直线平行，内错角相等
6.若方程x−3x−2=m2−x无解，则m的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.若 x(x−6)= x⋅ x−6则( )
A. x≥6B. x≥0C. 0≤x≤6D. x为一切实数
8.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做100个所用的时间与乙做80个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做多少个零件.设甲每小时做x个零件，则可列方程为( )
A. 100x−4=80xB. 100x=80x−4C. 100x=80x+4D. 100x+4=80x
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.某正数的平方根分别是2a+1和a+5，则a=______.
10.计算： (π−4)2=______.
11.方程5x+1−4x=0的解是______.
12.若不等式(a−3)x>1的解集为x<1a−3，则a的取值范围是__________.
13.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B=70∘，则∠CAE的大小为______.
14.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形周长为______.
15.定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]=2，[ 3]=1，[4.1]=4，则满足[ n]=5，则n的最大整数为______.
16.已知a2−3a+1=0，则a4+1a4=______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：( 2−1)0+|−3|−327+(−1)2021.
18.(本小题6分)
解不等式组{4x−3(x−2)⩾4①x−15>x+12−1②并把解集在数轴上表示出来．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(a2a−b−2ab−b2a−b)÷a−bab，其中a= 3+1，b= 3−1.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8.
(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD(要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)在(1)作出的图形中，求△ABD的周长.
21.(本小题8分)
如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB//CD，AE=DF，∠A=∠D.
(1)求证：AB=CD；
(2)若AB=CF，∠B=40∘，求∠D的度数．
22.(本小题8分)
某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．
(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？
(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
23.(本小题8分)
如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，点E在AD上，点F在CD上，DE=CF，连接BE，BF，EF.
(1)求证：△BDE≌△BCF.
(2)判断△BEF的形状，并说明理由.
24.(本小题10分)
阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，∵( a− b)2=a−2 ab+b≥0，∴a+b≥2 ab，当且仅当a=b时取等号，
例如：当a>0时，求a+4a的最小值．
解：∵a>0，∴a+4a≥2 a⋅4a，又∵2 a⋅4a=4，∴a+4a≥4，即a=2时取等号．
∴a+4a的最小值为4.
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当x>0时，当且仅当x=______时，x+1x有最小值______.
(2)当m>0时，求m2+5m+12m的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙(墙足够长)，另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
25.(本小题12分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘.
(1)如图1，点E为△ABC外一点，AE⊥CE，过B作BF⊥AE，垂足分别为E、F.
求证：EF=BF−CE.
(2)如图2，点D是BC上一点，BA=BD，CE⊥AD于E，求证：AD=2CE.
(3)如图3，点D为BC上一点，AE⊥CE，过点A作AM⊥AE，且AM=AE，连接BM.若CE=2，求AG的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：6mm，4y，6x+1的分母中含有字母，是分式，共有3个．
故选：C.
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有字母的式子即为分式．
2.【答案】C
【解析】解：A.a2▪a3=a5，故本选项不合题意；
B.a8÷a4=a4，故本选项不合题意；
C.(a3)4=a12，故本选项符合题意；
D.a0=1(a≠0)，故本选项不合题意．
故选：C.
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据零指数幂的定义判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】此题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断求解.
【解答】解：若a>b，c=0，则ac2>bc2不成立.故选C.
4.【答案】C
【解析】解：由x−5=−3a，解得x=5−3a，
由关于x的方程x−5=−3a解为负数，得5−3a<0.
解得a>53，
故选：C.
根据解方程，可得x的值，根据方程的解是负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为如果ab>0，那么a>0，b>0，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意，
故选：D.
写出原命题的逆命题后判断正误即可得到正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出原命题的逆命题，难度不大．
6.【答案】A
【解析】解：去分母得：x−3=−m，
由分式方程无解，得到x−2=0，即x=2，
把x=2代入x−3=−m，得：m=1.
故选：A.
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程无解的条件是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得x≥0且x−6≥0，
所以x≥6.
故选：A.
利用二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x−6≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了二次根式的乘法： a⋅ b= ab(a≥0,b≥0)；
8.【答案】B
【解析】解：∵甲每小时比乙多做4个，且甲每小时做x个零件，
∴乙每小时做(x−4)个零件．
根据题意得：100x=80x−4.
故选：B.
由甲、乙工作效率间的关系，可得出乙每小时做(x−4)个零件，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲做100个所用的时间与乙做80个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】−2
【解析】解：根据题意可得，
2a+1+a+5=0，
解得：a=−2.
故答案为：−2.
应用平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数，进行计算即可得出答案．
本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的性质进行求解是解决本题的关键．
10.【答案】4−π
【解析】解： (π−4)2=4−π，
故答案为：4−π.
根据算术平方根的非负性得出结论即可．
本题主要考查算术平方根的知识，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．
11.【答案】x=4
【解析】解：∵5x+1−4x=0，
∴5x−4(x+1)=0，
∴x=4.
当x=4时，x(x+1)≠0，
∴原方程的解为x=4.
故填空答案：x=4.
首先通分去掉分式方程的分母，从而把分式方程转换为整式方程，然后按照解整式方程的方法解方程即可求出方程的解．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
12.【答案】a<3
【解析】解：∵(a−3)x>1的解集为x<1a−3，
∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，
∴a−3<0，
∴a<3.
故答案为：a<3.
根据不等式的性质可得a−3<0，由此求出a的取值范围．
本题考查了一元一次不等式的解法．掌握不等式的基本性质是解题的关键.
13.【答案】40∘
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，
∴AB=AD，
∴∠B=∠ADB=70∘，
∴∠BAD=180∘−∠B−∠ADB=40∘，即旋转角为40∘，
∴∠CAE=∠BAD=40∘.
故答案为：40∘.
由旋转的性质可得AB=AD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：因为4+4=8，
所以4作为腰不成立，
所以等腰三角形的腰的长度是8，底边长4，
周长：8+8+4=20，
答：它的周长是20，
故答案为：20.
根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是8，底边长4，把三条边的长度加起来就是它的周长．
此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．
15.【答案】25
【解析】解：由题意得：
∵4< n≤5，
∴16∴n的最大整数为25.
故答案为：25.
由题意得：4< n≤5，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．
16.【答案】47
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方公式的运用，两边都除以a得到a+1a=3，是解题的关键，另外乘积二倍项不含字母也非常重要.
先把已知条件两边都除以a，然后再利用完全平方公式计算即可.
【解答】
解：∵a2−3a+1=0，
∴a−3+1a=0，
即a+1a=3，
两边平方得，a2+2+1a2=9，
∴a2+1a2=7，
再平方得，a4+2+1a4=49，
∴a4+1a4=47.
故答案为47.
17.【答案】解：原式=1+3−3−1
=0.
【解析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质、有理数的乘方、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：解不等式①，得：x≥−2，
解不等式②，得：x<1，
则不等式组的解集为−2≤x<1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：
原式=a2−2ab+b2a−b⋅aba−b
=(a−b)2a−b⋅aba−b
=ab，
当a= 3+1，b= 3−1时，
原式=( 3+1)( 3−1)
=3−1
=2.
【解析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算．
根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．
20.【答案】解：(1)如图，
(2)∵AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13.
【解析】(1)根据垂直平分线的作法，作出AC的垂直平分线；
(2)根据垂直平分线的性质得出AD=CD，进而得出AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，即可求解．
本题考查线段垂直平分线的作法和性质，正确画出图形是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=CD；
(2)解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，
∵∠B=40∘，
∴∠C=40∘
∵AB=CF，
∴CF=CD，
∴∠D=∠CFD=12(180∘−40∘)=70∘.
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△DCF是解此题的关键．
(1)根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；
(2)根据全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出CF=CD，推出∠D=∠CFD，即可求出答案．
22.【答案】解：(1)设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得，600x−60054x=30，
解得x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解．
答：第一次每支铅笔的进价为4元．
(2)设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为4×54=5元，
根据题意列不等式为：6004×(y−4)+6004×54×(y−5)≥420，
解得y≥6.
答：每支售价至少是6元．
【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．最后不要忘记检验．
(1)设第一次每支铅笔进价为x元，则第二次每支铅笔进价为54x元，根据题意可列出分式方程解答；
(2)设售价为y元，根据“两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元”列出不等式，然后解答即可.
23.【答案】(1)证明：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠BDA=60∘=∠C，BD=BC，
在△EDB和△FCB中，
DE=CF∠BDE=∠CBD=BC，
∴△EDB≌△FCB(SAS).
(2)解：△BEF是等边三角形，理由如下：
由(1)知△EDB≌△FCB，
∴BE=BF，∠DBE=∠CBF，
∴∠EBF=∠EBD+∠FBD=∠FBC+∠FBD=∠DBC=60∘，
∴△BEF是等边三角形．
【解析】(1)由SAS可证△BDE≌△BCF；
(2)结合(1)，由等边三角形判定可得△BEF的形状．
本题考查全等三角形的判定与性质，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
24.【答案】解：(1)当x>0时，1x>0，
∴x+1x≥2 x⋅1x=2，
∴x=1x，即x=1时，x+1x的最小值为2.
故答案为：1，2；
(2)m2+5m+12m=m+5+12m，
∵m>0，
∴m+5+12m≥2 m⋅12m+5，
又∵ m⋅12m=2 3，
∴m+5+12m≥4 3+5，即m2+5m+12m≥4 3+5，
∴m2+5m+12m的最小值为4 3+5；
(3)设所需的篱笆长为L米，由题意得L=2x+200x，
由题意可知：2x+200x≥2 2x⋅200x，
又∵2 2x⋅200x=40，
∴2x+200x≥40，
∴需要用的篱笆最少是40米．
【解析】(1)根据阅读中的公式计算即可；
(2)先配方，化简，运用公式计算即可；
(3)设所需的篱笆长为L米，由题意得L=2x+200x，再阅读中的公式计算即可．
本题考查了配方法的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答．
25.【答案】(1)证明：∵CE⊥AE，BF⊥AE，
∴∠E=∠AFB=∠CAB=90∘，
∴∠CAE+∠EAB=90∘，∠EAB+∠ABF=90∘，
∴∠CAE=∠ABF，
在△AEC和△BFA中，
∠AEC=∠BFA∠CAE=∠ABFAC=BA，
∴△AEC≌△BFA(AAS)，
∴EC=AF，AE=BF，
∴EF=AE−AF=BF−CE；
(2)证明：如图2中，过点B作BT⊥AE于点T.
∵BA=BD，BT⊥AD，
∴AT=DT，
同法可证△AEC≌△BTA，
∴EC=AT，
∴AD=2EC；
(3)解：如图3中，过点B作BK⊥AE于点K.
同法可证△AEC≌△BKA，
∴AE=BK，EC=AK，
∵AM=AE，
∴AM=BK，
∵∠BKG=∠MAG=90∘，∠AGM=∠BGK，
∴△AGM≌△BGK(AAS)，
∴AG=GK，
∴AG=12EC=1.
故答案为：1.
【解析】(1)证明△AEC≌△BFA(AAS)，推出EC=AF，AE=BF，可得结论；
(2)如图2中，过点B作BT⊥AE于点T.证明AT=DT，同法可证EC=AT，可得结论；
(3)如图3中，过点B作BK⊥AE于点K.证明ZK=EC，AG=GK，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．