2023-2024学年湖南省长沙市望城区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市望城区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若(x−3)2=x2+kx+9，那么k的值是( )
A. −6B. −3C. 6D. −9
2.使分式xx−2有意义的x的取值范围是( )
A. x≠0B. x>2C. x<2D. x≠2
3.在下列交通标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是( )
A. 2，4，7B. 3，3，6C. 5，8，2D. 4，5，6
5.分解因式a2b−b3结果正确的是( )
A. b(a2−b2)B. b(a−b)2C. (ab+b)(a−b)D. b(a+b)(a−b)
6.下列各式：1x，x2+5x，12x，a3−2a，3π，其中分式有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. HL
8.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC=( )
A. 20∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 35∘
9.已知(a+b)2=4，(a−b)2=8，则ab+ba的值等于( )
A. 6B. −6C. 12D. −12
10.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是( )
A. 205B. 250C. 502D. 520
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个多边形的内角和是540∘，则这个多边形是______边形.
12.因式分解：2x2−6x=______.
13.若a+2b=2，则3a⋅9b的值为______.
14.已知三角形的三边长分别是3、4、x，则x的取值范围是______.
15.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD，∠B=40∘，∠C=36∘，则∠DAC的度数是__________.
16.已知a=12023+2022，b=12023+2023，c=12023+2024，则代数式2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)的值是______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)3x2−12；
(2)2x2y−4xy+2y.
18.(本小题8分)
如图，已知五边形ABCDE中，AB//CD，求x的度数.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N.若AB=5，AC=6，求△AMN的周长．
20.(本小题8分)
规定a*b=2a×2b，求：
(1)求1*3；
(2)若2*(2x+1)=64，求x的值.
21.(本小题8分)
计算或解方程：
(1)计算：x2yx−y÷xyx−y；
(2)解方程：x−1x+1−2x2−1=1.
22.(本小题8分)
(1)(−2x2)3+x2⋅x4；
(2)(−4x3+2x)÷2x；
(3)(−x+2y)(−x−2y).
23.(本小题8分)
甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米.甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的12，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟.
(1)求乙骑自行车的速度；
(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=42∘，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=42∘，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=118∘时，∠EDC=______ ∘，∠AED=______ ∘；
(2)若DC=3，试说明△ABD≌△DCE；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由.
25.(本小题8分)
如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6.
(1)求BO的长；
(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(x−3)2=x2−6x+9=x2+kx+9，可得k=−6.
故选：A.
利用完全平方公式将已知等式左边展开，即可求出k的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵分式xx−2有意义，
∴x−2≠0，
解得x≠2.
故选：D.
分式有意义的条件是分母不等于零，据此求出x的取值范围即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
3.【答案】D
【解析】解：A、B、C都不是轴对称图形，不符合题意；D是轴对称图形，符合题意；
故选：D.
根据轴对称图形的定义即可进行解答．
本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
4.【答案】D
【解析】解：A、4+2=6<7，不能组成三角形；
B、3+3=6，不能组成三角形；
C、5+2=7<8，不能组成三角形；
D、4+5=9>6，能组成三角形．
故选：D.
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
5.【答案】D
【解析】解：a2b−b3
=b(a2−b2)
=b(a+b)(a−b).
故选：D.
直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：分式有1x，a3−2a，共2个，
故选：B.
根据分式的定义即可得出答案．
本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：在△ABO和△DCO中，
OA=OD ∠AOB=∠DOC OB=OC ，
∴△ABO≌△DCO(SAS)，
故选：B.
根据全等三角形的判定定理SAS求解即可．
此题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：在等边△ABC中，∠ABC=60∘，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=30∘，
∵BD=ED，
∴∠DEC=∠CBD=30∘，
故选：C.
根据等边三角形的性质可得∠ABC=60∘，根据等边三角形三线合一可得∠CBD=30∘，再根据作图可知BD=ED，进一步可得∠DEC的度数．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵(a+b)2=4，(a−b)2=8，
∴a2+2ab+b2=4①，a2−2ab+b2=8②，
①+②得：2a2+2b2=12，
a2+b2=6，
①-②得：4ab=−4，
ab=−1，
∴ab+ba=a2+b2ab=6−1=−6.
故选：B.
根据完全平方公式展开得出a2+2ab+b2=4，a2−2ab+b2=8，求出a2+b2=6，ab=−1，再通分，最后代入求出答案即可．
本题考查了完全平方公式和分式的化简求值，能求出a2+b2=6和ab=−1是解此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据平方差公式得：
(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=4n×2=8n.
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D.
利用平方差公式计算(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=4n⋅2=8n，得到两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，据此解答即可．
本题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：a2−b2=(a−b)(a−b)是解题关键．
11.【答案】五
【解析】解：设此多边形的边数为n，
则(n−2)⋅180∘=540∘，
解得：n=5，
即此多边形为五边形，
故答案为：五．
根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可．
本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】2x(x−3)
【解析】解：2x2−6x=2x(x−3).
故答案为：2x(x−3).
直接提取公因式2x即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13.【答案】9
【解析】解：当a+2b=2时，
3a⋅9b
=3a⋅32b
=3a+2b
=32
=9.
故答案为：9.
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14.【答案】1【解析】解：根据三角形的三边关系可得：4−3即1故答案为：1根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于其它的两边的差，而小于其它两边的和．
15.【答案】34∘
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．根据三角形的内角和得出∠BAC=180∘−∠B−∠C=104∘，根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD=∠ADB=(180∘−∠B)÷2=70∘，最后根据∠DAC=∠BAC−∠BAD求解即可．
【解答】
解：∵∠B=40∘，∠C=36∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=104∘，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠ADB=(180∘−∠B)÷2=70∘，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=34∘.
故答案为：34∘.
16.【答案】6
【解析】解：2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)=(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=(−1)2+(−2)2+(−1)2=6.
故答案为：6.
先分组再配方法即可实现转化，从而求解．
本题主要考查了学生分组法，配方法的能力，配方法是难点．
17.【答案】解：(1)原式=3(x2−4)
=3(x+2)(x−2)；
(2)原式=2y(x2−2x+1)
=2y(x−1)2.
【解析】(1)直接利用平方差公式分解因式即可；
(2)首先提取公因式2y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题考查的是因式分解，熟知利用提取公因式法及公式法分解因式是解题的关键．
18.【答案】解：∵AB//CD，
∴∠C=180∘−∠B=180∘−110∘=70∘，
∵五边形ABCDE内角和为(5−2)×180∘=540∘，
∴在五边形ABCDE中，∠E=540∘−140∘−110∘−140∘−70∘=80∘，
即x为80.
【解析】先根据平行线的性质求得∠C的值，再根据多边形内角和定理即可求得∠E的值即可．
此题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，注意对基础知识的熟练掌握及综合运用．
19.【答案】解：∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠MBO，∠ACO=∠OCB，
∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠ACO，
∴MB=MO，NC=NO，
∵AB=5，AC=6，
∴C△AMN=AM+AN+MN
=AM+AN+MO+ON
=AM+AN+MB+NC
=AB+AC
=5+6
=11，
∴△AMN的周长为11.
【解析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB=MO，NO=NC，进而可得C△AMN=AB+AC，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意得：1*3=2×23=16；
(2)∵2*(2x+1)=64，
∴22×22x+1=26，
∴22+2x+1=26，
∴2x+3=6，
∴x=32.
【解析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
(1)根据定义以及同底数幂的乘法法则计算即可；
(2)把64写成底数是2的幂，再根据定义以及同底数幂的乘法法则可得关于x的一元一次方程，再解方程即可．
21.【答案】解：(1)x2yx−y÷xyx−y
=x2yx−y⋅x−yxy
=x；
(2)方程两边同时乘(x+1)(x−1)，
得整式方程(x−1)2−2=x2−1，
解得：x=0，
检验：当x=0时，(x+1)(x−1)≠0.
所以原分式方程的解为x=0.
【解析】(1)利用同分母分式除法法则，进行计算即可解答；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程、同分母分式除法，掌握转化的思想，分式方程要检验是关键．
22.【答案】解：(1)(−2x2)3+x2⋅x4
=−8x6+x6
=−7x6.
(2)(−4x3+2x)÷2x
=−4x3÷2x+2x÷2x
=−2x2+1.
(3)(−x+2y)(−x−2y)
=(−x)2−(2y)2
=x2−4y2.
【解析】(1)根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可；
(2)根据整式的除法计算即可；
(3)根据平方差公式计算即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是12x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得60012x+3000−6002x=3000x−2，
解得：x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
(2)∵300×2=600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
【解析】(1)设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是12x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论；
(2)300×2=600米即可得到结果．
此题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意得到乙的运动速度是解题关键．
24.【答案】20 62
【解析】解：(1)∵AB=AC，
∴∠C=∠B=42∘，
∵∠ADE=42∘，∠BDA=118∘，
∵∠EDC=180∘−∠ADB−∠ADE=20∘，
∴∠AED=∠EDC+∠C=20∘+42∘=62∘，
故答案为：20；62；
(2)当DC=3时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB=3，DC=3，
∴AB=DC，
∵∠C=42∘，
∴∠DEC+∠EDC=138∘，
∵∠ADE=42∘，
∴∠ADB+∠EDC=138∘，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∠ADB=∠DEC∠B=∠CAB=DC，
∴△ABD≌△DCE(AAS)；
(3)当∠BDA的度数为110∘或80∘时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70∘，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=70∘+40∘=110∘；
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40∘，
∴∠DAE=100∘，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40∘，
∴∠BDA=∠EAD+∠C=40∘+40∘=80∘；
综上所述，当∠BDA的度数为110∘或80∘时，△ADE的形状是等腰三角形．
(1)根据三角形内角和定理得到∠BAD=25∘，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=42∘，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
(2)当DC=3时，利用∠DEC+∠EDC=140∘，∠ADB+∠EDC=140∘，得到∠ADB=∠DEC，根据AB=DC=3，证明△ABD≌△DCE；
(3)分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵∠BOD=∠AOE，∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠AOE=90∘，
∴∠ACD=∠AOE，
∴∠BOD=∠ACD.
又∵∠BDO=∠ADC=90，AD=BD，
∴Rt△BDO≌Rt△ADC(AAS)，
∴BO=AC=6.
(2)①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ.
∵CF=AO，∠AOP=∠EOD=180∘−∠DCE=∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ.
∵OP=t，CQ=6−4t，
∴t=6−4t，解得t=1.2.
②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ.
∵CF=AO，∠AOP=∠EOD=180∘−∠DCE=∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ.
∵OP=t，CQ=4t−6，
∴t=4t−6，解得t=2.
综上，t=1.2或2.
【解析】(1)由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长；
(2)分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值．
本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用．