2023-2024学年湖南省衡阳市衡南县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡南县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在227，2π3， 2，− 3，3−8，− 16，3.14，0.5757757775……(相邻两个5之间7的个数逐次加1)中，无理数的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.下列各式中，正确的有( )
A. a3+a2=a5B. 3a8÷a4=3a2C. 2a3⋅a2 =2a6D. (−2a3)3=−8a9
3.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带去．( )
A. 第1块B. 第2块C. 第3块D. 第4块
4.已知xm=2，xn=3，则xm+n的值是( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
5.到三角形的三边距离相等的点是( )
A. 三角形三条高的交点B. 三角形三条内角平分线的交点
C. 三角形三条中线的交点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
6.若a−b=8，a2−b2=72，则a+b的值为( )
A. 9B. −9C. 27D. −27
7.如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为( )
A. 12B. 1C. 43D. 不能确定
8.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了( )
A. 0.9米
B. 1.3米
C. 1.5米
D. 2米
9.一个正数的两个平方根分别为2m−1与2−m，则m的值为( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
10.如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
11.下列语句中不是命题的是( )
A. 两点之间线段最短B. 连接AB
C. 锐角都相等D. 两条直线不是相交就是平行
12.如图，E、F、G、H依次是四边形ABCD各边的中点，O是形内一点，若S四边形AEOH=3，S四边形BFOE=4，S四边形CGOF=5，则S四边形DHOG是( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
二、填空题：本题共7小题，共30分。
13. a−1有意义，则a的取值范围为______.
14.已知a，b为两个连续的整数，且a< 2615.若9a⋅27b÷81c=9，则2a+3b−4c的值为 .
16.计算：a(a2÷a)−a2=______.
17.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50∘，AE=AD，则∠EDC的度数为______.
18.如图，AB=18m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=6m，点P从B向A运动，每秒钟走1m，Q点从B向D运动，每秒钟走2m，点P，Q同时出发，运动______秒后，△CAP与△PQB全等．
19.(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE.
(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
三、解答题：本题共7小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
把下列多项式分解因式：
(1)4x3y−4x2y2+xy3；
(2)3x3−12xy2.
21.(本小题8分)
计算.
(1)(−3a4)2−a⋅a3⋅a4−a10÷a2.
(2)2(a4)3−a2⋅a10+(−2a7)2÷a2.
22.(本小题8分)
先化简，再求值：3a2⋅(a3b2−2ab)−3a(−a2b)2，其中a，b满足|a+b−1|+(a−b+3)2=0.
23.(本小题8分)
为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个爱心项目：A项-我为父母过生日，B项-我为父母洗洗脚，C项-我当一天小管家，D项-我与父母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是______，补全图1中的条形统计图．
(2)在图2的扇形统计图中，B项所占的百分比为m%，则m的值为______，C项所在扇形的圆心角α的度数为______度．
(3)该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加D项的学生有多少人？
24.(本小题6分)
如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD=9，BC=15，AC=20.
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
25.(本小题6分)
如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50∘，点D在线段BC上运动(点D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE=50∘，DE交线段AC于点E.
(1)若DC=2，求证：△ABD≌△DCE；
(2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2π3， 2，− 3，0.5757757775……(相邻两个5之间7的个数逐次加1)是无限不循环小数，它们均为无理数，
即无理数的个数是4个，
故选：C.
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=3a4，不符合题意；
C、原式=2a5，不符合题意；
D、原式=−8a9，符合题意，
故选：D.
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判断方法解答．
【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故选D.
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用同底数幂的乘法运算法则化简求出答案．
【解答】
解：∵xm=2，xn=3，
∴xm+n=xm×xn=2×3=6.
故选：B.
5.【答案】B
【解析】解：到三角形的三边距离相等的点是：三角形三条内角平分线的交点．
故选B.
根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵a−b=8，a2−b2=(a+b)(a−b)=72，
∴a+b=9，
故选：A.
第二个等式左边利用平方差公式分解，将第一个等式代入计算即可求出a+b的值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：过P作PF//BC交AC于F.
因为PF//BC，△ABC是等边三角形，
所以∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
所以AP=PF=AF，
因为PE⊥AC，
所以AE=EF，
因为AP=PF，AP=CQ，
所以PF=CQ.
在△PFD和△QCD中，
∠PFD=∠QCD∠PDF=∠QDCPF=CQ，
所以△PFD≌△QCD(AAS)，
所以FD=CD，
因为AE=EF，
所以EF+FD=AE+CD，
所以AE+CD=DE=12AC，
因为AC=2，
所以DE=1.
故选：B.
过P作PF//BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=12AC即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用，解答中此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解答题目的关键.要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【解答】
解：在Rt△ACB中，AC2=AB2−BC2=2.52−1.52=4，
∴AC=2，
∵BD=0.9，
∴CD=2.4.
在Rt△ECD中，EC2=ED2−CD2=2.52−2.42=0.49，
∴EC=0.7，
∴AE=AC−EC=2−0.7=1.3，
故选B.
9.【答案】C
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m−1与2−m，
∴2m−1+2−m=0，解得：m=−1.
故选：C.
根据平方根的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：
过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，
∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，
∴PQ=PW，PW=PR，
∴PR=PQ，
∵点P到AC的距离为3，
∴PQ=PR=3，
则点P到AB的距离为3，
故选：C.
过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，根据角平分线性质得出PQ=PR，即可得出答案．
本题考查了角平分线性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
11.【答案】B
【解析】解：A、对一件事情做出判定，故是命题；
B、因为这是一个陈述句，没有对一件事情做出判定，故不是命题，符合题意；
C、对一件事情做出判定，故是命题；
D、对一件事情做出判定，故是命题；
故选：B.
对一件事情做出判定的陈述句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案．.
考查了命题的概念的应用问题，解题时应根据命题的概念，对题目中的选项逐一判定，即可得出正确的答案．
12.【答案】C
【解析】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=3，S四边形BFOE=4，S四边形CGOF=5，
∴3+5=4+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=4.
故选：C.
连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG.
此题主要考查了三角形面积，解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．
13.【答案】a≥1
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，得a−1≥0，解得a≥1.
故a的取值范围为a≥1.
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，列不等式求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
14.【答案】11
【解析】解：∵ 25< 26< 36，
∴5< 26<6，
∴a=5，b=6，
∴a+b=11，
故答案为：11.
首先得出 25< 26< 36，解得a，b的值，代入即可．
本题主要考查了估算无理数的大小，利用夹逼法解得a，b的值是解答此题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：9a⋅27b÷81c=9，
32a⋅33b÷34c=32，
32a+3b−4c=32，
∴2a+3b−4c=2，
故答案为：2.
利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对已知条件进行整理，从而可求解．
本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】0
【解析】解：a(a2÷a)−a2=a2−a2=0.
故答案为：0.
首先将括号里面利整式的除法运算法则化简，进而利用同底数幂的乘法以及合并同类项法则求出即可．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关法则是解题关键．
17.【答案】25∘
【解析】解：∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠B=∠C，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，
即∠BAD=2∠EDC，
∵∠BAD=50∘，
∴∠EDC=25∘.
故答案为：25∘.
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数．
本题主要考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键
18.【答案】6
【解析】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90∘，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=(18−x)m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=6，
AP=18−6=12，BQ=12，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则18−x=x，
解得：x=9，BQ=18(m)≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动6分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：6.
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=(18−x)m，分两种情况：①若BP=AC，则x=6，此时AP=BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则18−x=x，得出x=9，BQ=18(m)≠AC，即可得出结果．
本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
19.【答案】(1)证明：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90∘，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中
∠BDA=∠AEC∠ABD=∠CAEAB=CA
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE；
(2)解：成立，证明如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，
∴∠BAD+∠CAE=180∘−α，且∠DBA+∠BAD=180∘−α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中
∠BDA=∠AEC∠ABD=∠CAEAB=CA
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE.
【解析】(1)由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
(2)由条件可知∠BAD+∠CAE=180∘−α，且∠DBA+∠BAD=180∘−α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同(1)可得出结论．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解题的关键．
20.【答案】解：(1)4x3y−4x2y2+xy3
=xy(4x2−4xy+y2)
=xy(2x−y)2；
(2)3x3−12xy2.
=3x(x2−4y2)
=3x(x+2y)(x−2y).
【解析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答；
(5)先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
21.【答案】解：(1)原式=9a8−a8−a8
=7a8；
(2)原式=2a12−a12+4a14÷a2
=2a12−a12+4a12
=5a12.
【解析】(1)根据积的乘方，同底数幂的乘除法计算，然后再合并同类项即可．
(2)根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法计算，再合并同类项计算即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：∵|a+b−1|+(a−b+3)2=0，
∴a+b−1=0a−b+3=0，
∴a=−1b=2，
3a2(a3b2−2ab)−3a(−a2b)2
=3a5b2−6a3b−3a⋅a4b2
=3a5b2−6a3b−3a5b2
=−6a3b，
当a=−1，b=2时，原式=−6×(−1)3×2=12.
【解析】根据非负数的性质求出a、b值，代入化简后的代数式求值即可
此题主要考查了整式的混合运算-化简求值、非负数的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
23.【答案】解：(1)200；图如下：
(2)20；162；
(3)1200人参加D项的学生的人数为1200×60200×100%=360(人)，
答：参加D项的学生有360人.
【解析】【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
(1)根据题意可以求得调查的总人数，从而可以求得B的人数，进而可以将条形统计图补充完整；
(2)根据统计图可以得到调查的总人数，也可以得到C部分所占的圆心角；
(3)根据统计图可以求得1200人参加D项的学生的人数．
【解答】
解：(1)这次抽样调查的样本容量是9045%=200(人)，
B的人数200−90−60−10=40，
补全条形统计图如图所示：
故答案为200；图略；
(2)B项所占的百分比为m%，则m%的值为40200×100%=20%，C项所在扇形的圆心角α的度数为360∘×45%=162∘；
故答案为20；162；
(3)见答案.
24.【答案】解：(1)在△BCD中，因为CD⊥AB，
所以BD2+CD2=BC2.
所以CD2=BC2−BD2=152−92=144.
所以CD=12.
(2)在△ACD中，因为CD⊥AB，
所以CD2+AD2=AC2.
所以AD2=AC2−CD2=202−122=256.
所以AD=16.
所以AB=AD+BD=16+9=25.
(3)因为BC2+AC2=152+202=625，AB2=252=625，
所以AB2=BC2+AC2.
所以△ABC是直角三角形．
【解析】(1)在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长；
(2)在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，故可得出AB的长；
(3)由勾股定理的逆定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
25.【答案】解：∵∠B=90∘，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC= AB2+BC2=5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90∘，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×5×12=36.
故四边形ABCD的面积是36.
【解析】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵AB=AC=2，DC=2，
∴AB=DC，
∵∠B=∠C=50∘，∠ADE=50∘，
∴∠BDA+∠CDE=130∘，
∠CED+∠CDE=130∘，
∴∠BDA=∠CED，
在△ABD和△DCE中
∠B=∠C∠BDA=∠AB=DCCED
∴△ABD≌△DCE(AAS)
(2)解：可以．有以下三种可能：
①由(1)得：△ABD≌△DCE，得AD=DE
则有∠DAE=∠DEA=65∘
∴∠BDA=∠CED=65∘+50∘=115∘；
②由(1)得∠BDA=∠CED
∵点D在线段BC上运动(点D不与B、C重合)
∴AD≠AE；
③当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=50∘
∴∠BDA=∠CED=50∘+50∘=100∘.
∴当∠BDA的度数为115∘或100∘时，△ADE的形状是等腰三角形.
【解析】(1)利用∠DEC+∠EDC=130∘，∠ADB+∠EDC=130∘，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE.
(2)分两种情况进行讨论，根据三角形的外角性质，可得当∠BDA的度数为115∘或100∘时，△ADE的形状是等腰三角形；
此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想进行分类讨论．