2022-2023学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.点(3,−2)关于原点的对称点是( )
A. (−3,2)B. (3,2)
C. (2,−3)D. (2,3)
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. (x+3)2−25=0
B. xy−1=0
C. x2+y3−2=0
D.
3.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. 正五边形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 半圆
4.下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=1x2B. xy=64
C. y=5x+6D. x=1y
5.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形).指针指向扇形Ⅰ的概率是( )
A. 13B. 14C. 16D. 12
6.如果在反比例函y=2t−1x图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是( )
A. t>12B. t≥12C. t<12D. t≤12
7.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是圆的直径，若∠CAB=25∘，则∠P的度数为( )
A. 50∘B. 65∘
C. 25∘D. 75∘
8.方程x2−4x+9=0的根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
9.圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为( )
A. 36πB. 52πC. 100πD. 136π
10.下列关于抛物线y=3x−2x2+1的说法中，正确的是( )
A. 开口向上B. 必过点(1,0)
C. 对称轴为x=34D. 与x轴没有交点
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知一个等边三角形三条角平分线的交点为O，把这个三角形绕点O顺时针旋转__________后，所得图形与原来的图形重合．(填写小于180∘的度数)
12.已知函数y=x2−2x，当x=a时，记函数值y为f(a)，则f(−10)__________f(−1)(填写“>”“<”或“=”).
13.如图，⊙O的直径是 AB 为10 cm ，弦 AC 为6 cm ，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD=__________ cm.
14.方程x2−3x+2=10两个根的和为a，两个根的积为b，则a−b=__________.
15.为了估计箱子中白球的个数，在该箱再放入10个红球(红球与白球除颜色不同以外，其他均相同)，搅匀后，从箱子中摸出15个球．如果在这15个球中有2个是红球，那么估计箱子中白球的个数为__________个．
16.点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△OAB的面积是1，则下列结论中，正确的是__________(填序号).①此反比例函数图象经过点(1,1)；②此反比例函数的解析式为y=2x；③若点(a,b)在此反比例函数图象上，则点(−a,−b)也在此反比例函数图象上；④点A(x1,y1)，B(x2,y2)在此反比例函数的图象上且x1三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解下列方程：
(1)(x−3)2=1；
(2)x2+2x−3=0.
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
尺规作图：如图，已知△ABC.作边 BC 关于点A对称的图形．(保留作图痕迹，但不要求写作法)
19.(本小题8分)
求二次函数y=x2−3x+10的最小值，并写出当自变量x取何值时，y取得最小值．
20.(本小题8分)
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系．当R=9Ω时，Ⅰ=4A，求这个反比例函数的解析式．
21.(本小题8分)
如图， AB，CD 是⊙O的两条弦，AB=CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F.比较 CE 和 AF 的大小，并证明你的结论．
22.(本小题8分)
线上教学的师生，可采用的方式包括：①连麦问答；②视频对话；③不定时签到；④投票；⑤选择题推送等．为了解学生最喜爱的方式，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图1和图2；
(1)本次随机抽查的学生人数为________人，补全图2；
(2)参加线上教学的学生共有6000名，可估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为_______人，图1中扇形①的圆心角度数为________度；
(3)若在“①，②，③，④”四种方式中随机选取两种作为重点交互方式，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“②，③”这两种方式的概率．
23.(本小题8分)
一次足球联赛，赛制为双循环形式(每两队之间都赛两场)，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
24.(本小题8分)
已知抛物线y=x2+2x+m.
(1)若m=−3，求该抛物线与 x 轴交点的坐标；
(2)判断该抛物线与x轴交点的个数，并说明理由；
(3)若−225.(本小题8分)
如图，已知正方形 ABCD 边长为2.点O是 BC 边的中点，点E是正方形内一个动点，且EO=1.
(1)连接 BE，CE ，求∠BEC的度数；
(2)连接 DE ，若∠DEO=90∘，求 BE 的长度；
(3)将线段 DE 绕点D逆时针旋转90∘后，得到线段 DF ，连接 CF ，线段 CF 长是否存在最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标均互为相反数，可以直接得到答案．
【详解】
解：点 3,−2 关于原点的对称点的坐标是 −3,2 ，
故选：A.
2.【答案】A
【解析】【分析】
根据一元二次方程的概念对四个选项依次进行判断即可．
【解答】
A、将 (x+3)2−25=0 化简为 x2+6x−16=0 ，是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、 xy−1=0 中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、 x2+y3−2=0 中含有两个未知数，且最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、 x+2x2=1x 的右边是分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：A.
3.【答案】B
【解析】【分析】
根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】
解：A.正五边形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.平行四边形是中心对称图形，故此选项合题意；
C.等腰梯形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.半圆不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查反比例函数的概念，一般地，形如 y=kxk≠0 的函数即为反比例函数，其变形形式为 y=kx−1k≠0 或 xy=kk≠0 ，由此判断即可．
【解答】
解：根据反比例函数定义知， y=1x2 ， x=1y 均不是反比例函数， y=5x+6 是一次函数，只有 xy=64 ，即 y=64x 是反比例函数，
故选：B.
5.【答案】A
【解析】【分析】
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】
解：∵转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，
∴指针指向扇形Ⅰ的概率是 13 ，
故选：A.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知对于反比例函数 y=kxk≠0 ，当 k>0 时，在反比例函数图象的每一个分支上y随x的增大而减小， k<0 时，在反比例函数图象的每一个分支上y随x的增大而增大是解题的关键．
根据反比例函数的增减性与系数之间的关系进行求解即可．
【解答】
解：∵在反比例函 y=2t−1x 图象的每一支上，y随x的增大而增大，
∴2t−1<0 ，
∴t<12 ，
故选C.
7.【答案】A
【解析】【分析】
利用切线长定理可得PA=PB，CA⊥PA，则∠PAB=∠PBA，∠CAP=90∘，计算出∠PAB=65∘，然后根据三角形内角和计算∠P的度数．
【解答】
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA=PB，CA⊥PA，
∴∠PAB=∠PBA，∠CAP=90∘，
∴∠PAB=90∘−∠CAB=90∘−25∘=65∘，
∴∠PBA=65∘，
∴∠P=180∘−65∘−65∘=50∘.
故选A.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0 ，若 Δ=b2−4ac>0 ，则方程有两个不相等的实数根，若 Δ=b2−4ac=0 ，则方程有两个相等的实数根，若 Δ=b2−4ac<0 ，则方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【解答】
解：∵x2−4x+9=0 ，
∴Δ=(−4)2−4×9=−20<0 ，
∴方程没有实数根，
故选A.
9.【答案】B
【解析】【分析】
圆锥的侧面积 = 底面周长 × 母线长 ÷2 ，圆锥的底面积 = 底面半径的平方 ×π ，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：圆锥的侧面积 =π×8×9÷2=36π ，
圆锥的底面积 =π×822=16π ，
∴圆锥的全面积 =36π+16π=52π ，
故选：B.
10.【答案】C
【解析】【分析】
根据二次项系数为 −2<0 ，即可判断A；求出当 x=1 时，y的值即可判断B；根据对称轴公式求出对称轴即可判断C；根据一元二次方程与二次函数的关系，利用判别式求解即可判断D.
【解答】
解：A、∵−2<0 ，∴开口向下，说法错误，不符合题意；
B、当 x=1 时， y=3×1−2×12+1=2 ，即函数经过点 1,2 ，不经过点 1,0 ，说法错误，不符合题意；
C、∵抛物线解析式为 y=3x−2x2+1 ，∴抛物线对称轴为直线 x=−3−2×2=34 ，说法正确，符合题意；
D、∵Δ=32−4×−2=17>0 ，∴抛物线与x轴有两个不相同的交点，说法错误，不符合题意；
故选C.
11.【答案】120∘
【解析】【分析】
根据等边三角形的性质可得点O是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用360∘除以3计算即可得解．
【详解】
解：∵O为等边三角形的三条角平分线的交点，
∴点O是该等边三角形的中心，
∵360∘÷3=120∘ ，
∴把这个三角形绕点O旋转，按顺时针方向至少旋转120∘与原来的三角形重合．
故答案为： 120∘
12.【答案】>
【解析】【分析】
根据二次函数的性质求出当 x≤1 时，y随x增大而减小即可得到答案．
【解答】
解：∵二次函数解析式为 y=x2−2x=x−12−1 ， 1>0 ，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线 x=1 ，
∴当 x≤1 时，y随x增大而减小，
∵−10<−1 ，
∴f−10>f−1 ，
故答案为： > .
13.【答案】8+5 2
【解析】【分析】
先根据直径所对的 圆周角是直角得到 ∠ACB=∠ADB=90∘ ，利用勾股定理求出 BC=8cm ，根据角平分线的定义和等弧所对的圆周角相等得到 AD=BD=5 2cm ，由此即可得到答案．
【解答】
解：∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90∘ ，
∵AB=10cm,AC=6cm ，
∴BC= AB2−AC2=8cm ，
∵∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点D，
∴∠ACD=∠BCD ，
∴AD=BD ，
∴AD=BD= 22AB=5 2cm ，
∴BC+AD=8+5 2cm ，
故答案为： 8+5 2 .
14.【答案】11
【解析】【分析】
先将方程化为一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系求出a、b的值即可得到答案．
【解答】
解：方程 x2−3x+2=10 可化为： x2−3x−8=0
∵方程两个根的和为a，两个根的积为b，
∴a=3,b=−8 ，
∴a−b=3−−8=11 ，
故答案为：11.
15.【答案】65
【解析】【分析】
设放入10个红球之前，箱子中白球的个数为 x ，根据这15个球中有2个是红球，列出分式方程，解方程即可求解．
【解答】
解：设放入10个红球之前，箱子中白球的个数为 x ，根据题意得，
10x+10=215，
解得： x=65 ，
经检验 x=65 是原方程的解，
故答案为： 65 .
16.【答案】②③．
【解析】【分析】
根据反比例函数比例系数的 几何意义可得此反比例函数解析式为 y=2x ，即可判断①②；根据反比例函数的对称性即可判断③；根据反比例函数的增减性即可判断④．
【解答】
解：设点A所在的反比例函数解析式为 y=kxk>0 ，
∵AB⊥x 轴，点A在反比例函数 y=kxk>0 图象上， △OAB 的面积是1，
∴k2=1 ，
∴k=2 ，
∴此反比例函数解析式为 y=2x ，故②正确；
当 x=1 时， y=2x=2 ，即反比例函数图象经过点 1,2 ，不经过点 1,1 ，故①错误；
∵点 a,b 在此反比例函数图象上，
∴由反比例函数的对称性可知，点 −a,−b 也在此反比例函数图象上，故③正确；
∵反比例函数解析式为 y=2x ，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵点 Ax1,y1,Bx2,y2 在此反比例函数的图象上且 x1∴y1>y2 ，故④错误；
故答案为：②③．
17.【答案】解：(1)(x−3)2=1，
x−3=±1，
所以x1=2，x2=4；
(2)x2+2x−3=0，
(x+3)(x−1)=0，
x+3=0或x−1=0，
所以x1=−3，x2=1.
【解析】(1)把方程两边开方得到x−3=±1，然后解一次方程即可；
(2)利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x−1=0，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
18.【答案】解：如图，线段 DE 即为所求．

【解析】【分析】延长 BA ， CA ，在延长线上取 AE=AC ， AD=AB ，连接 DE 即可．
19.【答案】解：∵y=x2−3x+10=(x−32)2−94+10=(x−32)2+314 ， a=1>0 ，开口向上，
∴当 x=32 时， y 取得最小值，最小值为 314 .

【解析】【分析】
将解析式配方，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握配方法化为顶点式是解题的关键．
20.【答案】解：设电流Ⅰ(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的关系式为 I=UR ，
∵当 R=9Ω 时， I=4A ，
∴4=U9 ，
∴U=36 ，
∴I=36RR>0 .

【解析】直接利用待定系数法求解即可．
本题主要考查了求反比例函数解析式，正确理解题意是解题的关键．
21.【答案】解： CE=AF ，证明如下：
∵OE⊥CD,OF⊥AB ，
∴CE=12CD,AF=12AB ，
∵AB=CD ，
∴CE=AF .

【解析】【分析】
根据垂径定理得到 CE=12CD,AF=12AB ，再由 AB=CD ，即可证明 CE=AF .
22.【答案】解：(1)400 .
补全统计图如下：
(2)1800 ， 108 .
(3)列表如下，
共有12种等可能结果，恰好选中“②，③”这两种方式的有2种，
∴恰好选中“②，③”这两种方式的概率为 212=16 .

【解析】(1)本次随机抽查的学生人数为： 6015%=400 (人)，
∴方式②的人数为 400−120−60−80−100=40 (人)，
补全统计图如图，
故答案为： 400 .
(2)
解：估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为 120400×6000=1800 (人)，
图1中扇形①的圆心角度数为 120400×360∘=108∘ ，
故答案为： 1800 ， 108 .
(3)见答案
【分析】
(1)根据方式③的人数与占比即可求得本次随机抽查的学生人数，进而求得方式②的人数，补全统计图即可求解；
(2)用方式①的占比乘以 6000 ，估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数，用方式①的占比乘以 360∘ ，得出图1中扇形①的圆心角度数；
(3)用列表法求概率即可求解．
23.【答案】解：设一共有x个队参加比赛，
由题意得 x(x−1)=90 ，即 x2−x−90=0 ，
解得 x=10 或 x=−9 (舍去)，
∴一共有10个队参加比赛，
答：一共有10个队参加比赛．

【解析】【分析】
设应邀请x个球队参加比赛，根据每两队之间都赛两场，共有90场比赛，列出一元二次方程，解方程即可求解．
24.【答案】解：(1)当 m=−3 时， y=x2+2x−3 ，
令 y=0 ，即 x2+2x−3=0 ，
解得： x1=−3,x2=1 ，
∴该抛物线与 x 轴交点的坐标为 −3,0,1,0 ；
(2)对于抛物线 y=x2+2x+m ，令 y=0 ，
即 x2+2x+m=0 ，
Δ=b2−4ac=4−4m ，
当 Δ>0 时，即 4−4m>0 ，解得： m<1 ，
当 Δ=0 时，即 4−4m=0 ，解得： m=1 ，
当 Δ<0 时，即 4−4m<0 ，解得： m>1 ，
∴当 m<1 时，抛物线与 x 轴有2个交点，
当 m=1 时，抛物线与 x 轴有1个交点，
当 m>1 时，抛物线与 x 轴没有交点；
(3)∵y=x2+2x+m=x+12+m−1 ，
∴抛物线对称轴为直线 x=−1 ，
①当抛物线的顶点在 x 轴上时，由(2)可得当该抛物线与x轴有且只有一个交点时， m=1 ，
②当 −2Δ=b2−4ac=4−4m>0 ∴m<1 ，
当 x=−2 时， y≤0 ，
∴4−4+m≤0 ，即 m≤0 ，
当 x=1 时， y>0 ，
∴1+2+m>0 ，即 m>−3 ，
∴−3综上所述， −3
【解析】【分析】(1)当 m=−3 时， y=x2+2x−3 ，令 y=0 ，解一元二次方程即可求解；
(2)令 y=0 ，即 x2+2x+m=0 ，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
(3)分两种情况讨论，①抛物线的顶点在 x 轴上，②在 −225.【答案】(1)∵点O为 BC 的中点， BC=2 ， EO=1 ，
∴点E在以O为圆心，以1为半径的圆上，且位于正方形 ABCD 内部的半圆上，
∴∠BEC=90∘ ；
(2)当 ∠DEO=90∘ 时， DE 切 ⊙O 于点E，连接 BE,EC,OD ，如图1，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴CD=BC=2 ， ∠BCD=∠ADC=90∘ ，即 CD 是 ⊙O 的切线，
∴ED=DC=2 ，CE⊥OD，
∵EO=OC=1，
∴OD= 12+22= 5，
设CE与OD交于点F，
∵CE⊥OD，
∴12⋅OC⋅CD=12⋅OD⋅CF，
∴CF=2×1 5=25 5，
∴CE=2CF=45 5，
∵∠BEC=90∘，BC=2，
∴BE= BC2−CE2=25 5
(3)存在；
∵∠ADC=∠EDF=90∘ ，即 ∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF
∴∠ADE=∠CDF
在 △ADE 和 △CDF 中，
AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF
∴△ADE≅△CDF(SAS)
∴CF=AE
∴CF 最小时， AE 最小，
如图2，连接 AO 交 ⊙O 于点 E′ ，
在 Rt△ABO 中， OA= AB2+OB2= 22+12= 5 ，
∴AE′=OA−OE′= 5−1.
∴CF 存在最小值为 5−1

【解析】【分析】
(1)判断出点E在以 BC 为直径，且在正方形 ABCD 内部的半圆上，根据直径所对的圆周角是直角可得结论；
(2)由 ∠DEO=90∘ 可知 DE 是半圆的切线，连接 BE,EC,OD. 利用切线的性质和等面积法进一步得出 CE=45 5 ，再运用勾股定理可得结论；
(3)根据 SAS 证明 △ADE≌△CDF 得到 AE=CF ，求得 AE 的最小值即可
①
②
③
④
①
①②
①③
①④
②
②①
②③
②④
③
③①
③②
③④
④
④①
④②
④③