2022-2023学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 点(3,−2)关于原点的对称点是( )
A. (−3,2)B. ( 3，2)C. ( 2，−3)D. ( 2，3)
2. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. (x+3)2−25=0B. xy−1=0
C. x2+y3−2=0D. x+2x2=1x
3. 下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. 正五边形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 半圆
4. 下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=1x2B. xy=64C. y=5x+6D. x=1y
5. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字.指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形).指针指向扇形Ⅰ的概率是( )
A. 13B. 14C. 16D. 12
6. 如果在反比例函数y=2t−1x图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是( )
A. t>12B. t≥12C. t<12D. t≤12
7. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是圆的直径，若∠CAB=25°，则∠P的度数为( )
A. 50°B. 65°C. 25°D. 75°
8. 方程x2−4x+9=0的根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
9. 圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为( )
A. 36πB. 52πC. 100πD. 136π
10. 下列关于抛物线y=3x−2x2+1的说法中，正确的是( )
A. 开口向上B. 必过点(1,0)C. 对称轴为 x=34D. 与x轴没有交点
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知一个等边三角形三条角平分线的交点为O，把这个三角形绕点O顺时针旋转 后，所得图形与原来的图形重合.(填写小于180°的度数)
12. 已知函数y=x2−2x，当x=a时，记函数值y为f(a)，则f(−10) f(−1)(填写“>”“<”或“=”)．
13. 如图，⊙O的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD= cm．
14. 方程x2−3x+2=10两个根的和为a，两个根的积为b，则a−b= ．
15. 为了估计箱子中白球的个数，在该箱再放入10个红球(红球与白球除颜色不同以外，其他均相同)，搅匀后，从箱子中摸出15个球.如果在这15个球中有2个是红球，那么估计箱子中白球的个数为 个.
16. 点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△OAB的面积是1，则下列结论中，正确的是 (填序号)．
①此反比例函数图象经过点(1,1)；
②此反比例函数的解析式为y=2x；
③若点(a,b)在此反比例函数图象上，则点(−a,−b)也在此反比例函数图象上；
④点A(x1,y1)，B(x2,y2)在此反比例函数的图象上且x1三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
尺规作图：
如图，已知△ABC.作边BC关于点A对称的图形.(保留作图痕迹，但不要求写作法)
18. (本小题4.0分)
求二次函数y=x2−3x+10的最小值，并写出当自变量x取何值时，y取得最小值．
19. (本小题6.0分)
解下列方程：
(1)(x−3)2=1；
(2)x2+2x−3=0．
20. (本小题6.0分)
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系.当R=9Ω时，I=4A，求这个反比例函数的解析式．
21. (本小题8.0分)
如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB=CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F.比较CE和AF的大小，并证明你的结论．
22. (本小题10.0分)
线上教学的师生，可采用的方式包括：①连麦问答；②视频对话；③不定时签到；④投票；⑤选择题推送等.为了解学生最喜爱的方式，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图1和图2：
(1)本次随机抽查的学生人数为 人，补全图2；
(2)参加线上教学的学生共有6000名，可估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为 人，图1中扇形①的圆心角度数为 度；
(3)若在“①，②，③，④”四种方式中随机选取两种作为重点交互方式，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“②，③”这两种方式的概率．
23. (本小题10.0分)
一次足球联赛，赛制为双循环形式(每两队之间都赛两场)，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
24. (本小题12.0分)
已知抛物线y=x2+2x+m．
(1)若m=−3，求该抛物线与x轴交点的坐标；
(2)判断该抛物线与x轴交点的个数，并说明理由；
(3)若−225. (本小题12.0分)
如图，已知正方形ABCD边长为2，点O是BC边的中点，点E是正方形内一个动点，且EO=1．
(1)连接BE，CE，求∠BEC的度数；
(2)连接DE，若∠DEO=90°，求BE的长度；
(3)将线段DE绕点D逆时针旋转90°后，得到线段DF，连接CF，线段CF长是否存在最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：点(3,−2)关于原点的对称点的坐标为(−3,2)，
故选：A．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2.【答案】A
【解析】解：A、(x+3)2−25=0，是一元二次方程，故符合题意；
B、xy−1=0，含有两个未知数，故不符合题意；
C、x2+y3−2=0，含有两个未知数，故不符合题意；
D、x+2x2=1x，不是整式方程，故不符合题意；
故选：A．
根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程；由此问题可求解．
本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都是轴对称图形不符合要求；
是中心对称图形的只有B．
故选：B．
根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4.【答案】B
【解析】解：A、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是反比例函数，故本选项符合题意；
C、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
D、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据反比例函数的定义解答即可．
本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)．
5.【答案】A
【解析】解：∵转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，
∴指针指向扇形Ⅰ的概率是13．
故选：A．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
6.【答案】C
【解析】解：∵在反比例函数y=2t−1x图象的每一支上，y随x的增大而增大，
∴2t−1<0，
∴t<12．
故选：C．
根据当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大求解即可．
本题主要考查反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性时解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA=PB，CA⊥PA，
∴∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°，
∴∠PAB=90°−∠CAB=90°−25°=65°，
∴∠PBA=65°，
∴∠P=180°−65°−65°=50°．
故选：A．
利用切线长定理可得PA=PB，CA⊥PA，则∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°，再利用互余计算出∠PAB=65°，然后根据三角形内角和计算∠P的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
8.【答案】A
【解析】解：∵a=1，b=−4，c=9，
∴Δ=b2−4ac=16−36=−20，
∵Δ<0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式．当Δ>0，方程有两个．不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
9.【答案】B
【解析】解：圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积
=12×8π×9+π×(82)2
=36π+16π
=52π，
故选：B．
根据扇形面积公式、圆的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=3x−2x2+1=−2x2+3x+1，
∴该抛物线开口向下，故选项A错误，不符合题意；
当x=1时，y=2，故选项B错误，不符合题意；
对称轴为直线x=−32×(−2)=34，故选项C正确，符合题意；
当y=0时，x1=3+174，x2=3−174，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11.【答案】120°
【解析】解：根据题意知，O为等边三角形的对称中心，即把这个三角形绕点O顺时针旋转120°，所得图形与原来的图形重合，
故答案为：120°．
根据对称和旋转的知识得出结论即可．
本题主要考查对称图形的旋转，熟练掌握对称图形的旋转是解题的关键．
12.【答案】>
【解析】解：由题意知：f(−10)=(−10)2−2×(−10)=120，f(−1)=(−1)2−2×(−1)=3，
∵120>3，
∴f(−10)>f(−1)．
故答案为：>．
分别计算f(−10)、f(−1)的值；然后比较大小．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题过程中，利用了代入求值的方法求解．
13.【答案】(8+52)
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC=AB2−AC2=102−62=8(cm)，
∵CD平分∠ACD，
∴AD=BD，
∴AD=BD=22AB=52(cm)，
∴BC+AD=(8+52)(cm)．
故答案为：(8+52).
利用勾股定理求出BC，证明AD=BD，求出AD，可得结论．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，角平分线的定义，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】11
【解析】解：∵x2−3x+2=10，
∴x2−3x−8=0，
∵方程x2−3x+2=10两个根的和为a，两个根的积为b，
∴a=3，b=−8，
∴a−b
=3−(−8)
=3+8
=11，
故答案为：11．
先将x2−3x+2=10化为一般形式，即可得到a和b的值，然后计算a−b即可．
本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．
15.【答案】65
【解析】解：设箱子中白球的个数为x，根据题意得：
xx+10=15−215，
解得x=65，
经检验x=65是原方程的解，
答：估计箱子中红球的数量为65个；
故答案为：65．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
16.【答案】②③
【解析】解：根据题意可得，
|k|=2S△OAB=2×1=2，
∵反比例函数在第一象限内，
∴k>0，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x，
故结论②正确；
1×1=1≠2，故结论①错误；
若点(a,b)在此反比例函数图象上，则ab=2，
−a⋅(−b)=ab=2，
故结论③正确；
结合函数图像特点，
x1y1>y2，
故结论④错误；
综上所述，正确结论为②③．
故答案为：②③．
|k|=2S△OAB=2×1=2，可得反比例函数的解析式为y=2x，再结合函数图像特点，分析每一个结论即可．
本题考查了函数图像系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图像的特点是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
17.【答案】解：如图，DE为所作．

【解析】延长BA到D点使AD=BA，延长CA到E点，使AE=CA，则BC和DE关于点A对称．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18.【答案】解：∵y=x2−3x+10=(x−32)2+314，
∴该抛物线的顶点坐标为(32,314)，且开口方向向上，
∴当x=32时，y取得最小值，最小值为314．
【解析】把抛物线解析式化成顶点式，得到的顶点坐标和开口方向即可得出答案．
本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
19.【答案】解：(1)(x−3)2=1，
x−3=±1，
所以x1=2，x2=4；
(2)x2+2x−3=0，
(x+3)(x−1)=0，
x+3=0或x−1=0，
所以x1=−3，x2=1．
【解析】(1)把方程两边开方得到x−3=±1，然后解一次方程即可；
(2)利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x−1=0，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
20.【答案】解：设I=kR，
∵当R=9Ω时，I=4A，
∴4=k9，
解得k=36，
即这个反比例函数的解析式是I=36R．
【解析】根据题意，可以先设I=kR，然后根据当R=9Ω时，I=4A，即可求得k的值，从而可以写出这个函数解析式．
本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
21.【答案】解：CE=AF，理由如下：
∵OE⊥CD，
∴CE=12CD，
∵OF⊥AB，
∴AF=12AB，
∵AB=CD，
∴CE=AF．
【解析】由OE⊥CD，得到CE=12CD，同理：AF=12AB，而AB=CD，即可证明问题．
本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
22.【答案】400 1800 108
【解析】解：(1)本次随机抽查的学生人数为60÷15%=400(人)；
“②”种方式的人数为400−120−60−80−100=40(人)，
条形统计图为：

故答案为：400；
(2)6000×120400=1800(人)，
所以估计最喜爱“①连麦问答”的学生人数为1800人，
图1中扇形①的圆心角度数为360°×120400=108°；
故答案为：1800，108；
(3)画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中恰好选中“②，③”这两种方式的结果数为2，
所以恰好选中“②，③”这两种方式的概率=212=16．
(1)用最喜爱“③”方式的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出最喜爱“②”方式的人数，然后补全条形统计图；
(2)用6000乘以样本中最喜爱“①连麦问答”的学生所占的百分比可估计参加线上教学的学生中最喜爱“①连麦问答”的学生人数；然后用360°乘以最喜爱“①连麦问答”的学生所占的百分比得到图1中扇形①的圆心角度数；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选中“②，③”这两种方式的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23.【答案】解：设有x队参加比赛．
依题意，得x(x−1)=90，
(x−10)(x+9)=0，
解得x1=10，x2=−9(不合题意，舍去)．
答：共有10支队参加比赛．
【解析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×(队的个数−1)=90，把相关数值代入计算即可．
本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)当m=−3时，抛物线为y=x2+2x−3，
令y=0，则x2+2x−3=0，
解得x1=−3，x2=1，
∴抛物线与x轴的交点为(−3,0)和(1,0)；
(2)令y=0，则x2+2x+m=0，
Δ=22−4m=4−4m，
当Δ>0时，即4−4m>0，
解得m<1；
当Δ=0时，即4−4m=0，
解得m=1；
当Δ<0时，即4−4m<0，
解得m>1；
∴当m<1时，抛物线与x轴有两个交点；
当m=1时，抛物线与x轴有1个交点；
当m>1时，抛物线与x轴没有交点；
(3)∵y=x2+2x+m=(x+1)2+m−1，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，
①当抛物线的顶点在x轴上时，由(2)知，当抛物线与x轴有且只有1个交点时，m=1；
②当−2
Δ=4−4m>0，
解得m<1，
当x=−2时，y≤0，
∴4−4+m≤0，
解得m≤0；
当x=1时，y>0，
∴1+2+m>0，
解得m>−3，
∴−3综上所述，m的取值范围为−3【解析】(1)把m=−3代入解析式．然后令y=0，解方程即可；
(2)令y=0，由Δ>0，Δ=0，Δ<0，解得m的取值范围，并判断抛物线与x轴交点个数；
(3)分抛物线与x轴只有一个交点和抛物线与x轴有两个交点两种情况讨论．
本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
25.【答案】解：(1)由题意知，点E在以BC为直径的半圆上，
∴∠BEC=90°；
(2)当∠DEO=90°时，DE切⊙O于点E，连接BE，EC，OD，

∵∠BCD=90°，
∴ED=DC=2，
又∵EO=OC，
∴OD⊥EC且OD平分EC，
∴BE//OD，
即∠DOC+∠ECO=90°，∠DOC+∠ODC=90°，
∴∠ECO=∠ODC，
∴tan∠ECO=tan∠ODC，
即BECE=OCCD=12，
∴CE=2BE，
∵BC2=BE2+EC2，
即BE2+4BE2=22，
解得BE=255(舍去负值)；
(3)∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=90°，∠EDF=∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴CF=AE，
∴CF最小时，AE最小，
连接AO交⊙O于点E′，

在Rt△ABO中，OA=AB2+OB2=5，
∴AE′=OA−OE′=5−1，
∴CF存在最小值为5−1．
【解析】(1)根据点E在以BC为直径的半圆上得出结论即可；
(2)当∠DEO=90°时，DE切⊙O于点E，连接BE，EC，OD，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠ECO=∠ODC，再利用三角函数得出CE=2BE，最后根据勾股定理得出BE的长度即可；
(3)根据SAS证△ADE≌△CDF，得出CF=AE，求出AE的最小值即可．
本题主要考查正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．