高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程练习，共5页。试卷主要包含了圆2＋2＝13的周长是，圆C等内容，欢迎下载使用。

A.eq \r(13)π B．2eq \r(13)π
C．2π D．2eq \r(3)π
解析：选B 由圆的标准方程可知，其半径为eq \r(13)，周长为2eq \r(13)π.
2．方程(x－1) eq \r(x2＋y2－3)＝0所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个点
C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆
解析：选D (x－1)eq \r(x2＋y2－3)＝0可化为x－1＝0或x2＋y2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆．
3．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：选B 结合圆的性质可知，原点在圆上，
圆的半径r＝eq \r(2－02＋－3－02)＝eq \r(13).
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
解析：选C 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝0，,－x－y＋1＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))
∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
5．若圆心在x轴上，半径为eq \r(5)的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为( )
A．(x－eq \r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq \r(5))2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：选D 设圆心坐标为(a,0)，
由题意知eq \f(|a|,\r(5))＝eq \r(5)，∴|a|＝5.
∵圆C位于y轴左侧，∴a＝－5，
∴圆C的标准方程为(x＋5)2＋y2＝5.
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x＋y－8＝0，))可得x＝2，y＝4，
即圆心为(2,4)，从而r＝eq \r(2－02＋4－02)＝2eq \r(5)，
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
7．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
解析：因为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，所以圆心坐标为C(1,2)．所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|3×1＋4×2＋4|,\r(32＋42))＝3.
答案：3
8．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1.
答案：(－1,1)
9．已知圆C的半径为eq \r(17)，圆心在直线x－y－2＝0上，且过点(－2,1)，求圆C的标准方程.
解：∵圆心在直线x－y－2＝0上，r＝eq \r(17)，
∴设圆心为(t，t－2)．
∴圆C的标准方程为(x－t)2＋(y－t＋2)2＝17.
∵圆C过点(－2,1)，∴(－2－t)2＋(1－t＋2)2＝17.
解得t＝2或t＝－1.
∴圆心C的坐标是(2,0)或(－1，－3)．
∴所求圆C的标准方程是(x－2)2＋y2＝17或(x＋1)2＋(y＋3)2＝17.
10．已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的标准方程．
解：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值．
因为|PA|＝eq \r(10)，|PB|＝eq \r(13)，|PC|＝5，
所以|PA|<|PB|<|PC|，
所以圆的半径r＝|PB|＝eq \r(13).
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
1．(多选)已知圆C：(x－2)2＋(y－7)2＝8及点Q(－2,3)，则下列说法正确的是( )
A．点C的坐标为(2,7)
B．点Q在圆C外
C．若点P(m，m＋1)在圆C上，则直线PQ的斜率为eq \f(1,4)
D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为[2eq \r(2)，6eq \r(2)]
解析：选ABD 易知圆心C的坐标为(2,7)，故A正确；因为C(2,7)，Q(－2,3)两点之间的距离为eq \r(－2－22＋3－72)＝4eq \r(2)>2eq \r(2)，所以点Q在圆C外，故B正确；因为点P(m，m＋1)在圆C上，所以(m－2)2＋(m－6)2＝8，所以m＝4，即P(4,5)，所以直线PQ的斜率为eq \f(1,3)，故C错误；因为圆心C(2,7)，半径r＝2eq \r(2)，|CQ|＝4eq \r(2)，所以|CQ|－r≤|MQ|≤|CQ|＋r，即2eq \r(2)≤|MQ|≤6eq \r(2)，故D正确．
2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
解析：选B x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－eq \r(52＋122)＝1.
3．在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为 eq \r(5)；乙：该圆经过点(3，3)；丙：该圆的圆心为(2，1)；丁：该圆经过点(7，0).如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：选D 设A(3，3)，B(2，1)，C(7，0).假设甲错误，乙、丙、丁正确，|AB|＝ eq \r(1＋22)＝ eq \r(5)，|BC|＝ eq \r(52＋1)＝ eq \r(26)，|AB|≠|BC|，矛盾，所以甲正确．
假设乙错误，甲、丙、丁正确，由甲、丙正确可知圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，C(7，0)不满足上式，矛盾，所以乙正确．
假设丙错误，甲、乙、丁正确，由乙、丁得|AC|＝ eq \r(42＋32)＝5>2 eq \r(5)，与半径为 eq \r(5)矛盾，所以丙正确．
假设丁错误，甲、乙、丙正确，则由甲、丙可知圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，A(3，3)满足上式，符合题意．综上所述，结论错误的同学是丁．故选D.
4．过三点A(－2，0)，B(－4，2)，C(2，－2)中的两点且圆心在直线y＝3x上的圆的标准方程为________．(写出一个满足条件的方程即可)
解析：若圆过A，B两点，则线段AB的中垂线方程为y－1＝－ eq \f(－4＋2,2－0)·(x＋3)，即y＝x＋4，与y＝3x联立得圆心坐标为(2，6)，半径为 eq \r((2＋2)2＋62)＝2 eq \r(13)，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－6)2＝52.若圆过A，C两点，则线段AC的中垂线方程为y－(－1)＝－ eq \f(2－(－2),－2－0)x，即y＝2x－1，与y＝3x联立得圆心坐标为(－1，－3)，半径为 eq \r((－1＋2)2＋(－3)2)＝ eq \r(10)，所以圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝10.若圆过B，C两点，则线段BC的中垂线方程为y＝－ eq \f(2－(－4),－2－2)·(x＋1)，即y＝ eq \f(3,2)(x＋1)，与y＝3x联立得圆心坐标为(1，3)，半径为 eq \r((1＋4)2＋(3－2)2)＝ eq \r(26)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝26.
答案：(x－2)2＋(y－6)2＝52(或(x＋1)2＋(y＋3)2＝10或(x－1)2＋(y－3)2＝26)
5．已知圆C的圆心为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．
(1)求圆C的标准方程．
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．
解：(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
∵圆C过定点P(4,2)，
∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．
∴r2＝2xeq \\al(2,0)－12x0＋20.
∴圆C的标准方程为
(x－x0)2＋(y－x0)2＝2xeq \\al(2,0)－12x0＋20.
(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2
＝2xeq \\al(2,0)－12x0＋20
＝2(x0－3)2＋2，
∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
6．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y－6＝0，,3x＋y＋2＝0，))解得点A的坐标为(0，－2)．
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又r＝|AM|＝eq \r(2－02＋0＋22)＝2eq \r(2)，
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.