福建版2024九年级数学下册第27章相似学情评估试卷（人教版附答案）

这是一份福建版2024九年级数学下册第27章相似学情评估试卷（人教版附答案），共10页。
第二十七章学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列图形中，属于相似图形的是(　　)2．下列四组线段中，不是成比例线段的是(　　)A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝1，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，d＝eq \r(6)3．顺次连接三角形三边的中点，所围成的三角形与原三角形的对应面积的比是(　　)A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶eq \r(2)4．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值)，若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则eq \f(AB,AC)的值为(　　)A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,3) (第4题) 　　　 (第5题)5．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交DB于点F，若DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长为(　　)A．4 B．7 C．3 D．126．如图所示的是某家用晾衣架的实物图及侧面示意图，已知AB∥PQ，根据图中数据，P，Q两点间的距离是(　　)A．0.6 m B．0.8 m C．0.9 m D．1 m (第6题) 　　 (第7题)7．下列四个三角形中，与如图所示的三角形相似的是(　　)8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一个这样的问题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”大意为：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的标杆，它的影子长五寸(1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为(　　)A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，则在下列五个条件：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C中，能满足△ADE∽△ACB的条件有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (第9题) 　　 (第10题)10．如图，半圆O的直径BC＝7，延长CB到A，D是半圆O上一点，连接AD，交半圆O于点E，若AE＝ED＝3，则AB的长为(　　)A.eq \f(9,7) B．2 C.eq \r(11) D．9二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．如果eq \f(x,y)＝eq \f(2,5)，那么eq \f(y－x,y＋x)＝________.12．已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，若要使△ABC与△ADE相似，则只需添加一个条件：________．(只需填写一个)13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝35 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.3 m，CD＝7 m，则树高AB为________m.14．在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为(2，3)，(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上，且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为__________________．15．如图，已知在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D为边AC上一点，P是线段BD的中点，如果∠ABD＝∠ACP，那么AD的长是________．16．如图，已知矩形ABCD中，AD＝2CD，点E在BD上，△CEF是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，若G是AD的中点，则eq \f(GE,BF)＝________．三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)如图，D为△ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求证：△ACD∽△ABC.18．(8分)如图，△ABC在方格纸中，每个小正方形的边长均为1.(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(3，4)，点C的坐标为(7，3)，并写出点B的坐标；(2)在(1)的条件下，以原点O为位似中心，相似比为2:1，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A′B′C′；(3)计算(2)中所得△A′B′C′的面积．19．(8分)清朝《数理精蕴》中有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意是：如图，有一座正方形的城池，四面城墙的正中都有门，从南门口(点D)直行8里有一塔(点A)，自西门(点E)直行2里至点B，切城角(点C)恰好可以看见塔，问这座正方形城池的每面城墙的长是多少？20．(8分)如图，将△ABC绕点A旋转至△AB′C′的位置，点B′恰好在BC上，AC与B′C′交于点E，连接CC′.求证：(1)eq \f(EC,EC′)＝eq \f(EB′,EA)；(2)△ABB′∽△ACC′.21．(10分)如图，已知矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，BE＝eq \r(2)AE.(1)若AE＝3，求CE的长；(2)设点C关于直线AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．22．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．答案一、1.D　2.C　3.A　4.D　5.B　6.A　7.B　8.B　9.C10．B　点拨：连接BE，CD.∵∠ABE＋∠EBC＝180°，∠EBC＋∠ADC＝180°，∴∠ABE＝∠ADC.又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ADC，∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AE,AC)，∴AB·AC＝AE·AD，即AB·(AB＋7)＝3×(3＋3)，解得AB＝2或AB＝－9(不合题意，舍去)．故选B.二、11.eq \f(3,7)　12.DE∥BC(答案不唯一)　13.5.314．(4，6)或(－4，－6)15．3－eq \r(5)　点拨：取AD中点E，连接PE，通过证明△ABD∽△ECP，可得eq \f(PE,AD)＝eq \f(EC,AB)，进而求得AE的长，最后求得AD的长．16.eq \f(\r(2),2)　点拨：如图，连接CG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，AD∥BC.∵AD＝2CD，G是AD的中点，∴DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG＝45°，∴∠BCG＝∠DGC＝45°.∵△CEF是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，∴CE＝EF，∠ECF＝∠EFC＝45°，∴∠BCG＝∠ECF，∴∠ECG＝∠BCF.∵CG＝eq \r(DC2＋DG2)＝eq \r(2)DC，DC＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)BC，∴CG＝eq \f(\r(2),2)BC，即eq \f(CG,BC)＝eq \f(\r(2),2).∵CF＝eq \r(CE2＋EF2)＝eq \r(2)CE，∴eq \f(CE,CF)＝eq \f(\r(2),2)，∴eq \f(CG,BC)＝eq \f(CE,CF)，又∠ECG＝∠BCF，∴△GEC∽△BFC，∴eq \f(GE,BF)＝eq \f(CG,BC)＝eq \f(\r(2),2)，故答案为eq \f(\r(2),2).三、17.证明：∵AD＝2，BD＝6，AC＝4，∴AB＝8，eq \f(AD,AC)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)，又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.18．解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．点B的坐标为(3，2)．(2)如图，△A′B′C′即为所求作的三角形．(3)△A′B′C′的面积为eq \f(1,2)×4×8＝16.19．解：设这座正方形城池的每面城墙的长是x里，则CE＝CD＝eq \f(1,2)x里，由题意得，BE∥CD，∠BEC＝∠ADC＝90°，BE＝2里，AD＝8里，∴∠B＝∠ACD，∴△CEB∽△ADC，∴eq \f(BE,CD)＝eq \f(CE,AD)，∴eq \f(2,\f(1,2)x)＝eq \f(\f(1,2)x,8).解得x＝8(负值舍去)．答：这座正方形城池的每面城墙的长是8里．20．证明：(1)由旋转的性质可知∠AC′B′＝∠ACB，又∵∠AEC′＝∠B′EC，∴△AEC′∽△B′EC，∴eq \f(EC,EC′)＝eq \f(EB′,EA).(2)由旋转的性质可知∠BAB′＝∠CAC′，AB＝AB′，AC′＝AC，∴∠B＝∠AB′B＝eq \f(1,2)(180°－∠BAB′)，∠AC′C＝∠ACC′＝eq \f(1,2)(180°－∠CAC′)，∴∠B＝∠ACC′，∴△ABB′∽△ACC′.21．(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBE＝90°.∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ABE＝∠BCE，∴△ABE∽△BCE，∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(BE,CE).∵AE＝3，BE＝eq \r(2)AE，∴BE＝3 eq \r(2)，∴eq \f(3,3 \r(2))＝eq \f(3 \r(2),CE)，∴CE＝6.(2)证明：如图，连接EF.由(1)可知eq \f(AE,BE)＝eq \f(BE,CE)，又∵BE＝eq \r(2)AE，∴CE＝eq \r(2)BE，∴CE＝2AE，∴eq \f(CE,AE)＝2.∵C，F关于直线AD对称，∴CF＝2CD.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠FCE，CF＝2AB，∴eq \f(CF,AB)＝2＝eq \f(CE,AE)，∴△ABE∽△CFE，∴∠CEF＝∠AEB＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠CEF＋∠BEC＝180°，∴B，E，F三点共线．22．(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径．∴∠BAC＝90°.连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.又∵PD∥BC，∴OD⊥PD.又∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA.(3)解：∵∠BAC＝90°，∴BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝eq \r(62＋82)＝10.易知OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝5 eq \r(2)(负值舍去)．由(2)知△PBD∽△DCA，∴eq \f(PB,DC)＝eq \f(BD,AC)，∴PB＝eq \f(DC·BD,AC)＝eq \f(5 \r(2)×5 \r(2),8)＝eq \f(25,4).