2024年山西省临汾市中考数学一模试卷 （含解析）

这是一份2024年山西省临汾市中考数学一模试卷 （含解析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算﹣3÷的结果是（ ）
A．﹣6B．﹣3C．﹣D．6
2．（3分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，它不仅在初等数学中有重要的作用，在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，勾股定理在许多书中都有记载，下列书中没有记载勾股定理的是（ ）
A．《九章算术》
B．《海岛算经》
C．《几何原本》
D．《周髀算经》
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab
B．（﹣2a2b3c）3＝﹣6a6b9c3
C．（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）＝﹣4a2+9b2
D．（12a4﹣8a2+2a）÷2a＝6a3﹣4a
4．（3分）太原天龙山由于地形复杂，天龙山公路从起点到终点的垂直落差达350米，以现在的标准房屋来测量，相当于116层楼的高度．为了让游客参观到天龙山的美景，太原市政府于2018年新改建了天龙山公路（如图）．国外媒体报道，改建后的天龙山公路就像风火轮的赛道，采用了很多大拐弯设计，所有高架桥都采用钢箱梁拼装焊接而成，其中“网红”高架桥用钢7000多吨．把数据“7000吨”换算成用“千克”作单位并用科学记数法表示为（ ）
A．7×103千克B．7×105千克C．7×106千克D．7×108千克
5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠BEC＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
7．（3分）某校需派一名跳高运动员参加市级运动会的比赛，但学校甲、乙两名运动员的成绩基本相同，他们最近8次的跳高成绩如表：
则下列分析中，正确的是（ ）
A．乙的成绩比甲的成绩稳定
B．甲的成绩的中位数是170.5cm
C．预测跳高成绩为165cm就可以获得冠军，因此派乙参赛
D．乙的成绩的众数比甲的成绩的众数高3cm
8．（3分）物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触．在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数F与“人造自由百变泥”浸入水中深度h的关系如图2所示．当g＝10N/kg时，由此可知，“人造自由百变泥”的密度是（ ）
A．1.25×103kg/m3B．1.5×103kg/m3
C．1.75×103kg/m3D．2×103kg/m3
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足关系式a﹣b+c＝0，且a＜b＜c，则下列图象符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图1，一副三角尺的△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝10cm，∠BAC＝90°，O是斜边BC的中点，含30°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，记作△OEF，∠E＝30°，直角边OF与边OC在同一条射线上．如图2，把△OEF绕点O逆时针旋转，OF与边AC交于点N，OE与边AB交于点M，得到下列结论．①OM＝ON；②∠BMO＝∠ONA；③四边形AMON的面积为定值且为25cm2；④BM+CN＝10cm．其中，正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有5个圆片，第2个图案中有11个圆片，第3个图案中有17个圆片，……，依此规律，第n个图案中有 个圆片．（用含n的代数式表示）
13．（3分）随着科学技术的不断发展，某地探讨并建成两个水果种植基地A和B，为了让农民快速致富，聘请了农科院的四位专家每两人一组分别去A和B基地现场指导，这四位专家分别为王专家、李专家、刘专家和杨专家，该地为了公平、公正、采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，由此可知，王专家和李专家分成一组去A基地的概率是 ．
14．（3分）如图，把边长为2的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，边AB在x轴上，∠DAB＝60°，点A的坐标是（2，0），E是边CD的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，则k的值是 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接BF，过点C作CG⊥BF于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：﹣（﹣3+5）×2﹣1；
（2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读，完成下列任务：
解：原式＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝1……第四步
任务：①第一步变形用的数学方法是 ；
②第二步运算的依据是 ；
③第 步开始出错，错误的原因是 ；
④化简该分式的正确结果是 ．
17．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB于点M，交AC于点N，分别以点M和N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线AH交BC于点D，延长DB到点E，使EB＝BD．过点E作EF⊥EC交AB的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）直接写出点E到DF的距离．
18．（8分）某校为了掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（t）分为四种类别：A（0h≤t＜3h），B（3h≤t＜6h），C（6h≤t＜9h），D（t≥9h），将分类结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出本次抽样的学生人数、并补全频数分布直方图；
（2）计算扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在 组；
（4）若该校九年级有1200名学生，请估计一周自主学习的时间不少于6h的人数．
19．（10分）上兵伐谋，规划先行．某社区计划在绿化的同时让居民吃上放心的核桃和枣，欲购进核桃树和枣树进行种植，已知核桃树的单价是枣树的，用1000元购买的核桃树比用700元购买的枣树多5棵．
（1）求核桃树和枣树的单价；
（2）该社区计划购买核桃树与枣树共60棵，且枣树的棵数不超过核桃树棵数的，请说明怎样购进这两种树才能使总费用最低，最低费用是多少？
20．（8分）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习思考与归纳，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
（1）填空：小明解答过程中的依据1是指 ；依据2是指 ；
（2）请按照上面的证明思路、写出该证明的剩余部分；
（3）当∠BAD＝90°，BD＝10时，直接写出CF的长．
21．（8分）在元宵佳节灯火会上，一名摄影爱好者为了记录这次灯火会的全过程，携带无人机进行航拍．如图，摄影爱好者在水平地面上点A处测得无人机位置点D的仰角为53°；当摄影爱好者迎着坡度为1：1.875的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点D水平飞到点C，此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角为45°．已知AB＝3.4米，CD＝5米，摄影爱好者让无人机沿与水平面平行的方向飞行．且A，B，C，D四点在同一竖直平面内，求无人机距水平地面的高度．测角仪的高度忽略不计．（参考数据：sin53°≈0.8．cs53°≈0.6．tan53°≈）
22．（12分）综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，O是边BC的中点，D是△ABC所在平面内的一点，∠ADB＝90°，将△ADB绕点A逆时针旋转α得到△AEC，B，D的对应点分别为C，E，直线ED经过点O．
特例探究：
（1）如图1，当α＝90°，点D与点O重合时，判断DE和BD的数量关系并证明；
操作探究：
（2）如图2，当α＝90°，点O与点D不重合时，判断BD，OD和OE之间的数量关系，并说明理由；
类比探究：
（3）如图3，当α＝60°，点O与点D不重合时，直接写出BD、OD和OE之间的数量关系．
23．（12分）综合与探究
如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，点B的坐标是（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4），点D在抛物线上运动，作直线AC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图2，D是直线AC下方抛物线上的动点，连接DB交AC于点E，当DE＝BE时，求点D的横坐标；
（3）连接AD和DC，当△DAC的面积是4时，请直接写出符合条件的点D的坐标．
2024年山西省临汾市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）计算﹣3÷的结果是（ ）
A．﹣6B．﹣3C．﹣D．6
【分析】除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可．
【解答】解：﹣3÷＝﹣3×2＝﹣6，
故选：A．
2．（3分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，它不仅在初等数学中有重要的作用，在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，勾股定理在许多书中都有记载，下列书中没有记载勾股定理的是（ ）
A．《九章算术》
B．《海岛算经》
C．《几何原本》
D．《周髀算经》
【分析】由《海岛算经》没有记载勾股定理，即可求解．
【解答】解：只有《海岛算经》没有记载勾股定理，
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab
B．（﹣2a2b3c）3＝﹣6a6b9c3
C．（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）＝﹣4a2+9b2
D．（12a4﹣8a2+2a）÷2a＝6a3﹣4a
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：2a+5b不能合并，故选项A错误，不符合题意；
（﹣2a2b3c）3＝﹣8a6b9c3，故选项B错误，不符合题意；
（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）＝﹣4a2+9b2，故选项C正确，符合题意；
（12a4﹣8a2+2a）÷2a＝6a3﹣4a+1，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）太原天龙山由于地形复杂，天龙山公路从起点到终点的垂直落差达350米，以现在的标准房屋来测量，相当于116层楼的高度．为了让游客参观到天龙山的美景，太原市政府于2018年新改建了天龙山公路（如图）．国外媒体报道，改建后的天龙山公路就像风火轮的赛道，采用了很多大拐弯设计，所有高架桥都采用钢箱梁拼装焊接而成，其中“网红”高架桥用钢7000多吨．把数据“7000吨”换算成用“千克”作单位并用科学记数法表示为（ ）
A．7×103千克B．7×105千克C．7×106千克D．7×108千克
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：7000吨＝7000000千克＝7×106千克．
故选：C．
5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：解不等式x+2＞1，得：x＞﹣1，
解不等式，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为：
故选：B．
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠BEC＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【分析】连接AC，根据圆周角定理求出∠BAC，∠ACB＝90°，进而求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，
∵∠BEC＝20°，
∴∠BAC＝∠BEC＝20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
7．（3分）某校需派一名跳高运动员参加市级运动会的比赛，但学校甲、乙两名运动员的成绩基本相同，他们最近8次的跳高成绩如表：
则下列分析中，正确的是（ ）
A．乙的成绩比甲的成绩稳定
B．甲的成绩的中位数是170.5cm
C．预测跳高成绩为165cm就可以获得冠军，因此派乙参赛
D．乙的成绩的众数比甲的成绩的众数高3cm
【分析】由于乙成绩的波动性大，甲成绩的波动性小，则根据方差的意义可对A选项进行判断；根据中位数的定义可对B选项进行判断；利用甲成绩都不低于165cm可对C选项进行判断；根据众数的定义求出甲乙成绩的众数，从而可对D选项进行判断．
【解答】解：A．乙运动员成绩的波动性比甲运动员成绩的波动性大，则甲运动员成绩比较稳定，所以A选项不符合题意；
B．甲的成绩的中位数是169cm，所以B选项不符合题意；
C．甲运动员得成绩都不低于165cm，则预测跳高成绩为165cm就可以获得冠军，派甲参赛，所以C选项不符合题意；
D．乙的成绩的众数为172cm，甲的成绩的众数为169cm，则乙的成绩的众数比甲的成绩的众数高3cm，所以D选项符合题意．
故选：D．
8．（3分）物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触．在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数F与“人造自由百变泥”浸入水中深度h的关系如图2所示．当g＝10N/kg时，由此可知，“人造自由百变泥”的密度是（ ）
A．1.25×103kg/m3B．1.5×103kg/m3
C．1.75×103kg/m3D．2×103kg/m3
【分析】根据题图2易得人造自由百变泥”完全浸没后所受到的浮力F浮＝8N，“人造自由百变泥”的重力G＝10N，再利用公式F浮＝ρ水gV排，G＝mg＝ρ泥V泥g，并将以上两式相比即可求出人造自由百变泥”的密度．
【解答】解：由题图2可知，“人造自由百变泥”完全浸没后所受到的浮力F浮＝ρ水gV排＝10﹣2＝8（N）①，
“人造自由百变泥”的重力G＝mg＝ρ泥V泥g＝10N②，
而V排＝V泥，kg/m3，
∴＝＝，
∴＝1.25×103（kg/m3）．
故选：A．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足关系式a﹣b+c＝0，且a＜b＜c，则下列图象符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据已知等式求出b＝a+c，再利用a＜b＜c求得a＜0，c＞0判断即可．
【解答】解：∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵a＜b＜c，
∴a＜a+c＜c，
∴a＜0，c＞0，
∴抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
故选：B．
10．（3分）如图1，一副三角尺的△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝10cm，∠BAC＝90°，O是斜边BC的中点，含30°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，记作△OEF，∠E＝30°，直角边OF与边OC在同一条射线上．如图2，把△OEF绕点O逆时针旋转，OF与边AC交于点N，OE与边AB交于点M，得到下列结论．①OM＝ON；②∠BMO＝∠ONA；③四边形AMON的面积为定值且为25cm2；④BM+CN＝10cm．其中，正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】由“ASA”可证△BOM≌△AON，可得OM＝ON，S△BMO＝S△AON，∠BMO＝∠ANO，BM＝AN，即可求解．
【解答】解：连接OA，
∵AB＝AC＝10cm，∠BAC＝90°，O是斜边BC的中点，
∴AO＝BO＝CO，AO⊥BC，∠B＝∠C＝∠BAO＝∠CAO＝45°，
∴∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴∠BOM＝∠AON，
∴△BOM≌△AON（ASA），
∴OM＝ON，S△BMO＝S△AON，∠BMO＝∠ANO，BM＝AN，
∴∠BMO＝∠ONA，四边形AMON的面积＝S△ABO＝25cm2，BM+CN＝AN+CN＝AC＝10cm．
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算的结果是 3 ．
【分析】根据平方差公式即可求解．
【解答】解：
＝，
＝5﹣2，
＝3，
故答案为：3．
12．（3分）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有5个圆片，第2个图案中有11个圆片，第3个图案中有17个圆片，……，依此规律，第n个图案中有 （6n﹣1） 个圆片．（用含n的代数式表示）
【分析】根据图案的变化规律可得2n﹣1+4n＝6n﹣1，进而可以解决问题．
【解答】解：∵第1个图案中有6×1﹣1＝5个圆片，
第2个图案中有6×2﹣1＝11个圆片，
第3个图案中有6×3﹣1＝17个圆片，
……，
∴第n个图案中有（6n﹣1）个圆片，
故答案为：（6n﹣1）．
13．（3分）随着科学技术的不断发展，某地探讨并建成两个水果种植基地A和B，为了让农民快速致富，聘请了农科院的四位专家每两人一组分别去A和B基地现场指导，这四位专家分别为王专家、李专家、刘专家和杨专家，该地为了公平、公正、采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，由此可知，王专家和李专家分成一组去A基地的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中王专家和李专家分成一组去A基地的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把四位专家王专家、李专家、刘专家和杨专家分别记为甲、乙、丙和丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中王专家和李专家分成一组去A基地的结果有2种，
∴王专家和李专家分成一组去A基地的概率是＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，把边长为2的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，边AB在x轴上，∠DAB＝60°，点A的坐标是（2，0），E是边CD的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，则k的值是 4 ．
【分析】连接BD，BE，由菱形的性质以及∠DAB＝60°，证得△BCD是等边三角形，由E是边CD的中点，得出BE⊥CD，解直角三角形求得E的坐标，根据待定系数法即可求得．
【解答】解：连接BD，BE，
∵菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝2，CD∥AB，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是边CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴BE＝BC＝，EB⊥AB，
∵点A的坐标是（2，0），
∴OA＝2，
∴OB＝4，
∴E（4，），
∵反比例函数y＝的图象经过点E，
∴k＝4×＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接BF，过点C作CG⊥BF于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为 ．
【分析】如图，延长BF交CD于P．首先证明EF：CF＝1：4，由△BPC≌△CND，推出CP＝DN，BP＝CN，由PE/AB，推出PE：AB＝EF：AF＝1：4，推出PE＝PD＝，再证明∠NAM＝∠NMA即可解决问题．
【解答】解：如图，延长BF交CD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠CDN＝∠BCP＝90°，
∵CN⊥BP，
∴∠BPC+∠PCG＝90°，∠CND+∠PCG＝90°，
∴∠BPC＝∠CND，
∴△BPC≌△CND（AAS），
∴CP＝DN，BP＝CN，
∵DF⊥AE，
∴∠EDF+∠DEF＝90°，∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠EDF＝∠DAE，
∴tan∠EDF＝tan∠DAE＝，
∵AD＝CD，DE＝CE，
∴tan∠EDF＝tan∠DAE＝，
设EF＝a，则DF＝2a，AF＝4a．
∵PE∥AB．
∴，
∵AB＝6，
∴PE＝，
∵DE＝3，
∴PE＝PD＝，
∴PF＝DE＝，CP＝，
在Rt△BCP中，BP＝＝＝，
∴BF＝BP﹣PF＝6，DN＝CP＝，AN＝AD﹣DN＝，
∴AD＝BF＝AB，
∴∠BFA＝∠BAF，
∵∠DAE+∠BAF＝90°，∠FMG+∠BFA＝90°，∠FMG+∠NMA，
∴∠NAM＝∠NMA，
∴MN＝AN＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：﹣（﹣3+5）×2﹣1；
（2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读，完成下列任务：
解：原式＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝1……第四步
任务：①第一步变形用的数学方法是 因式分解 ；
②第二步运算的依据是 分式的基本性质 ；
③第 三 步开始出错，错误的原因是 去括号时，第二项没有改变符号 ；
④化简该分式的正确结果是 ．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算减法即可；
（2）①根据题目中的解答过程可知：第一步是分式的因式分解；
②第二步是约分，依据是分式的基本性质；
③由解答过程可知：第三步开始出错，错误原因是去括号时，第二项没有改变符号；
④先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）﹣（﹣3+5）×2﹣1
＝8×﹣2×
＝2﹣1
＝1；
（2）任务：①第一步变形用的数学方法是因式分解；
②第二步运算的依据是分式的基本性质；
③第三步开始出错，错误的原因是去括号时，第二项没有改变符号；
④原式＝
＝
＝•
＝．
故答案为：①因式分解；②分式的基本性质；③三；④．
17．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB于点M，交AC于点N，分别以点M和N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线AH交BC于点D，延长DB到点E，使EB＝BD．过点E作EF⊥EC交AB的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）直接写出点E到DF的距离．
【分析】（1）由作法得AD平分∠BAC，根据等腰三角形的性质求出AD⊥BC，则EF∥AD，利用ASA证明△ABD≌△FBE，根据全等三角形的性质得出AD＝FE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得解；
（2）根据全等三角形的性质得出AB＝FB＝12，根据勾股定理求出EF＝8，DF＝8，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：如图，
由作法得AD平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，
∵EF⊥EC，
∴EF∥AD，
在△ABD和△FBE中，
，
∴△ABD≌△FBE（ASA），
∴AD＝FE，
又EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，过点E作EM⊥DF于点M，
∵△ABD≌△FBE，
∴AB＝FB＝12，
∵BE＝BD＝4，
∴EF＝＝＝8，
∵DE＝BE+BD＝8，
∴DF＝＝＝8，
∵S△DEF＝DE•EF＝DF•EM，
∴EM＝＝＝，
即点E到DF的距离为．
18．（8分）某校为了掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（t）分为四种类别：A（0h≤t＜3h），B（3h≤t＜6h），C（6h≤t＜9h），D（t≥9h），将分类结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出本次抽样的学生人数、并补全频数分布直方图；
（2）计算扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在 C 组；
（4）若该校九年级有1200名学生，请估计一周自主学习的时间不少于6h的人数．
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，再分别求出B、D组人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用总人数乘以样本中C、D组人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数为6÷10%＝60（人），
B组人数为60×30%＝18（人），
D组人数为60×20%＝12（人），
补全图形如下：
（2）扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为360°×＝144°；
（3）自主学习时间的中位数是第30、31个数据的平均数，而这两个数均落在C组，
所以这组数据的中位数落在C组；
故答案为：C．
（4）估计一周自主学习的时间不少于6h的人数为1200×＝720（人）．
19．（10分）上兵伐谋，规划先行．某社区计划在绿化的同时让居民吃上放心的核桃和枣，欲购进核桃树和枣树进行种植，已知核桃树的单价是枣树的，用1000元购买的核桃树比用700元购买的枣树多5棵．
（1）求核桃树和枣树的单价；
（2）该社区计划购买核桃树与枣树共60棵，且枣树的棵数不超过核桃树棵数的，请说明怎样购进这两种树才能使总费用最低，最低费用是多少？
【分析】（1）根据题意列出分式方程解出后检验作答即可；
（2）根据题意列出一次函数解析式，利用一次函数性质解答购买方案即可．
【解答】解：（1）设枣树的单价为x元，则核桃树的单价x元，根据题意得：
，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合实际意义，
∴＝＝80．
答：枣树的单价为70元，核桃树的单价为80元．
（2）设买核桃树为m棵，则购买枣树（60﹣m）棵，根据题意得：60﹣m≤m，
解得m≥36，
设购树总费用为w，则w＝80m+70（60﹣m）＝10m+4200，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝36时，总费用最低，最低费用为w＝10×36+4200＝4560（元）．
答：买核桃树为36棵，枣树24棵，总费用最低，最低费用为4560元．
20．（8分）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习思考与归纳，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
（1）填空：小明解答过程中的依据1是指 平行四边形的性质 ；依据2是指 等腰三角形的性质 ；
（2）请按照上面的证明思路、写出该证明的剩余部分；
（3）当∠BAD＝90°，BD＝10时，直接写出CF的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到EO＝OC，BO＝OD，根据等腰三角形的性质得到AO⊥BD，根据勾股定理得到AO＝＝，根据三角形的中位线定理得到CF＝2AO＝（定值）．
（3）根据等腰直角三角形的判定定理得到△BAD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AB＝BD＝5，于是得到结论．
【解答】（1）解：小明解答过程中的依据1是指平行四边形的性质；依据2是指等腰三角形的性质；
故答案为：平行四边形的性质，等腰三角形的性质；
（2）证明：∵四边形BCDE是平在四边形．
∴EO＝OC，BO＝OD．（依报1）
∵AB＝AD
∴AO⊥BD．（依据2）
∵AB2＝AO2+BO2，
∴AO＝＝，
∵OE＝OC，AE＝AF，
∴AO是△ECF的中位线，
∴CF＝2AO＝（定值）．
（3）解：∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴△BAD是等腰直角三角形，
∵BD＝10，
∴AB＝BD＝5，
由（2）知，FC＝．
∴FC＝＝10．
21．（8分）在元宵佳节灯火会上，一名摄影爱好者为了记录这次灯火会的全过程，携带无人机进行航拍．如图，摄影爱好者在水平地面上点A处测得无人机位置点D的仰角为53°；当摄影爱好者迎着坡度为1：1.875的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点D水平飞到点C，此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角为45°．已知AB＝3.4米，CD＝5米，摄影爱好者让无人机沿与水平面平行的方向飞行．且A，B，C，D四点在同一竖直平面内，求无人机距水平地面的高度．测角仪的高度忽略不计．（参考数据：sin53°≈0.8．cs53°≈0.6．tan53°≈）
【分析】过B作BQ⊥AF于F，由坡度的定义和勾股定理得BQ＝1.6米，AQ＝3米，过C作CH⊥地面于H，交BE于P，过D作DG⊥地面，交BE于M，交CB于N，设GQ＝x米，则BM＝x米，四边形DCPM为矩形，△BNM是等腰直角三角形，然后由锐角三角函数定义求出x，即可解决问题．
【解答】解：过B作BQ⊥AF于Q，如图所示：
∵AB坡度为1：1.875＝BQ：AQ，
∵1：1.875＝，
∴＝，
设BQ＝8h米，则AQ＝15h（米），
∵BQ2+AQ2＝AB2，
∴64h2+225h2＝289h2＝AB2，
∴AB＝17h，
∵AB＝3.4米，
∴17h＝3.4，
∴h＝0.2，
∴BQ＝1.6米，AQ＝3米，
过C作CH⊥地面于H，交BE于P，过D作DG⊥地面，交BE于M，交CB于N，
∵∠CBE＝45°，
∴CP＝BP，设GQ＝x米，则BM＝x米，
∵DC∥BE，且∠CPB＝∠DME＝90°，
∴四边形DCPM为矩形，△BNM是等腰直角三角形，
∴DM＝CP，PM＝DC＝5米，MN＝BM＝x米，
则BP＝CP＝BM+MP＝（5+x）米，
又∵PH＝MG＝BQ＝1.6米，
∴DG＝DM+MG＝5+x+1.6＝（6.6+x）米，AG＝AQ+GQ＝（3+x）米，
∵∠DAG＝53°，tan∠DAG＝tan53°≈，
∴≈，
即≈，
解得：x＝7.8，
∴BM＝7.8米，BP＝5+x＝12.8米，
∴DM＝CP＝BP＝12.8米，
∴DG＝GM+DM＝BQ+DM＝1.6+12.8＝14.4（米），
答：无人机距水平地面的高度约为14.4米．
22．（12分）综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，O是边BC的中点，D是△ABC所在平面内的一点，∠ADB＝90°，将△ADB绕点A逆时针旋转α得到△AEC，B，D的对应点分别为C，E，直线ED经过点O．
特例探究：
（1）如图1，当α＝90°，点D与点O重合时，判断DE和BD的数量关系并证明；
操作探究：
（2）如图2，当α＝90°，点O与点D不重合时，判断BD，OD和OE之间的数量关系，并说明理由；
类比探究：
（3）如图3，当α＝60°，点O与点D不重合时，直接写出BD、OD和OE之间的数量关系．
【分析】（1）先证明四边形AOCE是正方形，再证明四边形ABOE是平行四边形，即可推导出AB＝BD；
（2）延长OD至F，使OF＝OE，连接BF，证明△BOF≌△COE（SAS），推导出∠DBF＝90°，则DF＝BD，再由DF＝OF﹣DO＝OE﹣DO，可得BD＝OE﹣DO；
（3）在OE上截取GE＝OD，连接CG，过点C作CH⊥OE交于H点，证明△BDO≌△CEG（SAS），推导出HE＝CE＝BD，EH＝GH+GE＝（OE﹣OD）+DO＝（OE+OD），再由BD＝（OE+OD），可得BD＝OE+OD．
【解答】解：（1）DE＝BD，理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴AD＝OC＝BO，
∵△ADB≌△AEC，
∴BO＝EC，AE＝AO，
∴AO＝OC＝EC＝AE，
∴四边形AOCE是正方形，
∴AE∥BO，AE＝BO，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∴DE＝AB，
∴ED＝BD；
（2）BD＝OE﹣DO，理由如下：
如图2，延长OD至F，使OF＝OE，连接BF，
∵O是BC的中点，
∴OB＝OC，
∵FO＝OE，∠BOF＝∠COE，
∴△BOF≌△COE（SAS），
∴CE＝BF，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BD＝BF，
∵∠ADB＝90°，∠CAE＝90°，AD＝AE，
∴∠BDF＝45°，
∴∠F＝45°，
∴∠DBF＝90°，
∴DF＝BD，
∵DF＝OF﹣DO＝OE﹣DO，
∴BD＝OE﹣DO；
（3）BD＝OE+OD，理由如下：
∵∠ABC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
如图3，在OE上截取GE＝OD，连接CG，过点C作CH⊥OE交于H点，
∵BD＝CE，
由旋转可知，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BDO＝30°，
∵∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠CEG＝30°，
∴△BDO≌△CEG（SAS），
∴CG＝BO，
∵O是BC的中点，
∴BO＝CO，
∴△OCG是等腰三角形，
∵CH⊥OE，
∴OH＝HG，
∵∠CEH＝30°，
∴HE＝CE＝BD，
∵GO＝OE﹣GE＝OE﹣OD，GH＝（OE﹣OD），
∴EH＝GH+GE＝（OE﹣OD）+DO＝（OE+OD），
∴BD＝（OE+OD），
∴BD＝OE+OD．
23．（12分）综合与探究
如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，点B的坐标是（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4），点D在抛物线上运动，作直线AC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图2，D是直线AC下方抛物线上的动点，连接DB交AC于点E，当DE＝BE时，求点D的横坐标；
（3）连接AD和DC，当△DAC的面积是4时，请直接写出符合条件的点D的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点D作DG∥y轴交AC于点G，过点B作BH∥y轴交于H点，根据题意可得＝，设D（t，t2+t﹣4），则G（t，﹣t﹣4），所以DG＝﹣t2﹣2t＝1，求出D点的横坐标为﹣2﹣；
（3）分两种情况讨论：当D点在直线AC的下方时，S△DAC＝×4×（﹣t2﹣2t）＝4，D点坐标为（﹣2，﹣4）；当D点在直线AC的上方时，S△DAC＝×4×（t2+2t）＝4，D点坐标为（﹣2﹣，2）或（﹣2+，﹣2）．
【解答】解：（1）将点B（2，0），点C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4，
当y＝0时，x2+x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或x＝2，
∴A点坐标是（﹣4，0）；
（2）过点D作DG∥y轴交AC于点G，过点B作BH∥y轴交于H点，
∴DG∥BH，
∴＝，
∵DE＝BE，
∴＝，
设直线AC的解析式为y＝kx﹣4，
∴﹣4k﹣4＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣4，
设D（t，t2+t﹣4），则G（t，﹣t﹣4），
∴DG＝﹣t2﹣2t，
∵BH＝6，
∴DG＝﹣t2﹣2t＝1，
解得t＝﹣2﹣或t＝﹣2+（舍），
∴D点的横坐标为﹣2﹣；
（3）当D点在直线AC的下方时，S△DAC＝×4×（﹣t2﹣2t）＝4，
解得t＝﹣2，
∴D点坐标为（﹣2，﹣4）；
当D点在直线AC的上方时，S△DAC＝×4×（t2+2t）＝4，
解得t＝﹣2﹣或t＝﹣2+，
∴D点坐标为（﹣2﹣，2）或（﹣2+，﹣2）；
综上所述：D点坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣2﹣，2）或（﹣2+，﹣2）．
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
甲跳高成绩/cm
169
165
168
169
172
173
169
167
乙跳高成绩/cm
161
154
172
162
176
172
172
176
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＜∠BCD，连接对角线BD，以BC和CD为边作▱BCDE，连接EA并延长到点F．使AF＝AE，连接FC．发现FC是定值且为．
下面是证明过程：
∵四边形BCDE是平在四边形．
∴EO＝OC，BO＝OD．（依报1）
∵AB＝AD
∴AO⊥BD．（依据2）
…
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甲跳高成绩/cm
169
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乙跳高成绩/cm
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172
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如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＜∠BCD，连接对角线BD，以BC和CD为边作▱BCDE，连接EA并延长到点F．使AF＝AE，连接FC．发现FC是定值且为．
下面是证明过程：
∵四边形BCDE是平在四边形．
∴EO＝OC，BO＝OD．（依报1）
∵AB＝AD
∴AO⊥BD．（依据2）
…