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2024年山西省晋中市榆次区中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2024年山西省晋中市榆次区中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−13 的相反数是( )
A. 13B. 3C. −13D. − 3
2.诸葛亮的《诫子书》中有“言非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A. 学B. 广C. 才D. 以
3.下列运算结果正确的是( )
A. 3m+2m=5m2B. 4m2⋅3m3=12m6
C. (9m3−3m)÷3m=3m2D. (m−n)(n+m)=m2−n2
4.中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一.若一根头发丝的直径大约为90μm，且1μm=0.000001m，则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为( )
A. 30×10−6mB. 0.3×10−6mC. 3×10−5mD. 9×10−5m
5.关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.观察式子： 4×9= 36=6， 4× 9=2×3=6； 49100×94= 441400=2120， 49100× 94=710×32=2120； 0.25×0.04= 0.01=0.1， 0.25× 0.04=0.5×0.2=0.1，由此猜想 ab= a⋅ b(a≥0,b≥0).上述探究过程蕴含的思想方法是( )
A. 特殊与一般B. 整体C. 转化D. 分类讨论
7.2023年2月23日，“木里千秋⋅雕绘春景——晋作木雕作品展”在山西省太原市文化馆开展.本次展览旨在促进非遗项目走进现代生活，展出具有黄河流域特色的晋作木雕作品百余件.该文化馆有A，B两个口(可进可出)，另外还有C，D两个出口(只出不进).小明随机选择一个入口进入，再随机选择一个出口出去，其中从不同的出入口进出的概率是( )
A. 14B. 18C. 34D. 78
8.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABC中，IJ//KL，EF//GH，∠1=∠2=30°，∠3的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90°，∠BCD=120°，AB=2，CD=1，则AD的长为( )
A. 2 3−2
B. 3− 3
C. 4− 3
D. 2
10.如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积( )
A. 6
B. 12
C. 4π
D. 3.5π
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：1m−2−4m2−4= ______．
12.若点(x1,y1)，(x2,y2)都在反比例函数y=5x的图象上，且x1<0”“<”或“=”)
13.为了丰富校园生活，增强班级凝聚力，某校组织七年级同学参加趣味运动会，下表是七年级(1)班三个小组各比赛项目的成绩(单位：分).若要选择一个成绩较好且综合实力强的小组代表本班参加全年级比赛，则应该选择______组.(填“一”“二”或“三”)
14.有这样一类题目：将 a+2 b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn= b，则a+2 b可变为m2+n2+2mn，即变成(m+n)2，从而使得 a+2 b化简.例如：∵5+2 6=3+2+2 6=( 3)2+( 2)2+2 6=( 3+ 2)2，∴ 5+2 6= ( 3+ 2)2= 3+ 2.请你仿照上例，化简： 7−2 10= ______．
15.如图，在Rt△ACD中，AC=3，CD=2，延长CD到点B，使得BD=CD，连接AB，过点C作AD的垂线交AB于点F，则AF的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(−13)−2−6× 33+|−2|+ 12；
(2)解方程：6x−1=1x−1−1．
17.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
(1)尺规作图：作∠ACD的平分线交AB边于点E.(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)试猜想线段BE与BC之间的数量关系，并加以证明．
18.(本小题10分)
“自古酿醋数山西，追根溯源在清徐”.清徐老陈醋以“蒸，酵，熏，淋，陈”著称于世，品质位居全国四大名醋之首.某店销售保健醋，已知6.8°酸比5°酸每斤便宜3元，3000元购买6.8°酸的数量是1650元购买5°酸的2倍．
(1)求6.8°酸，5°酸两种保健醋的单价分别是多少？
(2)6.8°酸每斤获利5元，5°酸每斤获利8元，该店计划共购100斤保健醋销售，要求6.8°酸不少于5°酸的2倍，两种醋的数量都是整斤数，应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
19.(本小题7分)
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形
在数学兴趣课上，老师提出一个问题：利用尺规在锐角三角形纸片ABC上作菱形AEDF，且点D，E，F分别在BC，AB，AC边上，同学们以小组为单位展开了讨论．
勤学小组展示了他们的作法：如图1，以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交AB，AC边于点G，H；分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，在△ABC内部交于点L；连接AL并延长，交BC边于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交AB，BC边于点M，N；以点D为圆心，BN长为半径画弧，交BC边于点P；以点P为圆心，MN长为半径画弧，交前弧于点Q；连接DQ并延长，交AC边于点F；以点A为圆心，AF长为半径画弧，交AB边于点E；连接DE，DF.则四边形AEDF为菱形．
勤学小组进行了以下证明：
证明：根据尺规作图，得AD平分∠BAC，∠FDC=∠B，AE=AF．
∴∠BAD=∠CAD，FD//AB．
∴∠ADF=∠BAD．
∴∠ADF=∠CAD．
∴AF=DF.(依据1)
∴AE=DF．
∴四边形AEDF是平行四边形.(依据2)
又∵AE=AF，
∴四边形AEDF是菱形．
善思小组也展示了他们的作法：如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC边于点R，S；分别以点R，S为圆心，大于12RS的长为半径画弧，两弧交于点T；连接AT并延长，交BC边于点D；分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧分别交于点W，V；连接WV，分别交AB，AD，AC于点E，O，F；连接DE，DF.则四边形AEDF为菱形．
任务：
(1)填出证明过程中的依据．
依据1：______；
依据2：______．
(2)请根据善思小组的作法，求证：四边形AEDF是菱形．
(3)如图3，请你在锐角三角形纸片ABC上用尺规再设计一种不同的方法作菱形AEDF.(要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
20.(本小题9分)
近日，“山河四省”携手发布文旅大片，积极推介家乡，恰逢假期的学生们也想贡献自己的绵薄之力.某中学校志愿者社团为了解全校2800名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下不完整的调查报告：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)参与本次抽样调查的学生人数为______；将条形统计图和扇形统计图补充完整．
(2)请估计在本校2800名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约是“6～9h”的学生人数．
(3)若该校志愿者社团要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是多少？(分数表示即可)
21.(本小题6分)
三晋名刹双塔寺，本名“永祚寺”，位于山西省太原市城区东南方向，距市中心4公里左右的郝庄村南之向山脚畔.这里绿树红墙，宝塔梵殿，碑碣栉比，花卉溢香，松柏凝翠，古香古色.数学兴趣小组在周末时间参观了双塔寺，对寺内“舍利塔”的高度做了测量，如图所示，点A为塔底中心点，观测者小明在点D测得塔顶B的仰角为30°，沿着DA向前走40米到达点C，此时测得塔顶B的仰角为45°，测量时点A，C，D在同一水平直线上，且与点B在同一竖直平面内，根据该小组所获得的数据，请你求出塔AB高度是多少？(结果精确到整数，参考数据， 2≈1.41， 3≈1.73)
22.(本小题13分)
综合与探究
如图，抛物线y=14x2−32x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,−4)，作直线AC，BC，PBC是直线下方抛物线上一动点．
(1)求A，B两点的坐标，并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
(2)过点P作PQ//y轴，交直线BC于点Q，交直线AC于点T.当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐标．
(3)在(2)的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M，使以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形ABCD是矩形，分别以AD，CD为边，在矩形ABCD外侧作正方形ADEF和CDMN(点B，A，F在同一直线上，点B，C，N在同一直线上).连接FN，取FN的中点P，连接BP．
求证：BP⊥FN，BP=12FN．
解决问题：
(1)请你解答老师提出的问题．
数学思考：
(2)受到老师所提问题的启发，“兴趣小组”又提出了一个新问题：如图，若四边形ABCD是平行四边形(∠DAB≠90°)，其余条件保持不变，则老师所提问题的结论是否保持不变？请你说明理由．
(3)“智慧小组”所提的问题是：如图，四边形ABCD是菱形，分别以AD，CD为边，在菱形外侧作正方形ADEF和CDMN.连接BD并延长，交FN于点P.若∠DAB=30°，FN=6，求BD的长.请你思考该问题，并直接写出结果．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−13的相反数是13，
故选：A．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：由正方体的展开图特点可得：“非”和“才”相对；“学”和“以”相对；“无”和“广”相对．
故选：C．
找出正方体的相对面上的汉字解题即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字的知识，掌握正方体的相对面上的汉字是关键．
3.【答案】D
【解析】解：3m+2m=5m，故选项A错误，不符合题意；
4m2⋅3m3=12m5，故选项B错误，不符合题意；
(9m3−3m)÷3m=3m2−1，故选项C错误，不符合题意；
(m−n)(n+m)=m2−n2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项的方法可以判断A；根据单项式的乘法可以判断B；根据多项式除以单项式的方法可以判断C；根据平方差公式可以判断D．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：90×13×0.000001m=3×10−5m，
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】D
【解析】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以(x−1)，这样会漏解；
乙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值错误；
丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一般的平方；
丁利用解一元二次方程−因式分解法，计算正确；
故选：D．
分别利用解一元二次方程−因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法，配方法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般，
故选：A．
根据题意确定蕴含的思想方法．
本题考查的是二次根式的乘除法、数学思想，正确区分所学的数学思想是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：画树状图为：
共有8种等可能的结果，其中从不同的出入口进出的结果数为6种，
所以从不同的出入口进出的概率=68=34．
故选：C．
画树状图展示所有8种等可能的结果，再找出从不同的出入口进出的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
8.【答案】D
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠MJG=90°，∠2+∠MGJ=90°，
∵∠1=∠2=30°，
∴∠MJG=∠MGJ=60°，
∴∠GMJ=180°−∠MJG−∠MGJ=60°，
∴∠5=60°，
∵IJ//KL，EF//GH，
∴四边形NPMO是平行四边形，
∴∠4=∠5=60°，
∴∠3=∠4=60°，
故选：D．
首先利用等角的余角相等得到∠MJG=∠MGJ=60°，然后利用IJ//KL，EF//GH判断出四边形NPMO是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得到∠3=∠4=∠5．
本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：延长AD、BC交于E，
∵∠BCD=120°，
∴∠A=60°，
∵∠B=90°，
∴∠ADC=90°，∠E=30°，
在Rt△ABE中，AE=2AB=4，
在Rt△CDE中，DE=CDtan∠E= 3，
∴AD=AE−DE=4− 3，
故选：C．
延长AD、BC交于E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：取CD中点O，连接OF，
∵正方形的边长为4，
∴CD=4，
∴OC=OD=2，
∵扇形OFC的面积=90π×22360=π，△OFC的面积=12OF⋅OC=12×2×2=2，
∴弓形CMF的面积=扇形OFC的面积−△OFC的面积=π−2，
∵△ABC的面积=12AB⋅BC=12×4×4=8，半圆的面积=12π×22=2π，S1=S2，
∴阴影的面积=△ABC的面积+半圆的面积−弓形CMF的面积×2=8+2π−2(π−2)=12．
故选：B．
取CD中点O，连接OF，由阴影的面积=△ABC的面积+半圆的面积−弓形CMF的面积×2，求出△ABC的面积，半圆的面积，弓形CMF的面积，即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是得到阴影的面积=△ABC的面积+半圆的面积−弓形CMF的面积×2．
11.【答案】1m+2
【解析】解：原式=1m−2−4(m−2)(m+2)
=m+2−4(m−2)(m+2)
=m−2(m−2)(m+2)
=1m+2
拆m2−4为(m+2)(m−2)，将两个分式转化为同分母即可求解．
本题考查了分式的加减法，仔细计算即可，较为简单．
12.【答案】<
【解析】解：∵反比例函数y=5x中k=5>0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1<0∴点(x1,y1)在第三象限，(x2,y2)在第一象限，
∴y2>0，y1<0，
∴y1故答案为：<．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1<0本题考查的是反比例函数性质，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
13.【答案】三
【解析】解：∵9.0>8.8
∴从一组和三组中选择一组参加比赛，
∵三组的方差0.025小于一组的方差0.1，
∴应选择三组．
故答案为：三．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】 5− 2
【解析】解：∵7−2 10
=5+2−2 10
=( 5)2+( 2)2−2 10
=( 5− 2)2，
∴ 7−2 10
= ( 5− 2)2
= 5− 2．
故答案为： 5− 2．
先把7化为5+2，仿照例题得结论．
本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质，看懂题例是解决本题的关键．
15.【答案】4517
【解析】解：过点B作BG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=∠BGD=90°，
在△BDG和△CED中，
∠BGD=∠CED∠BDG=∠CDEBD=CD，
∴△BDG≌△CED(ASA)，
∴DG=DE，
在Rt△ACD中，
AC=3，CD=2，
由勾股定理，得AD= AC2+CD2= 32+22= 13，
∵S△ACD=12AC⋅CD=12AD⋅CE，
∴CE=AC⋅CDAD=3×2 13=6 1313，
在Rt△ACE中，
由勾股定理，得AE= AC2−CE2= 32−(6 1313)2=9 1313，
∴DE=AD−AE= 13−9 1313=4 1313，
∴DG=DE=4 1313，
∴AG=AD+DG= 13+4 1313=17 1313，
在Rt△ABC中，
AC=3，BC=2CD=4，
由勾股定理，得AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵CF⊥AD，BG⊥AD，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△AGB，
∴AFAB=AEAG，
∴AF5=9 131317 1313，
∴AF=4517，
过点B作BG⊥AD交AD的延长线于点G，利用全等和勾股定理求出AE，AG的长，再利用△AEF∽△AGB即可求出AF的长．
本题综合考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，通过作辅助线构造全等和相似是解题的关键．本题也可利用相似求AE和DE的长．
16.【答案】解：(1)原式=9−2 3+2+2 3
=11；
(2)6x−1=1x−1−1，
去分母得：6=1−(x−1)，
去括号得：6=1−x+1，
移项得：x=1+1−6，
合并同类项得：x=−4．
检验：当x=−4时，x−1≠0．
∴原方程的解为x=−4．
【解析】(1)先计算负整数指数幂，化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，解分式方程，熟知运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示，即为所求；
(2)BE=BC，证明如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC．
【解析】(1)根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
(2)先得到∠ACE+∠BCE=90°，再由垂直的定义和三角形内角和定理得到∠DEC+∠DCE=90°，由角平分线的定义得到∠ACE=∠DCE，进而推出∠BCE=∠BEC，则BE=BC．
本题主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义和角平分线的尺规作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
18.【答案】解：(1)设6.8°酸，5°酸两种保健醋的单价分别x元、y元．
根据题意，得y−x=33000x=2×1650y，解得x=30y=33．
∴6.8°酸，5°酸两种保健醋的单价分别30元、33元．
(2)设购进x斤6.8°酸保健醋，那么购进5°酸保健醋的数量是(100−x)斤．
由题意得x≥2(100−x)，解得x≥2003．
∵x为整数，
∴67≤x<100．
获得的利润是y=5x+8(100−x)=−3x+800．
∴y=−3x+800(67≤x<100)．
∵−3x的值随x的减小而增大，即y随x的减小而增大，
∴当x=67时，获得最大利润，最大利润是y=−3×67+800=599．
∴购进67斤6.8°酸保健醋和33斤5°酸保健醋才能获得最大利润，最大利润是599元．
【解析】(1)设6.8°酸，5°酸两种保健醋的单价分别x元、y元，根据题意列方程组并求解即可；
(2)设购进x斤6.8°酸保健醋，那么购进5°酸保健醋的数量是(100−x)斤，写出利润y关于x的函数表达式，并根据题意求出x的取值范围．根据y随x的变化特点，求出当y取得最大值时x的值．
本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，根据题意写出变量之间的函数关系式、快速准确地列出并求解二元一次方程组是初中数学中最基本的能力要求，在这方面一定要多练习．
19.【答案】等角对等边 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】(1)解：依据1为“等角对等边“，依据2为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形“；
故答案为：等角对等边，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(2)证明：由作图可知，AD平分∠BAC，EF是AD的垂直平分线，
∴∠BAD=∠CAD，AE=DE，AF=DF，
∴∠BAD=∠ADE，∠CAD=∠ADF，
∴∠CAD=∠ADE，∠BAD=∠ADF，
∴DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵EF⊥AD，
∴四边形AEDF是菱形；
(3)解：如图，四边形AEDF即为所求．
(1)根据等角对等边，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
(2)根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可；
(3)作AD平分∠BAC，过点D作DE//AC，DF//AB，DE，DF分别交AB，AC于点E，F，四边形AEDF即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
20.【答案】400
【解析】解：(1)156÷39%=400(人)，
∴B、志愿时间为3～6h的有：400−36−156−136=72(人)，
D、志愿时间为9h以上的占比为：1−9%−18%−39%=34%，
补全的条形统计图和扇形统计图如下：
故答案为：400；
(2)2800×39%=1092(人)，
答：本校本学期参加志愿服务的时长大约是“6～9h”的学生人数有1092人．
(3)∵被调查的女生总人数：68+36+62+18=184(人)，
∴想去山西博物院的女生的概率：68184=1746，
答：被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是1746．
(1)参与本次抽样调查的学生人数为156÷39%，计算即可，然后再补全条形统计图和扇形统计图；
(2)本校本学期参加志愿服务的时长大约是“6～9h”的学生人数有：2800×39%；
(3)想去山西博物院的女生的概率：想去山西博物院的女生人数÷被调查的女生总人数．
本题考查的是扇形统计图，条形统计图和利用频率估计概率，能够熟练算出调查总人数是解题的关键．
21.【答案】解：由题意得：BA⊥AD，CD=40米，
设AC=x米，
∴AD=AC+CD=(x+40)米，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴AB=AC⋅tan45°=x(米)，
在Rt△ABD中，∠D=30°，
∴AB=AD⋅tan30°= 33(x+40)米，
∴x= 33(x+40)，
解得：x=20 3+20，
∴AB=20 3+20≈55(米)，
∴塔AB高度约为55米．
【解析】根据题意可得：BA⊥AD，CD=40米，然后设AC=x米，则AD=(x+40)米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)当y=0时，14x2−32x−4=0.解得x1=−2，x2=8．
∵点A在点B的左侧，
∴A(−2,0)，B(8,0)，
设直线AC的表达式为：y=kx+b
将A(−2,0)，C(0,−4)代入得：b=−4−2k+b=0，
解得：b=−4k=−2，
∴直线AC的函数表达式为y=−2x−4，
同理将B(8,0)，C(0,−4)代入，可得直线BC的函数表达式为y=12x−4．
(2)设P(m,14m2−32m−4)，
∵QT//y轴，
∴Q(m,12m−4),T(m,−2m−4)，
∴PQ=12m−4−(14m2−32m−4)=−14m2+2m，
PT=14m2−32m−4−(−2m−4)=14m2+12m，
∵P为线段TQ的中点，
∴PQ=PT，
∴−14m2+2m=14m2+12m．
解得m1=0(舍去)，m2=3，
∴P(3,−254)；
(3)存在，点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013)，
分以下三种情况讨论：
①当∠PNB=90°时，如图，过点N1作N1D⊥x轴于点D，
过点P作PE⊥DN1，交DN1的延长线于点E．
设N1(a,12a−4)，则EP=3−a,EN1=12a−4−(−254)=12a+94，
∵∠PN1B=90°，
∴∠DN1B+∠EN1P=90°．
∵∠N1DB=90°，
∴∠DN1B+∠DBN1=90°，
∴∠EN1P=∠DBN1．
又∵∠BOC=∠N1EP=90°，
∴△BOC∽△N1EP，
∴OBEN1=OCEP，
∵B(8,0)，C(0,−4)，
∴OB=8，OC=4，
∴812a+94=43−a，
解得a=32，
∴N1(32,−134)，
∴M1(192,−3)；
②当∠NPB=90°时，如图，过点P作PF//x轴，过点B作BF⊥PF于点F，
过点N2作N2G⊥PF交FP的延长线于点G．
设N2(b,12b−4)，则PG=3−b,N2G=12b−4−(−254)=12b+94，
∵∠N2PB=90°，
∴∠N2PG+∠BPF=90°，
∵∠N2GP=90°，
∴∠N2PG+∠PN2G=90°，
∴∠BPF=∠PN2G，
又∵∠BFP=∠PGN2=90°，
∴△BFP∽△PGN2，
∴BFPG=PFN2G，
∵B(8,0),P(3,−254)，
∴BF=254,PF=5，
∴2543−b=512b+94，
解得b=326，
∴N2(326,−20552)，
∴M2(13326,3013)；
③当∠PBN=90°时，该情况不存在．
综上所述，点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013)．
【解析】(1)把先根据与x轴的交点得到A，B的坐标，将坐标点代入即可得表达式；
(2)设P(m,14m2−32m−4)，根据QT//y轴，得出PQ，PT的代数式，再根据P为线段TQ的中点，即可求点P的坐标；
(3)分情况讨论：①当∠PNB=90°，证明得△BOC∽△N1EP，根据比例即可；②当∠NPB=90°，证明得△BFP∽△PGN2，根据比例即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解、相似三角形的判定与性质等，解题的关键在于正确画出辅助线．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°，
∵四边形ADEF和CDMN是正方形，
∴AF=AD，CN=CD，
∴AF+AB=BC+CN，
∴BF=BN，
∴△BFN是等腰直角三角形，
又∵点P是FN的中点，
∴BP⊥FN，BP=12FN．
(2)解：不变．连接BF，BN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∵四边形ADEF和CDMN是正方形，
∴AF=AD，CN=CD，∠DAF=∠CDN=90°，
∴AB=CN，AF=BC，∠DAF+∠BAD=∠CDN+∠BCD，
∴∠BAF=∠NCB，
∴△BAF≌△NCB(SAS)，
∴BF=BN，∠AFB=∠CBN，∠ABF=∠CNB．
∵AD//BC，∠DAB+∠ABC=180°，
在△ABF中，∠BAF+∠ABF+∠AFB=180°，
∴∠ABF+∠AFB+∠BAD=180°−∠DAF=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°−∠BAD，
∴∠FBN=∠ABC−(∠ABF+∠CBN)
=∠ABC−(∠ABF+∠AFB)
=180°−∠BAD−(90°−∠BAD)
=90°，
∴△BFN是等腰直角三角形，
又∵点P是FN的中点，
∴BP⊥FN，BP=12FN．
(3)解：BD=3− 3．
如图，连接BF，BN，过A作AH⊥BF于H，过D作DG⊥BF于G，连接DF，DN，
由(2)得：BF=BN，∠FBN=90°，BP⊥FN，BP=12FN，
∵FN=6，
∴PF=PB=PN=3，BF=BN=3 2，
∵∠DAB=30°，菱形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，
结合正方形的性质可得：AB=AD=AF=CD，
而∠DAB=30°，
∴∠FAB=90°+30°=120°，∠ABH=∠AFH=30°，
∴BH=FH=12BF=3 22，
∴AD=AB=BHcs30∘= 6，AH=12AB= 62，
∵直线PB为等腰直角三角形BFN的对称轴，
而AD=CD，
∴两个正方形全等，
∴DF=DN，
∴D在BP上，
∵AH⊥BF，DG⊥BF，
AH//DG，
∴∠QDG=∠HAQ=60°−30°=30°，
∵∠DAB=∠ABF=30°，
∴BQ=AQ=AHcs30∘= 2，
∴DQ= 6− 2，
∴DG=DQ⋅cs30°= 32( 6− 2)，
∵∠FBP=45°，
∴BD= 2DG= 2× 32( 6− 2)=3− 3．
【解析】(1)证明△BFN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
(2)连接BF，BN，证明△BAF≌△NCB(SAS)，由全等三角形的性质得出BF=BN，∠AFB=∠CBN，∠ABF=∠CNB.证出△BFN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
(3)连接BF，BN，过A作AH⊥BF于H，过D作DG⊥BF于G，连接DF，DN，由(2)得：BF=BN，∠FBN=90°，BP⊥FN，BP=12FN，解直角三角形可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．甲
乙
丙
丁
两边同时除以(x−1)得x=3
整理得x2−4x=−3
∵a=1，b=−4，c=−3，
∴b2−4ac=28，
∴x=4± 282=2± 7，
∴x1=2+ 7，x2=2− 7
整理得x2−4x=−3，
配方得x2−4x+2=−1，
∴(x−2)2=−1，
∴x−2=±1，
∴x1=1，x2=3
移项得x(x−1)−3(x−1)=0，
∴(x−3)(x−1)=0，
∴x−3=0或x−1=0，
∴x1=1，x2=3
同舟共济
运球接力
三人两足跑
跳绳接力
平均数
方差
一组
8.8
9.2
8.6
9.4
9.0
0.1
二组
8.6
8.8
8.7
9.1
8.8
0.035
三组
8.9
9.1
8.8
9.2
9.0
0.025
调查主题
××中学学生参加志愿服务情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理、描述
调查问卷
您好!这是一份关于参加志愿服务的调查问卷，在以下两个问题中，请选择一项最符合您实际情况的选项，非常感谢您的配合!
1、本学期您参加志愿服务的时长大约是(每项含最大值，不含最小值)_____；
A.0～3hB.3～6hC.6～9hD.9h以上
2、学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是_____．
E.山西博物院F.太原晋商博物馆
G.山西地质博物馆H.中国煤炭博物馆
将问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图：
调查结果
…
1.−13 的相反数是( )
A. 13B. 3C. −13D. − 3
2.诸葛亮的《诫子书》中有“言非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A. 学B. 广C. 才D. 以
3.下列运算结果正确的是( )
A. 3m+2m=5m2B. 4m2⋅3m3=12m6
C. (9m3−3m)÷3m=3m2D. (m−n)(n+m)=m2−n2
4.中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一.若一根头发丝的直径大约为90μm，且1μm=0.000001m，则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为( )
A. 30×10−6mB. 0.3×10−6mC. 3×10−5mD. 9×10−5m
5.关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.观察式子： 4×9= 36=6， 4× 9=2×3=6； 49100×94= 441400=2120， 49100× 94=710×32=2120； 0.25×0.04= 0.01=0.1， 0.25× 0.04=0.5×0.2=0.1，由此猜想 ab= a⋅ b(a≥0,b≥0).上述探究过程蕴含的思想方法是( )
A. 特殊与一般B. 整体C. 转化D. 分类讨论
7.2023年2月23日，“木里千秋⋅雕绘春景——晋作木雕作品展”在山西省太原市文化馆开展.本次展览旨在促进非遗项目走进现代生活，展出具有黄河流域特色的晋作木雕作品百余件.该文化馆有A，B两个口(可进可出)，另外还有C，D两个出口(只出不进).小明随机选择一个入口进入，再随机选择一个出口出去，其中从不同的出入口进出的概率是( )
A. 14B. 18C. 34D. 78
8.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABC中，IJ//KL，EF//GH，∠1=∠2=30°，∠3的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90°，∠BCD=120°，AB=2，CD=1，则AD的长为( )
A. 2 3−2
B. 3− 3
C. 4− 3
D. 2
10.如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积( )
A. 6
B. 12
C. 4π
D. 3.5π
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：1m−2−4m2−4= ______．
12.若点(x1,y1)，(x2,y2)都在反比例函数y=5x的图象上，且x1<0
13.为了丰富校园生活，增强班级凝聚力，某校组织七年级同学参加趣味运动会，下表是七年级(1)班三个小组各比赛项目的成绩(单位：分).若要选择一个成绩较好且综合实力强的小组代表本班参加全年级比赛，则应该选择______组.(填“一”“二”或“三”)
14.有这样一类题目：将 a+2 b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn= b，则a+2 b可变为m2+n2+2mn，即变成(m+n)2，从而使得 a+2 b化简.例如：∵5+2 6=3+2+2 6=( 3)2+( 2)2+2 6=( 3+ 2)2，∴ 5+2 6= ( 3+ 2)2= 3+ 2.请你仿照上例，化简： 7−2 10= ______．
15.如图，在Rt△ACD中，AC=3，CD=2，延长CD到点B，使得BD=CD，连接AB，过点C作AD的垂线交AB于点F，则AF的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(−13)−2−6× 33+|−2|+ 12；
(2)解方程：6x−1=1x−1−1．
17.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
(1)尺规作图：作∠ACD的平分线交AB边于点E.(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)试猜想线段BE与BC之间的数量关系，并加以证明．
18.(本小题10分)
“自古酿醋数山西，追根溯源在清徐”.清徐老陈醋以“蒸，酵，熏，淋，陈”著称于世，品质位居全国四大名醋之首.某店销售保健醋，已知6.8°酸比5°酸每斤便宜3元，3000元购买6.8°酸的数量是1650元购买5°酸的2倍．
(1)求6.8°酸，5°酸两种保健醋的单价分别是多少？
(2)6.8°酸每斤获利5元，5°酸每斤获利8元，该店计划共购100斤保健醋销售，要求6.8°酸不少于5°酸的2倍，两种醋的数量都是整斤数，应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
19.(本小题7分)
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形
在数学兴趣课上，老师提出一个问题：利用尺规在锐角三角形纸片ABC上作菱形AEDF，且点D，E，F分别在BC，AB，AC边上，同学们以小组为单位展开了讨论．
勤学小组展示了他们的作法：如图1，以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交AB，AC边于点G，H；分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，在△ABC内部交于点L；连接AL并延长，交BC边于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交AB，BC边于点M，N；以点D为圆心，BN长为半径画弧，交BC边于点P；以点P为圆心，MN长为半径画弧，交前弧于点Q；连接DQ并延长，交AC边于点F；以点A为圆心，AF长为半径画弧，交AB边于点E；连接DE，DF.则四边形AEDF为菱形．
勤学小组进行了以下证明：
证明：根据尺规作图，得AD平分∠BAC，∠FDC=∠B，AE=AF．
∴∠BAD=∠CAD，FD//AB．
∴∠ADF=∠BAD．
∴∠ADF=∠CAD．
∴AF=DF.(依据1)
∴AE=DF．
∴四边形AEDF是平行四边形.(依据2)
又∵AE=AF，
∴四边形AEDF是菱形．
善思小组也展示了他们的作法：如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC边于点R，S；分别以点R，S为圆心，大于12RS的长为半径画弧，两弧交于点T；连接AT并延长，交BC边于点D；分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧分别交于点W，V；连接WV，分别交AB，AD，AC于点E，O，F；连接DE，DF.则四边形AEDF为菱形．
任务：
(1)填出证明过程中的依据．
依据1：______；
依据2：______．
(2)请根据善思小组的作法，求证：四边形AEDF是菱形．
(3)如图3，请你在锐角三角形纸片ABC上用尺规再设计一种不同的方法作菱形AEDF.(要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
20.(本小题9分)
近日，“山河四省”携手发布文旅大片，积极推介家乡，恰逢假期的学生们也想贡献自己的绵薄之力.某中学校志愿者社团为了解全校2800名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下不完整的调查报告：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)参与本次抽样调查的学生人数为______；将条形统计图和扇形统计图补充完整．
(2)请估计在本校2800名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约是“6～9h”的学生人数．
(3)若该校志愿者社团要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是多少？(分数表示即可)
21.(本小题6分)
三晋名刹双塔寺，本名“永祚寺”，位于山西省太原市城区东南方向，距市中心4公里左右的郝庄村南之向山脚畔.这里绿树红墙，宝塔梵殿，碑碣栉比，花卉溢香，松柏凝翠，古香古色.数学兴趣小组在周末时间参观了双塔寺，对寺内“舍利塔”的高度做了测量，如图所示，点A为塔底中心点，观测者小明在点D测得塔顶B的仰角为30°，沿着DA向前走40米到达点C，此时测得塔顶B的仰角为45°，测量时点A，C，D在同一水平直线上，且与点B在同一竖直平面内，根据该小组所获得的数据，请你求出塔AB高度是多少？(结果精确到整数，参考数据， 2≈1.41， 3≈1.73)
22.(本小题13分)
综合与探究
如图，抛物线y=14x2−32x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,−4)，作直线AC，BC，PBC是直线下方抛物线上一动点．
(1)求A，B两点的坐标，并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
(2)过点P作PQ//y轴，交直线BC于点Q，交直线AC于点T.当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐标．
(3)在(2)的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M，使以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形ABCD是矩形，分别以AD，CD为边，在矩形ABCD外侧作正方形ADEF和CDMN(点B，A，F在同一直线上，点B，C，N在同一直线上).连接FN，取FN的中点P，连接BP．
求证：BP⊥FN，BP=12FN．
解决问题：
(1)请你解答老师提出的问题．
数学思考：
(2)受到老师所提问题的启发，“兴趣小组”又提出了一个新问题：如图，若四边形ABCD是平行四边形(∠DAB≠90°)，其余条件保持不变，则老师所提问题的结论是否保持不变？请你说明理由．
(3)“智慧小组”所提的问题是：如图，四边形ABCD是菱形，分别以AD，CD为边，在菱形外侧作正方形ADEF和CDMN.连接BD并延长，交FN于点P.若∠DAB=30°，FN=6，求BD的长.请你思考该问题，并直接写出结果．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−13的相反数是13，
故选：A．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：由正方体的展开图特点可得：“非”和“才”相对；“学”和“以”相对；“无”和“广”相对．
故选：C．
找出正方体的相对面上的汉字解题即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字的知识，掌握正方体的相对面上的汉字是关键．
3.【答案】D
【解析】解：3m+2m=5m，故选项A错误，不符合题意；
4m2⋅3m3=12m5，故选项B错误，不符合题意；
(9m3−3m)÷3m=3m2−1，故选项C错误，不符合题意；
(m−n)(n+m)=m2−n2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项的方法可以判断A；根据单项式的乘法可以判断B；根据多项式除以单项式的方法可以判断C；根据平方差公式可以判断D．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：90×13×0.000001m=3×10−5m，
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】D
【解析】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以(x−1)，这样会漏解；
乙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值错误；
丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一般的平方；
丁利用解一元二次方程−因式分解法，计算正确；
故选：D．
分别利用解一元二次方程−因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法，配方法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般，
故选：A．
根据题意确定蕴含的思想方法．
本题考查的是二次根式的乘除法、数学思想，正确区分所学的数学思想是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：画树状图为：
共有8种等可能的结果，其中从不同的出入口进出的结果数为6种，
所以从不同的出入口进出的概率=68=34．
故选：C．
画树状图展示所有8种等可能的结果，再找出从不同的出入口进出的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
8.【答案】D
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠MJG=90°，∠2+∠MGJ=90°，
∵∠1=∠2=30°，
∴∠MJG=∠MGJ=60°，
∴∠GMJ=180°−∠MJG−∠MGJ=60°，
∴∠5=60°，
∵IJ//KL，EF//GH，
∴四边形NPMO是平行四边形，
∴∠4=∠5=60°，
∴∠3=∠4=60°，
故选：D．
首先利用等角的余角相等得到∠MJG=∠MGJ=60°，然后利用IJ//KL，EF//GH判断出四边形NPMO是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得到∠3=∠4=∠5．
本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：延长AD、BC交于E，
∵∠BCD=120°，
∴∠A=60°，
∵∠B=90°，
∴∠ADC=90°，∠E=30°，
在Rt△ABE中，AE=2AB=4，
在Rt△CDE中，DE=CDtan∠E= 3，
∴AD=AE−DE=4− 3，
故选：C．
延长AD、BC交于E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：取CD中点O，连接OF，
∵正方形的边长为4，
∴CD=4，
∴OC=OD=2，
∵扇形OFC的面积=90π×22360=π，△OFC的面积=12OF⋅OC=12×2×2=2，
∴弓形CMF的面积=扇形OFC的面积−△OFC的面积=π−2，
∵△ABC的面积=12AB⋅BC=12×4×4=8，半圆的面积=12π×22=2π，S1=S2，
∴阴影的面积=△ABC的面积+半圆的面积−弓形CMF的面积×2=8+2π−2(π−2)=12．
故选：B．
取CD中点O，连接OF，由阴影的面积=△ABC的面积+半圆的面积−弓形CMF的面积×2，求出△ABC的面积，半圆的面积，弓形CMF的面积，即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是得到阴影的面积=△ABC的面积+半圆的面积−弓形CMF的面积×2．
11.【答案】1m+2
【解析】解：原式=1m−2−4(m−2)(m+2)
=m+2−4(m−2)(m+2)
=m−2(m−2)(m+2)
=1m+2
拆m2−4为(m+2)(m−2)，将两个分式转化为同分母即可求解．
本题考查了分式的加减法，仔细计算即可，较为简单．
12.【答案】<
【解析】解：∵反比例函数y=5x中k=5>0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1<0
∴y2>0，y1<0，
∴y1
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1<0
13.【答案】三
【解析】解：∵9.0>8.8
∴从一组和三组中选择一组参加比赛，
∵三组的方差0.025小于一组的方差0.1，
∴应选择三组．
故答案为：三．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】 5− 2
【解析】解：∵7−2 10
=5+2−2 10
=( 5)2+( 2)2−2 10
=( 5− 2)2，
∴ 7−2 10
= ( 5− 2)2
= 5− 2．
故答案为： 5− 2．
先把7化为5+2，仿照例题得结论．
本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质，看懂题例是解决本题的关键．
15.【答案】4517
【解析】解：过点B作BG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=∠BGD=90°，
在△BDG和△CED中，
∠BGD=∠CED∠BDG=∠CDEBD=CD，
∴△BDG≌△CED(ASA)，
∴DG=DE，
在Rt△ACD中，
AC=3，CD=2，
由勾股定理，得AD= AC2+CD2= 32+22= 13，
∵S△ACD=12AC⋅CD=12AD⋅CE，
∴CE=AC⋅CDAD=3×2 13=6 1313，
在Rt△ACE中，
由勾股定理，得AE= AC2−CE2= 32−(6 1313)2=9 1313，
∴DE=AD−AE= 13−9 1313=4 1313，
∴DG=DE=4 1313，
∴AG=AD+DG= 13+4 1313=17 1313，
在Rt△ABC中，
AC=3，BC=2CD=4，
由勾股定理，得AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵CF⊥AD，BG⊥AD，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△AGB，
∴AFAB=AEAG，
∴AF5=9 131317 1313，
∴AF=4517，
过点B作BG⊥AD交AD的延长线于点G，利用全等和勾股定理求出AE，AG的长，再利用△AEF∽△AGB即可求出AF的长．
本题综合考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，通过作辅助线构造全等和相似是解题的关键．本题也可利用相似求AE和DE的长．
16.【答案】解：(1)原式=9−2 3+2+2 3
=11；
(2)6x−1=1x−1−1，
去分母得：6=1−(x−1)，
去括号得：6=1−x+1，
移项得：x=1+1−6，
合并同类项得：x=−4．
检验：当x=−4时，x−1≠0．
∴原方程的解为x=−4．
【解析】(1)先计算负整数指数幂，化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，解分式方程，熟知运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示，即为所求；
(2)BE=BC，证明如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC．
【解析】(1)根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
(2)先得到∠ACE+∠BCE=90°，再由垂直的定义和三角形内角和定理得到∠DEC+∠DCE=90°，由角平分线的定义得到∠ACE=∠DCE，进而推出∠BCE=∠BEC，则BE=BC．
本题主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义和角平分线的尺规作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
18.【答案】解：(1)设6.8°酸，5°酸两种保健醋的单价分别x元、y元．
根据题意，得y−x=33000x=2×1650y，解得x=30y=33．
∴6.8°酸，5°酸两种保健醋的单价分别30元、33元．
(2)设购进x斤6.8°酸保健醋，那么购进5°酸保健醋的数量是(100−x)斤．
由题意得x≥2(100−x)，解得x≥2003．
∵x为整数，
∴67≤x<100．
获得的利润是y=5x+8(100−x)=−3x+800．
∴y=−3x+800(67≤x<100)．
∵−3x的值随x的减小而增大，即y随x的减小而增大，
∴当x=67时，获得最大利润，最大利润是y=−3×67+800=599．
∴购进67斤6.8°酸保健醋和33斤5°酸保健醋才能获得最大利润，最大利润是599元．
【解析】(1)设6.8°酸，5°酸两种保健醋的单价分别x元、y元，根据题意列方程组并求解即可；
(2)设购进x斤6.8°酸保健醋，那么购进5°酸保健醋的数量是(100−x)斤，写出利润y关于x的函数表达式，并根据题意求出x的取值范围．根据y随x的变化特点，求出当y取得最大值时x的值．
本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，根据题意写出变量之间的函数关系式、快速准确地列出并求解二元一次方程组是初中数学中最基本的能力要求，在这方面一定要多练习．
19.【答案】等角对等边 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】(1)解：依据1为“等角对等边“，依据2为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形“；
故答案为：等角对等边，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(2)证明：由作图可知，AD平分∠BAC，EF是AD的垂直平分线，
∴∠BAD=∠CAD，AE=DE，AF=DF，
∴∠BAD=∠ADE，∠CAD=∠ADF，
∴∠CAD=∠ADE，∠BAD=∠ADF，
∴DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵EF⊥AD，
∴四边形AEDF是菱形；
(3)解：如图，四边形AEDF即为所求．
(1)根据等角对等边，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
(2)根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可；
(3)作AD平分∠BAC，过点D作DE//AC，DF//AB，DE，DF分别交AB，AC于点E，F，四边形AEDF即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
20.【答案】400
【解析】解：(1)156÷39%=400(人)，
∴B、志愿时间为3～6h的有：400−36−156−136=72(人)，
D、志愿时间为9h以上的占比为：1−9%−18%−39%=34%，
补全的条形统计图和扇形统计图如下：
故答案为：400；
(2)2800×39%=1092(人)，
答：本校本学期参加志愿服务的时长大约是“6～9h”的学生人数有1092人．
(3)∵被调查的女生总人数：68+36+62+18=184(人)，
∴想去山西博物院的女生的概率：68184=1746，
答：被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是1746．
(1)参与本次抽样调查的学生人数为156÷39%，计算即可，然后再补全条形统计图和扇形统计图；
(2)本校本学期参加志愿服务的时长大约是“6～9h”的学生人数有：2800×39%；
(3)想去山西博物院的女生的概率：想去山西博物院的女生人数÷被调查的女生总人数．
本题考查的是扇形统计图，条形统计图和利用频率估计概率，能够熟练算出调查总人数是解题的关键．
21.【答案】解：由题意得：BA⊥AD，CD=40米，
设AC=x米，
∴AD=AC+CD=(x+40)米，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴AB=AC⋅tan45°=x(米)，
在Rt△ABD中，∠D=30°，
∴AB=AD⋅tan30°= 33(x+40)米，
∴x= 33(x+40)，
解得：x=20 3+20，
∴AB=20 3+20≈55(米)，
∴塔AB高度约为55米．
【解析】根据题意可得：BA⊥AD，CD=40米，然后设AC=x米，则AD=(x+40)米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)当y=0时，14x2−32x−4=0.解得x1=−2，x2=8．
∵点A在点B的左侧，
∴A(−2,0)，B(8,0)，
设直线AC的表达式为：y=kx+b
将A(−2,0)，C(0,−4)代入得：b=−4−2k+b=0，
解得：b=−4k=−2，
∴直线AC的函数表达式为y=−2x−4，
同理将B(8,0)，C(0,−4)代入，可得直线BC的函数表达式为y=12x−4．
(2)设P(m,14m2−32m−4)，
∵QT//y轴，
∴Q(m,12m−4),T(m,−2m−4)，
∴PQ=12m−4−(14m2−32m−4)=−14m2+2m，
PT=14m2−32m−4−(−2m−4)=14m2+12m，
∵P为线段TQ的中点，
∴PQ=PT，
∴−14m2+2m=14m2+12m．
解得m1=0(舍去)，m2=3，
∴P(3,−254)；
(3)存在，点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013)，
分以下三种情况讨论：
①当∠PNB=90°时，如图，过点N1作N1D⊥x轴于点D，
过点P作PE⊥DN1，交DN1的延长线于点E．
设N1(a,12a−4)，则EP=3−a,EN1=12a−4−(−254)=12a+94，
∵∠PN1B=90°，
∴∠DN1B+∠EN1P=90°．
∵∠N1DB=90°，
∴∠DN1B+∠DBN1=90°，
∴∠EN1P=∠DBN1．
又∵∠BOC=∠N1EP=90°，
∴△BOC∽△N1EP，
∴OBEN1=OCEP，
∵B(8,0)，C(0,−4)，
∴OB=8，OC=4，
∴812a+94=43−a，
解得a=32，
∴N1(32,−134)，
∴M1(192,−3)；
②当∠NPB=90°时，如图，过点P作PF//x轴，过点B作BF⊥PF于点F，
过点N2作N2G⊥PF交FP的延长线于点G．
设N2(b,12b−4)，则PG=3−b,N2G=12b−4−(−254)=12b+94，
∵∠N2PB=90°，
∴∠N2PG+∠BPF=90°，
∵∠N2GP=90°，
∴∠N2PG+∠PN2G=90°，
∴∠BPF=∠PN2G，
又∵∠BFP=∠PGN2=90°，
∴△BFP∽△PGN2，
∴BFPG=PFN2G，
∵B(8,0),P(3,−254)，
∴BF=254,PF=5，
∴2543−b=512b+94，
解得b=326，
∴N2(326,−20552)，
∴M2(13326,3013)；
③当∠PBN=90°时，该情况不存在．
综上所述，点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013)．
【解析】(1)把先根据与x轴的交点得到A，B的坐标，将坐标点代入即可得表达式；
(2)设P(m,14m2−32m−4)，根据QT//y轴，得出PQ，PT的代数式，再根据P为线段TQ的中点，即可求点P的坐标；
(3)分情况讨论：①当∠PNB=90°，证明得△BOC∽△N1EP，根据比例即可；②当∠NPB=90°，证明得△BFP∽△PGN2，根据比例即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解、相似三角形的判定与性质等，解题的关键在于正确画出辅助线．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°，
∵四边形ADEF和CDMN是正方形，
∴AF=AD，CN=CD，
∴AF+AB=BC+CN，
∴BF=BN，
∴△BFN是等腰直角三角形，
又∵点P是FN的中点，
∴BP⊥FN，BP=12FN．
(2)解：不变．连接BF，BN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∵四边形ADEF和CDMN是正方形，
∴AF=AD，CN=CD，∠DAF=∠CDN=90°，
∴AB=CN，AF=BC，∠DAF+∠BAD=∠CDN+∠BCD，
∴∠BAF=∠NCB，
∴△BAF≌△NCB(SAS)，
∴BF=BN，∠AFB=∠CBN，∠ABF=∠CNB．
∵AD//BC，∠DAB+∠ABC=180°，
在△ABF中，∠BAF+∠ABF+∠AFB=180°，
∴∠ABF+∠AFB+∠BAD=180°−∠DAF=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°−∠BAD，
∴∠FBN=∠ABC−(∠ABF+∠CBN)
=∠ABC−(∠ABF+∠AFB)
=180°−∠BAD−(90°−∠BAD)
=90°，
∴△BFN是等腰直角三角形，
又∵点P是FN的中点，
∴BP⊥FN，BP=12FN．
(3)解：BD=3− 3．
如图，连接BF，BN，过A作AH⊥BF于H，过D作DG⊥BF于G，连接DF，DN，
由(2)得：BF=BN，∠FBN=90°，BP⊥FN，BP=12FN，
∵FN=6，
∴PF=PB=PN=3，BF=BN=3 2，
∵∠DAB=30°，菱形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，
结合正方形的性质可得：AB=AD=AF=CD，
而∠DAB=30°，
∴∠FAB=90°+30°=120°，∠ABH=∠AFH=30°，
∴BH=FH=12BF=3 22，
∴AD=AB=BHcs30∘= 6，AH=12AB= 62，
∵直线PB为等腰直角三角形BFN的对称轴，
而AD=CD，
∴两个正方形全等，
∴DF=DN，
∴D在BP上，
∵AH⊥BF，DG⊥BF，
AH//DG，
∴∠QDG=∠HAQ=60°−30°=30°，
∵∠DAB=∠ABF=30°，
∴BQ=AQ=AHcs30∘= 2，
∴DQ= 6− 2，
∴DG=DQ⋅cs30°= 32( 6− 2)，
∵∠FBP=45°，
∴BD= 2DG= 2× 32( 6− 2)=3− 3．
【解析】(1)证明△BFN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
(2)连接BF，BN，证明△BAF≌△NCB(SAS)，由全等三角形的性质得出BF=BN，∠AFB=∠CBN，∠ABF=∠CNB.证出△BFN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
(3)连接BF，BN，过A作AH⊥BF于H，过D作DG⊥BF于G，连接DF，DN，由(2)得：BF=BN，∠FBN=90°，BP⊥FN，BP=12FN，解直角三角形可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．甲
乙
丙
丁
两边同时除以(x−1)得x=3
整理得x2−4x=−3
∵a=1，b=−4，c=−3，
∴b2−4ac=28，
∴x=4± 282=2± 7，
∴x1=2+ 7，x2=2− 7
整理得x2−4x=−3，
配方得x2−4x+2=−1，
∴(x−2)2=−1，
∴x−2=±1，
∴x1=1，x2=3
移项得x(x−1)−3(x−1)=0，
∴(x−3)(x−1)=0，
∴x−3=0或x−1=0，
∴x1=1，x2=3
同舟共济
运球接力
三人两足跑
跳绳接力
平均数
方差
一组
8.8
9.2
8.6
9.4
9.0
0.1
二组
8.6
8.8
8.7
9.1
8.8
0.035
三组
8.9
9.1
8.8
9.2
9.0
0.025
调查主题
××中学学生参加志愿服务情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理、描述
调查问卷
您好!这是一份关于参加志愿服务的调查问卷，在以下两个问题中，请选择一项最符合您实际情况的选项，非常感谢您的配合!
1、本学期您参加志愿服务的时长大约是(每项含最大值，不含最小值)_____；
A.0～3hB.3～6hC.6～9hD.9h以上
2、学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是_____．
E.山西博物院F.太原晋商博物馆
G.山西地质博物馆H.中国煤炭博物馆
将问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图：
调查结果
…
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