2024年山西省吕梁市中阳县中考数学三模试卷(含解析)
展开1.−13 的相反数是
( )
A. 13B. 3C. −13D. − 3
2.诸葛亮的《诫子书》中有“言非学无以广才”,将这六个字写在一个正方体的六个面上,如图是该正方体的一种表面展开图,则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A. 学B. 广C. 才D. 以
3.下列运算结果正确的是( )
A. 6x2÷2x2=3x2B. (xy2)2=x2y4
C. (x+y)(y−x)=x2−y2D. (x−2y)2=x2−2xy+4y2
4.为了参加2023年青少年校园足球校际联赛,某校足球队组织了5次技能考试,其中小明同学的成绩(单位:分)如下表所示:
则小明同学这5次成绩的中位数和众数分别为( )
A. 92分,90分B. 86分,91分C. 86分,92分D. 91分,91分
5.如图,点E,F分别在直线AB,CD上,AB//CD,G是直线AB上方一点,∠FEG=76°,∠CFE=56°,若EH平分∠FEG,则∠BEH的度数为( )
A. 14°B. 16°C. 18°D. 28°
6.如图,点A是反比例函数y=kx的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为3,则k的值是( )
A. 3
B. −6
C. 6
D. −3
7.《九章算术》是我国古代经典数学著作,其中卷第八方程记录了这样一个问题:今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两,问牛羊各直金几何?意为:今有牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两.问牛羊每头各值金多少?如果设牛每头值金x两,羊每头值金y两,那么根据题意,得( )
A. 5x+2y=102x+5y=8B. 5x+2y=82x+5y=10C. 5x−2y=105y−2x=8D. 5x−2y=85y−2x=10
8.将抛物线y=2x2+4x+1先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的新抛物线的函数表达式为( )
A. y=2(x+1)2+2B. y=2(x−1)2
C. y=2(x−1)2+2D. y=2(x−1)2−2
9.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O的坐标为(0,0),顶点B的坐标为B(6,4),若矩形OA′B′C′与矩形OABC关于原点O位似,且矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12,则点B′的坐标为( )
A. (3,2)
B. (−3,−2)
C. (3,2)或(−3,6)
D. (3,2)或(−3,−2)
10.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=30°,BC=6.以BC为边作正方形DBCE,延长BA,交DE边于点F,以点B为圆心,BF长为半径画弧,交CE边于点G,则图中阴影部分的面积为( )
A. 4π+3 32
B. 2 3π3+3 32
C. 4π+9−9 32
D. 2 3π3+9−9 32
二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。
11.化简:1m−2−4m2−4= ______.
12.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH.若OB=5,则OH的长为______.
13.某商场购进一批服装,每件进价为200元,由于换季滞销,商场决定将这批服装按标价的8折销售.若打折后每件服装仍能获利30%,则这批服装每件的标价为______元.
14.苯是一种有机化合物,是组成结构最简单的芳香烃,可以合成一系列衍生物.如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式,第1个图形需要9根小木棒,第2个图形需要16根小木棒,第3个图形需要23根小木棒……按此规律,第n个图形需要______根小木棒.(用含n的代数式表示)
15.如图,在△ABC中,以AB边为直径的⊙O恰好经过点C,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D,CE平分∠ACB,分别交⊙O,AB边于点E,F,连接DE.若BD=6,∠A=30°,则DE的长为______.
三、解答题:本题共8小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算:(−13)−2−6× 33+|−2|+ 12;
(2)解方程:6x−1=1x−1−1.
17.(本小题8分)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.
(1)尺规作图:作∠ACD的平分线交AB边于点E.(保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)试猜想线段BE与BC之间的数量关系,并加以证明.
18.(本小题8分)
为弘扬爱国精神,传承中华优秀传统文化,某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛,设置A,B两种奖品.校学生会计划去某超市购买A,B两种奖品共300个,A种奖品每个20元,B种奖品每个15元,该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案(只能选择其中一种).
方案一:两种奖品都按原价购买,但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品.
方案二:A种奖品按原价购买,B种奖品每个打八折.
设校学生会计划购买x个A种奖品,且x是5的倍数,选择方案一的总费用为y1元,选择方案二的总费用为y2元.
(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)校学生会选择哪种方案支付的费用较少?
19.(本小题7分)
太原钟楼街是太原市地标性商业文化街,得名于古代钟楼.钟楼见证了太原钟楼街的千年岁月,更牵动着无数老太原人的“乡愁”.某校“综合与实践”小组开展了测量钟楼高度的实践活动,请你帮他们完成下面的实践活动报告.
(1)计算钟楼OP的高度.(结果精确到0.1m)
(2)该小组要写出一份完整的实践活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目?(写出一个即可)
20.(本小题8分)
阅读材料,并解决下列问题:
在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”,借助计算器可以估算无理数的近似值,我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值.我们知道,面积为2的正方形的边长为 2,易知 2>1.因此可设 2=1+x.如图1所示构造边长为1+x的正方形,则它的面积为( 2)2=2,
根据图中面积关系,得x2+2x+1=2,
略去x2,得2x+1≈2,解得x≈0.5,∴ 2=1+x≈1.5,
易知 2<1.5,因此可设 2=1.5−x.如图2所示构造边长为1.5−x的正方形,则它的面积为( 2)2=2,
(1)上述的分析过程中,主要运用的数学思想是______.(填序号即可)
A.数形结合B.统计C.分类讨论D.转化
(2)把上述内容补充完整,使 2的近似值更加准确.(结果精确到0.001)
21.(本小题9分)
每年4月15日为全民国家安全教育日,某校为提高学生的安全意识,开展了安全知识宣讲和测试,并随机抽取了七年级20名学生的测试成绩(满分100分,共分为四组:A.60≤x<70;B.70≤x<80;C.80≤x<90;D.90≤x≤100),下面是部分信息:
七年级20名学生测试成绩为60,75,78,80,89,72,83,85,88,92,97,99,86,65,100,100,80,96,95,97.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图;
(2)在扇形统计图中,“D”所对应的扇形圆心角的度数为______°;
(3)若该校七年级共200名学生,试估计测试成绩低于80分的学生人数;
(4)七年级某班为巩固安全知识宣讲成果,计划在班内开展“提高安全意识”的活动.现要从“主题班会”“主题板报”“实况演习”“安全倡议书”四种形式中任意选择两种形式的活动,请用列表或画树状图的方法,求恰好选择“主题班会”和“安全倡议书”的概率.
22.(本小题12分)
综合与实践
特例感知:
如图1,在等边三角形ABC中,D是BC延长线上一点,且CD
(1)试判断AF与BE之间的数量关系,并说明理由.
猜想论证:
(2)如图2,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定角度,其余操作不变,则(1)中AF与BE之间的数量关系是否仍然成立,请说明理由.
拓展延伸:
(3)将如图1所示的△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°),其余操作不变.若BC=3,CD=2,当∠ABF=90°时,请直接写出CG的长.
23.(本小题13分)
综合与探究
如图,抛物线y=14x2−32x−4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,−4),作直线AC,BC,PBC是直线下方抛物线上一动点.
(1)求A,B两点的坐标,并直接写出直线AC,BC的函数表达式.
(2)过点P作PQ//y轴,交直线BC于点Q,交直线AC于点T.当P为线段TQ的中点时,求此时点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,若N是直线BC上一动点,试判断在平面内是否存在点M,使以B,P,M,N为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:−13的相反数是13,
故选:A.
根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.
本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
2.【答案】C
【解析】解:由正方体的展开图特点可得:“非”和“才”相对;“学”和“以”相对;“无”和“广”相对.
故选:C.
找出正方体的相对面上的汉字解题即可.
本题考查正方体相对两个面上的文字的知识,掌握正方体的相对面上的汉字是关键.
3.【答案】B
【解析】解:A、6x2÷2x2=(6÷2)x2−2=3x0=3,原选项计算错误,不符合题意;
B、(xy2)2=x2y2×2=x2y4,原选项计算正确,符合题意;
C、(x+y)(y−x)=y2−x2,原选项计算错误,不符合题意;
D、(x−2y)2=x2−4xy+4y2,原选项计算错误,不符合题意;
故选:B.
根据单项式的除法,积的乘方,平方差公式,完全平方公式运算法则逐项判断即可.
本题考查了单项式的除法,积的乘方,平方差公式,完全平方公式,熟知相关计算法则是解题的关键.
4.【答案】D
【解析】解:先把从小到大的顺序排列:86,90,91,91,92,
∴中位数是第三个数据为91分,
∵91出现的次数最多,
∴众数为91分,
故答案为:D.
根据中位数,众数的定义即可求解.
本题主要考查中位数和众数,掌握中位数和众数的概念是解题的关键.
5.【答案】C
【解析】解:∵∠FEG=76°,EH平分∠FEG,
∴∠FEH=12∠FEG=38°,
∵AB//CD,∠CFE=56°,
∴∠BEF=∠CFE=56°,
∴∠BEH=∠BEF−∠FEH=56°−38°=18°,
故选:C.
根据∠FEG=76°,EH平分∠FEG得到∠FEH=12∠FEG=38°,根据AB//CD,∠CFE=56°得到∠BEF=∠CFE=56°,即可得到答案.
本题考查平行线的性质及角平分线有关计算,掌握平行线的性质是解题的关键.
6.【答案】B
【解析】解:连接OA,如图,
∵AB⊥x轴,
∴OC//AB,
∴S△OAB=S△CAB=3,
而S△OAB=12|k|,
∴12|k|=3,
∵k<0,
∴k=−6.
故选:B.
连接OA,如图,利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3,再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|=3,然后去绝对值即可得到满足条件的k的值.
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义:在反比例函数y=kx图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
7.【答案】A
【解析】解:根据题意得:5x+2y=102x+5y=8,
故选:A.
因为每头牛值金x两,每头羊值金y两,根据“牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
8.【答案】B
【解析】解:将抛物线y=2x2+4x+1=2(x+1)2−1先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的新抛物线的函数表达式为y=2(x+1−2)2−1+1=2(x−1)2,
故选:B.
先把原抛物线解析式化为顶点式,再根据“上加下减,左加右减”的平移规律求解即可.
本题考查了二次函数的图象与几何变换,熟练掌握“上加下减,左加右减”的法则是解题的关键.
9.【答案】D
【解析】解:∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于原点O位似,矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12,
∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为12,
∵顶点B的坐标为B(6,4),
∴B′的坐标为(6×12,4×12)或(6×(−12),4×(−12)),
即:B′的坐标为(3,2)或(−3,−2),
故选:D.
根据矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12,得到位似比为12,即可得到答案.
本题主要考查了位似图形变换,矩形的性质,熟知两个位似图形一定相似是解题的关键.
10.【答案】A
【解析】解:∵∠BAC=90°,∠ACB=30°,BC=6,
∴AB=12BC=3,AC= 3AB=3 3,∠ABC=60°
∵正方形DBCE,
∴∠D=∠DBC=∠BCE=90°,BC=CD=6,
∴∠DBF=30°,
∴DF=12BF,BD= 3DF=6,
∴DF=2 3,BF=4 3,
连接BG,则BG=BF=4 3,
∴CG= BG2−CB2=2 3,
∴sin∠CBG=CGGB=12,
∴∠CBG=30°,
∴∠FBG=∠CBF−∠CBG=30°,
∴S阴影=S△BCG+S扇形BCG−S△BCA
=12×2 3×6+30π360×(4 3)2−12×3×3 3
=6 3+4π−9 32=4π+3 32;
故选:A.
连接BG,根据分割法求出阴影部分的面积即可.
本题考查求不规则图形的面积,解直角三角形,掌握分割法求出阴影部分的面积是解题的关键.
11.【答案】1m+2
【解析】解:原式=1m−2−4(m−2)(m+2)
=m+2−4(m−2)(m+2)
=m−2(m−2)(m+2)
=1m+2
拆m2−4为(m+2)(m−2),将两个分式转化为同分母即可求解.
本题考查了分式的加减法,仔细计算即可,较为简单.
12.【答案】5
【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∵DH⊥AB,即∠BHD=90°,
∴OH=12BD=OB=5.
故答案为:5.
根据平行四边形的性质,可得OB=OD,再由直角三角形的性质,即可求解.
本题主要考查了平行四边形的性质,直角三角形的性质,正确记忆相关知识点是解题关键.
13.【答案】325
【解析】解:设这批服装每件的标价为x元,
由题意得0.8x−200=200×30%,
解得x=325,
∴这批服装每件的标价为325元,
故答案为:325.
设这批服装每件的标价为x元,根据利润=折扣价−进价列出方程求解即可.
本题主要考查了一元一次方程的实际应用,关键是根据题意找到等量关系式.
14.【答案】(7n+2)
【解析】解:∵第1个图形中木棒的根数为:9=7+2,
第2个图形中木棒的根数为:16=7×2+2,
第3个图形中木棒的根数为:23=7×3+2,
…,
∴第n图形中木棒的根数为:7n+2,
故答案为:(7n+2).
通过观察可知:每增加一个苯环,相应的木棒增加7根,据此可求解.
本题主要考查图形的变化规律,解答的关键是总结出图形变化规律.
15.【答案】6 5
【解析】解:连接OC,OE,则:OB=OC,
∵∠A=30°,
∴∠COB=60°,
∴△OCB为等边三角形,
∴BC=OB,∠OCB=60°,
∵CD为切线,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°,
∴∠CDO=∠BCD=90°−60°=30°,
∴BC=BD=OB=6,
∴OD=12,OE=6,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE,
∵∠AOE=2∠ACE,∠BOE=2∠BCE,
∴∠AOE=∠BOE=90°,
∴DE= OD2+OE2=6 5;
故答案为:6 5.
连接OC,OE,易得△OCB为等边三角形,切线的性质,推出∠CDO=∠BCD=90°−60°=30°,进而得到BC=BD=OB=6,得到OD=12,OE=6,圆周角定理结合角平分线平分角,得到∠AOE=∠BOE=90°,勾股定理求解即可.
本题考查切线的性质,圆周角定理,勾股定理,正确记忆相关知识点是解题关键.
16.【答案】解:(1)原式=9−2 3+2+2 3
=11;
(2)6x−1=1x−1−1,
去分母得:6=1−(x−1),
去括号得:6=1−x+1,
移项得:x=1+1−6,
合并同类项得:x=−4.
检验:当x=−4时,x−1≠0.
∴原方程的解为x=−4.
【解析】(1)先计算负整数指数幂,化简二次根式,再根据二次根式的加减计算法则求解即可;
(2)按照去分母,去括号,移项,合并同类项的步骤解方程,然后检验即可得到答案.
本题主要考查了二次根式的混合运算,负整数指数幂,解分式方程,熟知运算法则是解题的关键.
17.【答案】解:(1)如图所示,即为所求;
(2)BE=BC,证明如下:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠BCE=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠DEC+∠DCE=90°,
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
∴∠BCE=∠BEC,
∴BE=BC.
【解析】(1)根据角平分线的尺规作图方法作图即可;
(2)先得到∠ACE+∠BCE=90°,再由垂直的定义和三角形内角和定理得到∠DEC+∠DCE=90°,由角平分线的定义得到∠ACE=∠DCE,进而推出∠BCE=∠BEC,则BE=BC.
本题主要考查了三角形内角和定理,等角对等边,角平分线的定义和角平分线的尺规作图,解题的关键是熟练掌握五种基本作图.
18.【答案】解:(1)根据题意,得y1=20x+15(300−x−x5)=2x+4500,
y2=20x+15×80%×(300−x)=8x+3600.
(2)由y1>y2,得2x+4500>8x+3600.
解得x<150;
∴购买A种奖品少于150个时,方案一支付费用少.
由y1=y2,得2x+4500=8x+3600.
解得x=150;
∴购买A种奖品150个时,方案一和方案二支付费用一样多;
由y1
∴购买A种奖品超过150个时,方案二支付费用少;
答:当校学生会购买少于150个A种奖品时,选择方案二支付的费用较少;当校学生会购买150个A种奖品时,选择两种方案支付的费用一样;当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时,选择方案一支付的费用较少.
【解析】(1)根据总费用=A,B两种奖品费用之和列出y1、y2关于x的函数解析式;
(2)根据(1)中解析式分三种情况讨论即可.
本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,列出函数解析式.
19.【答案】解:(1)在Rt△AOP中,∠OAP=45°,tan∠OAP=OPOA,
∴OP=OA.
在Rt△BOP中,∠OBP=38°,tan∠OBP=OPOB,
∴OB=OPtan38∘.
∵OB=OA+AB,AB=7.3m,
∴OPtan38∘=OP+7.3.
∴OP≈25.9m.
答:钟楼OP的高度约为25.9m.
(2)还需要补充的项目为计算过程、人员分工、指导教师、活动感受等.
【解析】(1)先解Rt△AOP得到OP=OA,再解Rt△BOP得到OB=OPtan38∘,进而得到OPtan38∘=OP+7.3,解之即可得到答案;
(2)根据实践活动报告的流程补充即可.
本题主要考查了解直角三角形的实际应用,掌握解直角三角形是关键.
20.【答案】A
【解析】解:(1)由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想,
故选:A;
(2)根据图中面积关系,得1.52−x2−2x(1.5−x)=2,
整理得x2−3x+2.25=2,
略去x2,得−3x+2.25≈2,解得x≈0.0833,
∴ 2=1.5−x≈1.5−0.0833≈1.417.
(1)由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想;
(2)根据图中面积关系,得1.52−x2−2x(1.5−x)=2,然后根据实例的方法进行求解即可;
本题考查了无理数的估算,正确理解题意,熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键.
21.【答案】144
【解析】解:(1)A组人数为:20×10%=2(人),D组人数为:20×(1−10%−15%−35%)=20×40%=8(人),
频数分布直方图补图如下:
(2)“D”所对应的扇形圆心角的度数为360°×(1−10%−15%−35%)=360°×40%=144°,
故答案为:144;
(3)200×2+320=50(名),
答:估计测试成绩低于80分的学生人数有50名;
(4)分别设“主题班会”“主题板报”“实况演习”“安全倡议书”为A,B,C,D,根据题意,列表如下:
由表格可知,共有12种等可能的结果,其中恰好选择“主题班会”和“安全倡议书”的结果有2种,
故其概率为212=16.
(1)求出A、D组的人数,即可补全频数分布直方图;
(2)利用360°乘以“D”对应的百分比,即可求解;
(3)利用全校总人数乘以对应的百分比,即可求解;
(4)列表,然后利用概率公式即可求解.
本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的信息关联,求扇形统计图的相关数据,列表法或画树状图法求概率等,熟练掌握列表法与树状图法及从统计图中获取信息是解题的关键.
22.【答案】解:(1)AF=BE,理由如下,
理由:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AB=BC,CE=ED,∠ABC=∠ECD=∠EDC=60°,
∵BF//ED,DF//BE,
∴四边形BFDE是平行四边形,∠FBD=∠EDC=60°,
∴BF=ED,
∴BF=CE,
∵∠ABF=∠ABC+∠FBD=120°,∠BCE=180°−∠ECD=120°,
∴∠ABF=∠BCE,
∴△ABF≌△BCE(SAS),
∴AF=BE;
(2)仍然成立,
理由:如图,连接AD,交BE于点H,
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°,
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE,∠ACD=∠ACE+∠ECD,
∴∠BCE=∠ACD,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴∠CBE=∠CAD,BE=AD,
又∵∠BGC=∠AGH,
∴∠AHG=∠GCB=60°,
由(1),知BE//DF,BE=DF,
∴∠ADF=∠AHG=60°,DF=AD,
∴△AFD是等边三角形,
∴AF=DF,
∴AF=BE,
;
(3)CG=36 3−2423,理由如下:
如图,过点G作GH⊥CE于点H,
同理(2),得AF=BE,
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AB=BC,CE=ED,∠ACB=60°,
∵四边形BFDE是平行四边形,
∴BF=ED,
∴BF=CE,
∴△ABF≌△BCE(SSS),
∴∠BCE=∠ABF=90°,
∴∠ACE=∠BCE−∠ACB=30°,
∵BC=3,CE=CD=2,
在Rt△BCE中,tan∠BEC=BCCE=32,
在Rt△EGH中,tan∠GEH=GHEH=32,
设GH=3a,则EH=2a,
在Rt△CGH中,tan∠GCH=GHCH,sin∠GCH=GHCG,
∴CH=3atan30∘=3 3a,CG=3asin30∘=6a,
∴CE=EH+CH=2a+3 3a=2.
解得a=6 3−423,
∴CG=36 3−2423,
.
【解析】(1)根据等边三角形的性质得到手拉手模型△ABF≌△BCE即可得到解答;
(2)先证△BCE≌△ACD,再证△AFD是等边三角形即可得到答案;
(3)先证△ABF≌△BCE,得到∠ACE=30°,设GH=3a,则EH=2a,结合三角函数求解即可得到答案;
本题考查等边三角形性质,全等三角形的判定与性质,掌握解直角三角形,等边三角形性质与判定,全等三角形的判定与性质,旋转的性质是解题的关键.
23.【答案】解:(1)当y=0时,14x2−32x−4=0.解得x1=−2,x2=8.
∵点A在点B的左侧,
∴A(−2,0),B(8,0),
设直线AC的表达式为:y=kx+b
将A(−2,0),C(0,−4)代入得:b=−4−2k+b=0,
解得:b=−4k=−2,
∴直线AC的函数表达式为y=−2x−4,
同理将B(8,0),C(0,−4)代入,可得直线BC的函数表达式为y=12x−4.
(2)设P(m,14m2−32m−4),
∵QT//y轴,
∴Q(m,12m−4),T(m,−2m−4),
∴PQ=12m−4−(14m2−32m−4)=−14m2+2m,
PT=14m2−32m−4−(−2m−4)=14m2+12m,
∵P为线段TQ的中点,
∴PQ=PT,
∴−14m2+2m=14m2+12m.
解得m1=0(舍去),m2=3,
∴P(3,−254);
(3)存在,点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013),
分以下三种情况讨论:
①当∠PNB=90°时,如图,过点N1作N1D⊥x轴于点D,
过点P作PE⊥DN1,交DN1的延长线于点E.
设N1(a,12a−4),则EP=3−a,EN1=12a−4−(−254)=12a+94,
∵∠PN1B=90°,
∴∠DN1B+∠EN1P=90°.
∵∠N1DB=90°,
∴∠DN1B+∠DBN1=90°,
∴∠EN1P=∠DBN1.
又∵∠BOC=∠N1EP=90°,
∴△BOC∽△N1EP,
∴OBEN1=OCEP,
∵B(8,0),C(0,−4),
∴OB=8,OC=4,
∴812a+94=43−a,
解得a=32,
∴N1(32,−134),
∴M1(192,−3);
②当∠NPB=90°时,如图,过点P作PF//x轴,过点B作BF⊥PF于点F,
过点N2作N2G⊥PF交FP的延长线于点G.
设N2(b,12b−4),则PG=3−b,N2G=12b−4−(−254)=12b+94,
∵∠N2PB=90°,
∴∠N2PG+∠BPF=90°,
∵∠N2GP=90°,
∴∠N2PG+∠PN2G=90°,
∴∠BPF=∠PN2G,
又∵∠BFP=∠PGN2=90°,
∴△BFP∽△PGN2,
∴BFPG=PFN2G,
∵B(8,0),P(3,−254),
∴BF=254,PF=5,
∴2543−b=512b+94,
解得b=326,
∴N2(326,−20552),
∴M2(13326,3013);
③当∠PBN=90°时,该情况不存在.
综上所述,点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013).
【解析】(1)把先根据与x轴的交点得到A,B的坐标,将坐标点代入即可得表达式;
(2)设P(m,14m2−32m−4),根据QT//y轴,得出PQ,PT的代数式,再根据P为线段TQ的中点,即可求点P的坐标;
(3)分情况讨论:①当∠PNB=90°,证明得△BOC∽△N1EP,根据比例即可;②当∠NPB=90°,证明得△BFP∽△PGN2,根据比例即可.
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解、相似三角形的判定与性质等,解题的关键在于正确画出辅助线.次数
1
2
3
4
5
成绩/分
92
91
86
91
90
活动主题
测量钟楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等
示意图
测量步骤
①站在点B处利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为38°;
②前进7.3m到达点A处,利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为45°.
注:测点A,B与点O在同一水平线上,测角仪的高度忽略不计
参考数据
sin38°=0.62,cs38°=0.79,tan38°=0.78
…
…
A
B
C
D
A
−
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
−
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
−
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
−
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