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2024年山西省吕梁市中阳县中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2024年山西省吕梁市中阳县中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十两；牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−13 的相反数是
( )
A. 13B. 3C. −13D. − 3
2.诸葛亮的《诫子书》中有“言非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A. 学B. 广C. 才D. 以
3.下列运算结果正确的是( )
A. 6x2÷2x2=3x2B. (xy2)2=x2y4
C. (x+y)(y−x)=x2−y2D. (x−2y)2=x2−2xy+4y2
4.为了参加2023年青少年校园足球校际联赛，某校足球队组织了5次技能考试，其中小明同学的成绩(单位：分)如下表所示：
则小明同学这5次成绩的中位数和众数分别为( )
A. 92分，90分B. 86分，91分C. 86分，92分D. 91分，91分
5.如图，点E，F分别在直线AB，CD上，AB//CD，G是直线AB上方一点，∠FEG=76°，∠CFE=56°，若EH平分∠FEG，则∠BEH的度数为( )
A. 14°B. 16°C. 18°D. 28°
6.如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B.点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值是( )
A. 3
B. −6
C. 6
D. −3
7.《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，那么根据题意，得( )
A. 5x+2y=102x+5y=8B. 5x+2y=82x+5y=10C. 5x−2y=105y−2x=8D. 5x−2y=85y−2x=10
8.将抛物线y=2x2+4x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为( )
A. y=2(x+1)2+2B. y=2(x−1)2
C. y=2(x−1)2+2D. y=2(x−1)2−2
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O的坐标为(0,0)，顶点B的坐标为B(6,4)，若矩形OA′B′C′与矩形OABC关于原点O位似，且矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12，则点B′的坐标为( )
A. (3,2)
B. (−3,−2)
C. (3,2)或(−3,6)
D. (3,2)或(−3,−2)
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=6.以BC为边作正方形DBCE，延长BA，交DE边于点F，以点B为圆心，BF长为半径画弧，交CE边于点G，则图中阴影部分的面积为( )
A. 4π+3 32
B. 2 3π3+3 32
C. 4π+9−9 32
D. 2 3π3+9−9 32
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：1m−2−4m2−4= ______．
12.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH.若OB=5，则OH的长为______．
13.某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售.若打折后每件服装仍能获利30%，则这批服装每件的标价为______元.
14.苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物.如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要______根小木棒.(用含n的代数式表示)
15.如图，在△ABC中，以AB边为直径的⊙O恰好经过点C，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，CE平分∠ACB，分别交⊙O，AB边于点E，F，连接DE.若BD=6，∠A=30°，则DE的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(−13)−2−6× 33+|−2|+ 12；
(2)解方程：6x−1=1x−1−1．
17.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
(1)尺规作图：作∠ACD的平分线交AB边于点E.(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)试猜想线段BE与BC之间的数量关系，并加以证明．
18.(本小题8分)
为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品.校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案(只能选择其中一种)．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y1元，选择方案二的总费用为y2元.
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
19.(本小题7分)
太原钟楼街是太原市地标性商业文化街，得名于古代钟楼.钟楼见证了太原钟楼街的千年岁月，更牵动着无数老太原人的“乡愁”.某校“综合与实践”小组开展了测量钟楼高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践活动报告．
(1)计算钟楼OP的高度.(结果精确到0.1m)
(2)该小组要写出一份完整的实践活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？(写出一个即可)
20.(本小题8分)
阅读材料，并解决下列问题：
在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值.我们知道，面积为2的正方形的边长为 2，易知 2>1.因此可设 2=1+x.如图1所示构造边长为1+x的正方形，则它的面积为( 2)2=2，
根据图中面积关系，得x2+2x+1=2，
略去x2，得2x+1≈2，解得x≈0.5，∴ 2=1+x≈1.5，
易知 2<1.5，因此可设 2=1.5−x.如图2所示构造边长为1.5−x的正方形，则它的面积为( 2)2=2，
(1)上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______.(填序号即可)
A.数形结合B.统计C.分类讨论D.转化
(2)把上述内容补充完整，使 2的近似值更加准确.(结果精确到0.001)
21.(本小题9分)
每年4月15日为全民国家安全教育日，某校为提高学生的安全意识，开展了安全知识宣讲和测试，并随机抽取了七年级20名学生的测试成绩(满分100分，共分为四组：A.60≤x<70；B.70≤x<80；C.80≤x<90；D.90≤x≤100)，下面是部分信息：
七年级20名学生测试成绩为60，75，78，80，89，72，83，85，88，92，97，99，86，65，100，100，80，96，95，97．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为______°；
(3)若该校七年级共200名学生，试估计测试成绩低于80分的学生人数；
(4)七年级某班为巩固安全知识宣讲成果，计划在班内开展“提高安全意识”的活动.现要从“主题班会”“主题板报”“实况演习”“安全倡议书”四种形式中任意选择两种形式的活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择“主题班会”和“安全倡议书”的概率．
22.(本小题12分)
综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形ABC中，D是BC延长线上一点，且CD
(1)试判断AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
猜想论证：
(2)如图2，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则(1)中AF与BE之间的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：
(3)将如图1所示的△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，其余操作不变.若BC=3，CD=2，当∠ABF=90°时，请直接写出CG的长．
23.(本小题13分)
综合与探究
如图，抛物线y=14x2−32x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,−4)，作直线AC，BC，PBC是直线下方抛物线上一动点．
(1)求A，B两点的坐标，并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
(2)过点P作PQ//y轴，交直线BC于点Q，交直线AC于点T.当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐标．
(3)在(2)的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M，使以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−13的相反数是13，
故选：A．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：由正方体的展开图特点可得：“非”和“才”相对；“学”和“以”相对；“无”和“广”相对．
故选：C．
找出正方体的相对面上的汉字解题即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字的知识，掌握正方体的相对面上的汉字是关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、6x2÷2x2=(6÷2)x2−2=3x0=3，原选项计算错误，不符合题意；
B、(xy2)2=x2y2×2=x2y4，原选项计算正确，符合题意；
C、(x+y)(y−x)=y2−x2，原选项计算错误，不符合题意；
D、(x−2y)2=x2−4xy+4y2，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据单项式的除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式运算法则逐项判断即可．
本题考查了单项式的除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：先把从小到大的顺序排列：86，90，91，91，92，
∴中位数是第三个数据为91分，
∵91出现的次数最多，
∴众数为91分，
故答案为：D．
根据中位数，众数的定义即可求解．
本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的概念是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠FEG=76°，EH平分∠FEG，
∴∠FEH=12∠FEG=38°，
∵AB//CD，∠CFE=56°，
∴∠BEF=∠CFE=56°，
∴∠BEH=∠BEF−∠FEH=56°−38°=18°，
故选：C．
根据∠FEG=76°，EH平分∠FEG得到∠FEH=12∠FEG=38°，根据AB//CD，∠CFE=56°得到∠BEF=∠CFE=56°，即可得到答案．
本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC//AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=12|k|，
∴12|k|=3，
∵k<0，
∴k=−6．
故选：B．
连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：5x+2y=102x+5y=8，
故选：A．
因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=2x2+4x+1=2(x+1)2−1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为y=2(x+1−2)2−1+1=2(x−1)2，
故选：B．
先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于原点O位似，矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12，
∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为12，
∵顶点B的坐标为B(6,4)，
∴B′的坐标为(6×12,4×12)或(6×(−12),4×(−12))，
即：B′的坐标为(3,2)或(−3,−2)，
故选：D．
根据矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12，得到位似比为12，即可得到答案．
本题主要考查了位似图形变换，矩形的性质，熟知两个位似图形一定相似是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=6，
∴AB=12BC=3,AC= 3AB=3 3，∠ABC=60°
∵正方形DBCE，
∴∠D=∠DBC=∠BCE=90°，BC=CD=6，
∴∠DBF=30°，
∴DF=12BF,BD= 3DF=6，
∴DF=2 3,BF=4 3，
连接BG，则BG=BF=4 3，
∴CG= BG2−CB2=2 3，
∴sin∠CBG=CGGB=12，
∴∠CBG=30°，
∴∠FBG=∠CBF−∠CBG=30°，
∴S阴影=S△BCG+S扇形BCG−S△BCA
=12×2 3×6+30π360×(4 3)2−12×3×3 3
=6 3+4π−9 32=4π+3 32；
故选：A．
连接BG，根据分割法求出阴影部分的面积即可．
本题考查求不规则图形的面积，解直角三角形，掌握分割法求出阴影部分的面积是解题的关键．
11.【答案】1m+2
【解析】解：原式=1m−2−4(m−2)(m+2)
=m+2−4(m−2)(m+2)
=m−2(m−2)(m+2)
=1m+2
拆m2−4为(m+2)(m−2)，将两个分式转化为同分母即可求解．
本题考查了分式的加减法，仔细计算即可，较为简单．
12.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵DH⊥AB，即∠BHD=90°，
∴OH=12BD=OB=5．
故答案为：5．
根据平行四边形的性质，可得OB=OD，再由直角三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
13.【答案】325
【解析】解：设这批服装每件的标价为x元，
由题意得0.8x−200=200×30%，
解得x=325，
∴这批服装每件的标价为325元，
故答案为：325．
设这批服装每件的标价为x元，根据利润=折扣价−进价列出方程求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．
14.【答案】(7n+2)
【解析】解：∵第1个图形中木棒的根数为：9=7+2，
第2个图形中木棒的根数为：16=7×2+2，
第3个图形中木棒的根数为：23=7×3+2，
…，
∴第n图形中木棒的根数为：7n+2，
故答案为：(7n+2)．
通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加7根，据此可求解．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律．
15.【答案】6 5
【解析】解：连接OC，OE，则：OB=OC，
∵∠A=30°，
∴∠COB=60°，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC=OB，∠OCB=60°，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠CDO=∠BCD=90°−60°=30°，
∴BC=BD=OB=6，
∴OD=12，OE=6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵∠AOE=2∠ACE，∠BOE=2∠BCE，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴DE= OD2+OE2=6 5；
故答案为：6 5．
连接OC，OE，易得△OCB为等边三角形，切线的性质，推出∠CDO=∠BCD=90°−60°=30°，进而得到BC=BD=OB=6，得到OD=12，OE=6，圆周角定理结合角平分线平分角，得到∠AOE=∠BOE=90°，勾股定理求解即可．
本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=9−2 3+2+2 3
=11；
(2)6x−1=1x−1−1，
去分母得：6=1−(x−1)，
去括号得：6=1−x+1，
移项得：x=1+1−6，
合并同类项得：x=−4．
检验：当x=−4时，x−1≠0．
∴原方程的解为x=−4．
【解析】(1)先计算负整数指数幂，化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，解分式方程，熟知运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示，即为所求；
(2)BE=BC，证明如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC．
【解析】(1)根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
(2)先得到∠ACE+∠BCE=90°，再由垂直的定义和三角形内角和定理得到∠DEC+∠DCE=90°，由角平分线的定义得到∠ACE=∠DCE，进而推出∠BCE=∠BEC，则BE=BC．
本题主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义和角平分线的尺规作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
18.【答案】解：(1)根据题意，得y1=20x+15(300−x−x5)=2x+4500，
y2=20x+15×80%×(300−x)=8x+3600．
(2)由y1>y2，得2x+4500>8x+3600．
解得x<150；
∴购买A种奖品少于150个时，方案一支付费用少．
由y1=y2，得2x+4500=8x+3600．
解得x=150；
∴购买A种奖品150个时，方案一和方案二支付费用一样多；
由y1解得x>150．
∴购买A种奖品超过150个时，方案二支付费用少；
答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少．
【解析】(1)根据总费用=A，B两种奖品费用之和列出y1、y2关于x的函数解析式；
(2)根据(1)中解析式分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式．
19.【答案】解：(1)在Rt△AOP中，∠OAP=45°,tan∠OAP=OPOA，
∴OP=OA．
在Rt△BOP中，∠OBP=38°,tan∠OBP=OPOB，
∴OB=OPtan38∘．
∵OB=OA+AB，AB=7.3m，
∴OPtan38∘=OP+7.3．
∴OP≈25.9m．
答：钟楼OP的高度约为25.9m．
(2)还需要补充的项目为计算过程、人员分工、指导教师、活动感受等．
【解析】(1)先解Rt△AOP得到OP=OA，再解Rt△BOP得到OB=OPtan38∘，进而得到OPtan38∘=OP+7.3，解之即可得到答案；
(2)根据实践活动报告的流程补充即可．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是关键．
20.【答案】A
【解析】解：(1)由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想，
故选：A；
(2)根据图中面积关系，得1.52−x2−2x(1.5−x)=2，
整理得x2−3x+2.25=2，
略去x2，得−3x+2.25≈2，解得x≈0.0833，
∴ 2=1.5−x≈1.5−0.0833≈1.417．
(1)由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想；
(2)根据图中面积关系，得1.52−x2−2x(1.5−x)=2，然后根据实例的方法进行求解即可；
本题考查了无理数的估算，正确理解题意，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
21.【答案】144
【解析】解：(1)A组人数为：20×10%=2(人)，D组人数为：20×(1−10%−15%−35%)=20×40%=8(人)，
频数分布直方图补图如下：
(2)“D”所对应的扇形圆心角的度数为360°×(1−10%−15%−35%)=360°×40%=144°，
故答案为：144；
(3)200×2+320=50(名)，
答：估计测试成绩低于80分的学生人数有50名；
(4)分别设“主题班会”“主题板报”“实况演习”“安全倡议书”为A，B，C，D，根据题意，列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选择“主题班会”和“安全倡议书”的结果有2种，
故其概率为212=16．
(1)求出A、D组的人数，即可补全频数分布直方图；
(2)利用360°乘以“D”对应的百分比，即可求解；
(3)利用全校总人数乘以对应的百分比，即可求解；
(4)列表，然后利用概率公式即可求解．
本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的信息关联，求扇形统计图的相关数据，列表法或画树状图法求概率等，熟练掌握列表法与树状图法及从统计图中获取信息是解题的关键．
22.【答案】解：(1)AF=BE，理由如下，
理由：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=BC，CE=ED，∠ABC=∠ECD=∠EDC=60°，
∵BF//ED，DF//BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，∠FBD=∠EDC=60°，
∴BF=ED，
∴BF=CE，
∵∠ABF=∠ABC+∠FBD=120°，∠BCE=180°−∠ECD=120°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴△ABF≌△BCE(SAS)，
∴AF=BE；
(2)仍然成立，
理由：如图，连接AD，交BE于点H，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠ACE+∠ECD，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
又∵∠BGC=∠AGH，
∴∠AHG=∠GCB=60°，
由(1)，知BE//DF，BE=DF，
∴∠ADF=∠AHG=60°，DF=AD，
∴△AFD是等边三角形，
∴AF=DF，
∴AF=BE，
；
(3)CG=36 3−2423，理由如下：
如图，过点G作GH⊥CE于点H，
同理(2)，得AF=BE，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=BC，CE=ED，∠ACB=60°，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BF=ED，
∴BF=CE，
∴△ABF≌△BCE(SSS)，
∴∠BCE=∠ABF=90°，
∴∠ACE=∠BCE−∠ACB=30°，
∵BC=3，CE=CD=2，
在Rt△BCE中，tan∠BEC=BCCE=32，
在Rt△EGH中，tan∠GEH=GHEH=32，
设GH=3a，则EH=2a，
在Rt△CGH中，tan∠GCH=GHCH，sin∠GCH=GHCG，
∴CH=3atan30∘=3 3a，CG=3asin30∘=6a，
∴CE=EH+CH=2a+3 3a=2．
解得a=6 3−423，
∴CG=36 3−2423，
．
【解析】(1)根据等边三角形的性质得到手拉手模型△ABF≌△BCE即可得到解答；
(2)先证△BCE≌△ACD，再证△AFD是等边三角形即可得到答案；
(3)先证△ABF≌△BCE，得到∠ACE=30°，设GH=3a，则EH=2a，结合三角函数求解即可得到答案；
本题考查等边三角形性质，全等三角形的判定与性质，掌握解直角三角形，等边三角形性质与判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)当y=0时，14x2−32x−4=0.解得x1=−2，x2=8．
∵点A在点B的左侧，
∴A(−2,0)，B(8,0)，
设直线AC的表达式为：y=kx+b
将A(−2,0)，C(0,−4)代入得：b=−4−2k+b=0，
解得：b=−4k=−2，
∴直线AC的函数表达式为y=−2x−4，
同理将B(8,0)，C(0,−4)代入，可得直线BC的函数表达式为y=12x−4．
(2)设P(m,14m2−32m−4)，
∵QT//y轴，
∴Q(m,12m−4),T(m,−2m−4)，
∴PQ=12m−4−(14m2−32m−4)=−14m2+2m，
PT=14m2−32m−4−(−2m−4)=14m2+12m，
∵P为线段TQ的中点，
∴PQ=PT，
∴−14m2+2m=14m2+12m．
解得m1=0(舍去)，m2=3，
∴P(3,−254)；
(3)存在，点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013)，
分以下三种情况讨论：
①当∠PNB=90°时，如图，过点N1作N1D⊥x轴于点D，
过点P作PE⊥DN1，交DN1的延长线于点E．
设N1(a,12a−4)，则EP=3−a,EN1=12a−4−(−254)=12a+94，
∵∠PN1B=90°，
∴∠DN1B+∠EN1P=90°．
∵∠N1DB=90°，
∴∠DN1B+∠DBN1=90°，
∴∠EN1P=∠DBN1．
又∵∠BOC=∠N1EP=90°，
∴△BOC∽△N1EP，
∴OBEN1=OCEP，
∵B(8,0)，C(0,−4)，
∴OB=8，OC=4，
∴812a+94=43−a，
解得a=32，
∴N1(32,−134)，
∴M1(192,−3)；
②当∠NPB=90°时，如图，过点P作PF//x轴，过点B作BF⊥PF于点F，
过点N2作N2G⊥PF交FP的延长线于点G．
设N2(b,12b−4)，则PG=3−b,N2G=12b−4−(−254)=12b+94，
∵∠N2PB=90°，
∴∠N2PG+∠BPF=90°，
∵∠N2GP=90°，
∴∠N2PG+∠PN2G=90°，
∴∠BPF=∠PN2G，
又∵∠BFP=∠PGN2=90°，
∴△BFP∽△PGN2，
∴BFPG=PFN2G，
∵B(8,0),P(3,−254)，
∴BF=254,PF=5，
∴2543−b=512b+94，
解得b=326，
∴N2(326,−20552)，
∴M2(13326,3013)；
③当∠PBN=90°时，该情况不存在．
综上所述，点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013)．
【解析】(1)把先根据与x轴的交点得到A，B的坐标，将坐标点代入即可得表达式；
(2)设P(m,14m2−32m−4)，根据QT//y轴，得出PQ，PT的代数式，再根据P为线段TQ的中点，即可求点P的坐标；
(3)分情况讨论：①当∠PNB=90°，证明得△BOC∽△N1EP，根据比例即可；②当∠NPB=90°，证明得△BFP∽△PGN2，根据比例即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解、相似三角形的判定与性质等，解题的关键在于正确画出辅助线．次数
1
2
3
4
5
成绩/分
92
91
86
91
90
活动主题
测量钟楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等
示意图
测量步骤
①站在点B处利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为38°；
②前进7.3m到达点A处，利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为45°．
注：测点A，B与点O在同一水平线上，测角仪的高度忽略不计
参考数据
sin38°=0.62，cs38°=0.79，tan38°=0.78
…
…
A
B
C
D
A
−
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
−
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
−
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
−
1.−13 的相反数是
( )
A. 13B. 3C. −13D. − 3
2.诸葛亮的《诫子书》中有“言非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A. 学B. 广C. 才D. 以
3.下列运算结果正确的是( )
A. 6x2÷2x2=3x2B. (xy2)2=x2y4
C. (x+y)(y−x)=x2−y2D. (x−2y)2=x2−2xy+4y2
4.为了参加2023年青少年校园足球校际联赛，某校足球队组织了5次技能考试，其中小明同学的成绩(单位：分)如下表所示：
则小明同学这5次成绩的中位数和众数分别为( )
A. 92分，90分B. 86分，91分C. 86分，92分D. 91分，91分
5.如图，点E，F分别在直线AB，CD上，AB//CD，G是直线AB上方一点，∠FEG=76°，∠CFE=56°，若EH平分∠FEG，则∠BEH的度数为( )
A. 14°B. 16°C. 18°D. 28°
6.如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B.点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值是( )
A. 3
B. −6
C. 6
D. −3
7.《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，那么根据题意，得( )
A. 5x+2y=102x+5y=8B. 5x+2y=82x+5y=10C. 5x−2y=105y−2x=8D. 5x−2y=85y−2x=10
8.将抛物线y=2x2+4x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为( )
A. y=2(x+1)2+2B. y=2(x−1)2
C. y=2(x−1)2+2D. y=2(x−1)2−2
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O的坐标为(0,0)，顶点B的坐标为B(6,4)，若矩形OA′B′C′与矩形OABC关于原点O位似，且矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12，则点B′的坐标为( )
A. (3,2)
B. (−3,−2)
C. (3,2)或(−3,6)
D. (3,2)或(−3,−2)
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=6.以BC为边作正方形DBCE，延长BA，交DE边于点F，以点B为圆心，BF长为半径画弧，交CE边于点G，则图中阴影部分的面积为( )
A. 4π+3 32
B. 2 3π3+3 32
C. 4π+9−9 32
D. 2 3π3+9−9 32
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：1m−2−4m2−4= ______．
12.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH.若OB=5，则OH的长为______．
13.某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售.若打折后每件服装仍能获利30%，则这批服装每件的标价为______元.
14.苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物.如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要______根小木棒.(用含n的代数式表示)
15.如图，在△ABC中，以AB边为直径的⊙O恰好经过点C，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，CE平分∠ACB，分别交⊙O，AB边于点E，F，连接DE.若BD=6，∠A=30°，则DE的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(−13)−2−6× 33+|−2|+ 12；
(2)解方程：6x−1=1x−1−1．
17.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
(1)尺规作图：作∠ACD的平分线交AB边于点E.(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)试猜想线段BE与BC之间的数量关系，并加以证明．
18.(本小题8分)
为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品.校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案(只能选择其中一种)．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y1元，选择方案二的总费用为y2元.
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
19.(本小题7分)
太原钟楼街是太原市地标性商业文化街，得名于古代钟楼.钟楼见证了太原钟楼街的千年岁月，更牵动着无数老太原人的“乡愁”.某校“综合与实践”小组开展了测量钟楼高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践活动报告．
(1)计算钟楼OP的高度.(结果精确到0.1m)
(2)该小组要写出一份完整的实践活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？(写出一个即可)
20.(本小题8分)
阅读材料，并解决下列问题：
在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值.我们知道，面积为2的正方形的边长为 2，易知 2>1.因此可设 2=1+x.如图1所示构造边长为1+x的正方形，则它的面积为( 2)2=2，
根据图中面积关系，得x2+2x+1=2，
略去x2，得2x+1≈2，解得x≈0.5，∴ 2=1+x≈1.5，
易知 2<1.5，因此可设 2=1.5−x.如图2所示构造边长为1.5−x的正方形，则它的面积为( 2)2=2，
(1)上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______.(填序号即可)
A.数形结合B.统计C.分类讨论D.转化
(2)把上述内容补充完整，使 2的近似值更加准确.(结果精确到0.001)
21.(本小题9分)
每年4月15日为全民国家安全教育日，某校为提高学生的安全意识，开展了安全知识宣讲和测试，并随机抽取了七年级20名学生的测试成绩(满分100分，共分为四组：A.60≤x<70；B.70≤x<80；C.80≤x<90；D.90≤x≤100)，下面是部分信息：
七年级20名学生测试成绩为60，75，78，80，89，72，83，85，88，92，97，99，86，65，100，100，80，96，95，97．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为______°；
(3)若该校七年级共200名学生，试估计测试成绩低于80分的学生人数；
(4)七年级某班为巩固安全知识宣讲成果，计划在班内开展“提高安全意识”的活动.现要从“主题班会”“主题板报”“实况演习”“安全倡议书”四种形式中任意选择两种形式的活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择“主题班会”和“安全倡议书”的概率．
22.(本小题12分)
综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形ABC中，D是BC延长线上一点，且CD
(1)试判断AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
猜想论证：
(2)如图2，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则(1)中AF与BE之间的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：
(3)将如图1所示的△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，其余操作不变.若BC=3，CD=2，当∠ABF=90°时，请直接写出CG的长．
23.(本小题13分)
综合与探究
如图，抛物线y=14x2−32x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,−4)，作直线AC，BC，PBC是直线下方抛物线上一动点．
(1)求A，B两点的坐标，并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
(2)过点P作PQ//y轴，交直线BC于点Q，交直线AC于点T.当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐标．
(3)在(2)的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M，使以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−13的相反数是13，
故选：A．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：由正方体的展开图特点可得：“非”和“才”相对；“学”和“以”相对；“无”和“广”相对．
故选：C．
找出正方体的相对面上的汉字解题即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字的知识，掌握正方体的相对面上的汉字是关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、6x2÷2x2=(6÷2)x2−2=3x0=3，原选项计算错误，不符合题意；
B、(xy2)2=x2y2×2=x2y4，原选项计算正确，符合题意；
C、(x+y)(y−x)=y2−x2，原选项计算错误，不符合题意；
D、(x−2y)2=x2−4xy+4y2，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据单项式的除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式运算法则逐项判断即可．
本题考查了单项式的除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：先把从小到大的顺序排列：86，90，91，91，92，
∴中位数是第三个数据为91分，
∵91出现的次数最多，
∴众数为91分，
故答案为：D．
根据中位数，众数的定义即可求解．
本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的概念是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠FEG=76°，EH平分∠FEG，
∴∠FEH=12∠FEG=38°，
∵AB//CD，∠CFE=56°，
∴∠BEF=∠CFE=56°，
∴∠BEH=∠BEF−∠FEH=56°−38°=18°，
故选：C．
根据∠FEG=76°，EH平分∠FEG得到∠FEH=12∠FEG=38°，根据AB//CD，∠CFE=56°得到∠BEF=∠CFE=56°，即可得到答案．
本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC//AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=12|k|，
∴12|k|=3，
∵k<0，
∴k=−6．
故选：B．
连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：5x+2y=102x+5y=8，
故选：A．
因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=2x2+4x+1=2(x+1)2−1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为y=2(x+1−2)2−1+1=2(x−1)2，
故选：B．
先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于原点O位似，矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12，
∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为12，
∵顶点B的坐标为B(6,4)，
∴B′的坐标为(6×12,4×12)或(6×(−12),4×(−12))，
即：B′的坐标为(3,2)或(−3,−2)，
故选：D．
根据矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12，得到位似比为12，即可得到答案．
本题主要考查了位似图形变换，矩形的性质，熟知两个位似图形一定相似是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=6，
∴AB=12BC=3,AC= 3AB=3 3，∠ABC=60°
∵正方形DBCE，
∴∠D=∠DBC=∠BCE=90°，BC=CD=6，
∴∠DBF=30°，
∴DF=12BF,BD= 3DF=6，
∴DF=2 3,BF=4 3，
连接BG，则BG=BF=4 3，
∴CG= BG2−CB2=2 3，
∴sin∠CBG=CGGB=12，
∴∠CBG=30°，
∴∠FBG=∠CBF−∠CBG=30°，
∴S阴影=S△BCG+S扇形BCG−S△BCA
=12×2 3×6+30π360×(4 3)2−12×3×3 3
=6 3+4π−9 32=4π+3 32；
故选：A．
连接BG，根据分割法求出阴影部分的面积即可．
本题考查求不规则图形的面积，解直角三角形，掌握分割法求出阴影部分的面积是解题的关键．
11.【答案】1m+2
【解析】解：原式=1m−2−4(m−2)(m+2)
=m+2−4(m−2)(m+2)
=m−2(m−2)(m+2)
=1m+2
拆m2−4为(m+2)(m−2)，将两个分式转化为同分母即可求解．
本题考查了分式的加减法，仔细计算即可，较为简单．
12.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵DH⊥AB，即∠BHD=90°，
∴OH=12BD=OB=5．
故答案为：5．
根据平行四边形的性质，可得OB=OD，再由直角三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
13.【答案】325
【解析】解：设这批服装每件的标价为x元，
由题意得0.8x−200=200×30%，
解得x=325，
∴这批服装每件的标价为325元，
故答案为：325．
设这批服装每件的标价为x元，根据利润=折扣价−进价列出方程求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．
14.【答案】(7n+2)
【解析】解：∵第1个图形中木棒的根数为：9=7+2，
第2个图形中木棒的根数为：16=7×2+2，
第3个图形中木棒的根数为：23=7×3+2，
…，
∴第n图形中木棒的根数为：7n+2，
故答案为：(7n+2)．
通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加7根，据此可求解．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律．
15.【答案】6 5
【解析】解：连接OC，OE，则：OB=OC，
∵∠A=30°，
∴∠COB=60°，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC=OB，∠OCB=60°，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠CDO=∠BCD=90°−60°=30°，
∴BC=BD=OB=6，
∴OD=12，OE=6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵∠AOE=2∠ACE，∠BOE=2∠BCE，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴DE= OD2+OE2=6 5；
故答案为：6 5．
连接OC，OE，易得△OCB为等边三角形，切线的性质，推出∠CDO=∠BCD=90°−60°=30°，进而得到BC=BD=OB=6，得到OD=12，OE=6，圆周角定理结合角平分线平分角，得到∠AOE=∠BOE=90°，勾股定理求解即可．
本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=9−2 3+2+2 3
=11；
(2)6x−1=1x−1−1，
去分母得：6=1−(x−1)，
去括号得：6=1−x+1，
移项得：x=1+1−6，
合并同类项得：x=−4．
检验：当x=−4时，x−1≠0．
∴原方程的解为x=−4．
【解析】(1)先计算负整数指数幂，化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，解分式方程，熟知运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示，即为所求；
(2)BE=BC，证明如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC．
【解析】(1)根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
(2)先得到∠ACE+∠BCE=90°，再由垂直的定义和三角形内角和定理得到∠DEC+∠DCE=90°，由角平分线的定义得到∠ACE=∠DCE，进而推出∠BCE=∠BEC，则BE=BC．
本题主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义和角平分线的尺规作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
18.【答案】解：(1)根据题意，得y1=20x+15(300−x−x5)=2x+4500，
y2=20x+15×80%×(300−x)=8x+3600．
(2)由y1>y2，得2x+4500>8x+3600．
解得x<150；
∴购买A种奖品少于150个时，方案一支付费用少．
由y1=y2，得2x+4500=8x+3600．
解得x=150；
∴购买A种奖品150个时，方案一和方案二支付费用一样多；
由y1
∴购买A种奖品超过150个时，方案二支付费用少；
答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少．
【解析】(1)根据总费用=A，B两种奖品费用之和列出y1、y2关于x的函数解析式；
(2)根据(1)中解析式分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式．
19.【答案】解：(1)在Rt△AOP中，∠OAP=45°,tan∠OAP=OPOA，
∴OP=OA．
在Rt△BOP中，∠OBP=38°,tan∠OBP=OPOB，
∴OB=OPtan38∘．
∵OB=OA+AB，AB=7.3m，
∴OPtan38∘=OP+7.3．
∴OP≈25.9m．
答：钟楼OP的高度约为25.9m．
(2)还需要补充的项目为计算过程、人员分工、指导教师、活动感受等．
【解析】(1)先解Rt△AOP得到OP=OA，再解Rt△BOP得到OB=OPtan38∘，进而得到OPtan38∘=OP+7.3，解之即可得到答案；
(2)根据实践活动报告的流程补充即可．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是关键．
20.【答案】A
【解析】解：(1)由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想，
故选：A；
(2)根据图中面积关系，得1.52−x2−2x(1.5−x)=2，
整理得x2−3x+2.25=2，
略去x2，得−3x+2.25≈2，解得x≈0.0833，
∴ 2=1.5−x≈1.5−0.0833≈1.417．
(1)由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想；
(2)根据图中面积关系，得1.52−x2−2x(1.5−x)=2，然后根据实例的方法进行求解即可；
本题考查了无理数的估算，正确理解题意，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
21.【答案】144
【解析】解：(1)A组人数为：20×10%=2(人)，D组人数为：20×(1−10%−15%−35%)=20×40%=8(人)，
频数分布直方图补图如下：
(2)“D”所对应的扇形圆心角的度数为360°×(1−10%−15%−35%)=360°×40%=144°，
故答案为：144；
(3)200×2+320=50(名)，
答：估计测试成绩低于80分的学生人数有50名；
(4)分别设“主题班会”“主题板报”“实况演习”“安全倡议书”为A，B，C，D，根据题意，列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选择“主题班会”和“安全倡议书”的结果有2种，
故其概率为212=16．
(1)求出A、D组的人数，即可补全频数分布直方图；
(2)利用360°乘以“D”对应的百分比，即可求解；
(3)利用全校总人数乘以对应的百分比，即可求解；
(4)列表，然后利用概率公式即可求解．
本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的信息关联，求扇形统计图的相关数据，列表法或画树状图法求概率等，熟练掌握列表法与树状图法及从统计图中获取信息是解题的关键．
22.【答案】解：(1)AF=BE，理由如下，
理由：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=BC，CE=ED，∠ABC=∠ECD=∠EDC=60°，
∵BF//ED，DF//BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，∠FBD=∠EDC=60°，
∴BF=ED，
∴BF=CE，
∵∠ABF=∠ABC+∠FBD=120°，∠BCE=180°−∠ECD=120°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴△ABF≌△BCE(SAS)，
∴AF=BE；
(2)仍然成立，
理由：如图，连接AD，交BE于点H，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠ACE+∠ECD，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
又∵∠BGC=∠AGH，
∴∠AHG=∠GCB=60°，
由(1)，知BE//DF，BE=DF，
∴∠ADF=∠AHG=60°，DF=AD，
∴△AFD是等边三角形，
∴AF=DF，
∴AF=BE，
；
(3)CG=36 3−2423，理由如下：
如图，过点G作GH⊥CE于点H，
同理(2)，得AF=BE，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=BC，CE=ED，∠ACB=60°，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BF=ED，
∴BF=CE，
∴△ABF≌△BCE(SSS)，
∴∠BCE=∠ABF=90°，
∴∠ACE=∠BCE−∠ACB=30°，
∵BC=3，CE=CD=2，
在Rt△BCE中，tan∠BEC=BCCE=32，
在Rt△EGH中，tan∠GEH=GHEH=32，
设GH=3a，则EH=2a，
在Rt△CGH中，tan∠GCH=GHCH，sin∠GCH=GHCG，
∴CH=3atan30∘=3 3a，CG=3asin30∘=6a，
∴CE=EH+CH=2a+3 3a=2．
解得a=6 3−423，
∴CG=36 3−2423，
．
【解析】(1)根据等边三角形的性质得到手拉手模型△ABF≌△BCE即可得到解答；
(2)先证△BCE≌△ACD，再证△AFD是等边三角形即可得到答案；
(3)先证△ABF≌△BCE，得到∠ACE=30°，设GH=3a，则EH=2a，结合三角函数求解即可得到答案；
本题考查等边三角形性质，全等三角形的判定与性质，掌握解直角三角形，等边三角形性质与判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)当y=0时，14x2−32x−4=0.解得x1=−2，x2=8．
∵点A在点B的左侧，
∴A(−2,0)，B(8,0)，
设直线AC的表达式为：y=kx+b
将A(−2,0)，C(0,−4)代入得：b=−4−2k+b=0，
解得：b=−4k=−2，
∴直线AC的函数表达式为y=−2x−4，
同理将B(8,0)，C(0,−4)代入，可得直线BC的函数表达式为y=12x−4．
(2)设P(m,14m2−32m−4)，
∵QT//y轴，
∴Q(m,12m−4),T(m,−2m−4)，
∴PQ=12m−4−(14m2−32m−4)=−14m2+2m，
PT=14m2−32m−4−(−2m−4)=14m2+12m，
∵P为线段TQ的中点，
∴PQ=PT，
∴−14m2+2m=14m2+12m．
解得m1=0(舍去)，m2=3，
∴P(3,−254)；
(3)存在，点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013)，
分以下三种情况讨论：
①当∠PNB=90°时，如图，过点N1作N1D⊥x轴于点D，
过点P作PE⊥DN1，交DN1的延长线于点E．
设N1(a,12a−4)，则EP=3−a,EN1=12a−4−(−254)=12a+94，
∵∠PN1B=90°，
∴∠DN1B+∠EN1P=90°．
∵∠N1DB=90°，
∴∠DN1B+∠DBN1=90°，
∴∠EN1P=∠DBN1．
又∵∠BOC=∠N1EP=90°，
∴△BOC∽△N1EP，
∴OBEN1=OCEP，
∵B(8,0)，C(0,−4)，
∴OB=8，OC=4，
∴812a+94=43−a，
解得a=32，
∴N1(32,−134)，
∴M1(192,−3)；
②当∠NPB=90°时，如图，过点P作PF//x轴，过点B作BF⊥PF于点F，
过点N2作N2G⊥PF交FP的延长线于点G．
设N2(b,12b−4)，则PG=3−b,N2G=12b−4−(−254)=12b+94，
∵∠N2PB=90°，
∴∠N2PG+∠BPF=90°，
∵∠N2GP=90°，
∴∠N2PG+∠PN2G=90°，
∴∠BPF=∠PN2G，
又∵∠BFP=∠PGN2=90°，
∴△BFP∽△PGN2，
∴BFPG=PFN2G，
∵B(8,0),P(3,−254)，
∴BF=254,PF=5，
∴2543−b=512b+94，
解得b=326，
∴N2(326,−20552)，
∴M2(13326,3013)；
③当∠PBN=90°时，该情况不存在．
综上所述，点M的坐标为(192,−3)或(13326,3013)．
【解析】(1)把先根据与x轴的交点得到A，B的坐标，将坐标点代入即可得表达式；
(2)设P(m,14m2−32m−4)，根据QT//y轴，得出PQ，PT的代数式，再根据P为线段TQ的中点，即可求点P的坐标；
(3)分情况讨论：①当∠PNB=90°，证明得△BOC∽△N1EP，根据比例即可；②当∠NPB=90°，证明得△BFP∽△PGN2，根据比例即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解、相似三角形的判定与性质等，解题的关键在于正确画出辅助线．次数
1
2
3
4
5
成绩/分
92
91
86
91
90
活动主题
测量钟楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等
示意图
测量步骤
①站在点B处利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为38°；
②前进7.3m到达点A处，利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为45°．
注：测点A，B与点O在同一水平线上，测角仪的高度忽略不计
参考数据
sin38°=0.62，cs38°=0.79，tan38°=0.78
…
…
A
B
C
D
A
−
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
−
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
−
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
−
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