2024年陕西省中考数学模拟试卷44

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷44，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级学生进行分析，过程如下等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中比1大的数是（ ）
A. 2 B. 0 C. -1 D.-3
2.如图是由几个大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝（ ）
C
D
A
B
A．120°B．135°
C．145°D．155°
4.已知点A（1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=的图象上，则实数k的值为
A．3 B． C．–3 D．–
5.下列运算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝ C．＝ D．＝
6.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的只有（ ）
A.AC⊥BD B.AB=BC
C.AC=BD D.∠1=∠2
7.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点．将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N．现有下列结论：①AM＝AD＋MC；②AM＝DE＋BM；③DE2＝ADCM；④点N为△ABM的外心．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
8.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）
B．
C．D．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算：2017×1983＝ ．
10.一个凸多边形共有230条对角线，则该多边形的边数是______．
11.如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为___________．

（11题图） （12题图）
12.如图，AC⊥轴轴于点A，点B在轴的正半轴上，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝，点D为AC与反比例函数＝的图像的交点，若直线BD将△ABC的面积分成1∶2的两部分，则的值为________．
13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD 于点F，若CD＝5，BD＝8，AE＝2，则AF＝ ．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：
15.解不等式组：
16.先化简，再求值： QUOTE ， ，其中 QUOTE x＝2 x＝2.
17.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
18.已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM．求证：∠B＝∠ANM．
19.端午节当天，小明带了四个粽子（除味道不同外，其它均相同），其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友．
（1）请你用树状图或列表的方法表示小红拿到的两个粽子的所有可能性；
（2）请你计算小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率．
20.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
21.如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方 QUOTE 23 23米处的点C出发,沿斜面坡度 QUOTE i＝1:3 i＝1:3的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，
AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据： QUOTE ， ，， QUOTE ， ，计算结果保留根号）
22.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）由上表填空： ， ， ， ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
23.甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．
(1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
24.已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，ED=EC,以AE为直径的⊙O与边CD相切于D, B点在⊙O上，连接OB.
（1）求证：DE=OE；
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形.

25.已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b>0>c，且a+b+c=0.
（1）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；
（2）直线y= x+m与轴轴分别相交于B,C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与轴相交于E,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得△ADF与△OCB相似.并且，求此时抛物线的表达式.
26.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
2024 年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1.下列各数中比1大的数是（ ）
A. 2 B. 0 C. -1 D.-3
答案：A
作为整张试卷的第一题，直接考查“数的大小”，不偏不难，有利于学生稳定情绪，增强信心，进入考试的正常状态，发挥水平。
【课标】借助数轴掌握有理数的大小
2.如图是由几个大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
答案：D，解析：从左向右看，一共有3列，左侧一列有2层，中间一列有2层，右侧一列有1层，故选D．
C
D
A
B
3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝（ ）
A．120°B．135°
C．145°D．155°
答案：B，解析：∵AB∥CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠A+∠D=180，
又∵∠A＝45°，∴∠D＝135°．
4.已知点A（1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=的图象上，则实数k的值为
A．3 B．
C．–3 D．–
【答案】A
【解析】点A（1，–3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A'（1，3）代入y=得k=1×3=3．故选A．
【名师点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
5.下列运算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝ C．＝ D．＝
答案：D，解析：＝＝，选项A不正确；＝，选项B不正确；＝＝，选项C不正确；＝＝，选项D正确．
6.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的只有（ ）
A.AC⊥BD B.AB=BC
C.AC=BD D.∠1=∠2
7.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点．将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N．现有下列结论：①AM＝AD＋MC；②AM＝DE＋BM；③DE2＝ADCM；④点N为△ABM的外心．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
答案：B，解析：在矩形ABCD中，∠BCD＝∠ADC＝90°，由旋转得，△ADE≌△FCE，∴∠FCE＝∠ADE＝90°,∠BCD＋∠FCE＝180°,∴B、C、F在一直线上；又∵ME⊥AF，AE＝EF，∴AM＝MF＝MC＋CF＝AD＋MC；而AM＝MF＝CF＋MC＝BC＋MC＝BM＋2MC，显然DE＝EC≠2MC；由Rt△MCE∽Rt△ECF得 EQ \F(MC,EC)＝ EQ \F(CE,CF)，∴CE2＝CFCM，即DE2＝ADCM；由AD∥BC得，△ADN∽△MBN，而AD≠BM，∴点N不是AM的中点，点N不为△ABM的外心．综上所述，结论①③正确．
8.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．
【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，

所以则图中摆盘的面积 故选B．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算：2017×1983＝ ．
答案：3000711，解析：∵2017×1983＝(2000＋17) (2000－17)，∴可以用平方差公式“(a＋b)(a－b)＝a2－b2”进行简便计算，2017×1983＝(2000＋17) (2000－17)＝20002－172＝3999711．
10.一个凸多边形共有230条对角线，则该多边形的边数是______．
【答案】23
【分析】由题意根据多边形的对角线的条数公式列式进行计算即可求解．
【详解】解：设多边形有n条边，由题意得：=230，解得：n1=23，n2=-20（不合题意舍去），
故答案是：23．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟记多边形的对角线公式是解题的关键．
11.如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为___________．

【答案】
【分析】连接，过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，

，
，
，
，，
∵圆的半径为7，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．
12.如图，AC⊥轴轴于点A，点B在轴的正半轴上，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝，点D为AC与反比例函数＝的图像的交点，若直线BD将△ABC的面积分成1∶2的两部分，则的值为________．
答案：－8或－4，解析：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E．
在△BCE中，∵CB＝，∠ABC＝60°．
∴CE＝CB·sin∠ABC＝·sin 60°＝×＝3．
∴S△ABC＝AB·CE＝×4×3＝6．
过点C作CF⊥轴，垂足为点F．
∵S矩形OACF＝OA·AC，S△ABC＝AC·OA，
∴S矩形OACF＝2S△ABC＝2×6＝12．
过点D作DG⊥轴，垂足为点G．
当S△ABD＝2S△CBD时，AD＝AC．
∴S矩形OADG＝S矩形OACF＝×12＝8．
∴＝8．
解得＝±8．
∵反比例函数＝的图像经过点D，点D在第二象限，
∴＜0．
∴＝－8．
当S△CBD＝2S△ABD时，AD＝AC．同理可求＝－4．
综合知，的值为－8或－4．
13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD 于点F，若CD＝5，BD＝8，AE＝2，则AF＝ ．
答案：，解析：如图，作OG∥CD，交AD于点G．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AO＝OC，AB∥CD．又∵OG∥CD，∴AB∥OG，△AOG∽△ACD且相似比为．∴OG＝CD＝，AG＝AD＝4．∵AB∥OG，∴△AEF∽△GOF．∴．∴AF＝．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：
【思路分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解题过程】解： ，
，
，
．
【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值；绝对值
15.解不等式组：
思路分析：解不等式组的步骤是先分别解不等式组中的各个不等式，然后求出这几个不等式解集的公共部分．
解：解不等式①得 x＜1，
解不等式②第 x≥0．
所以，不等式组的解集为0≤ x＜1．
16.先化简，再求值： QUOTE ， ，其中 QUOTE x＝2 x＝2.
思路分析：根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：
=
=
=，
当x=2时，原式=．
17.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM．求证：∠B＝∠ANM．
思路分析：要证明∠B＝∠ANM，根据条件只需证明△ABD≌△ANM，而证明△ABD≌△ANM的三个条件中∠BAD＝∠NAM没有直接给出，所以要先交代．
证明：∵∠BAC＝∠DAM，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC．即∠BAD＝∠NAM．
在△ABD和△ANM中，
∴△ABD≌△ANM（SAS）
∴∠B＝∠ANM．
19.端午节当天，小明带了四个粽子（除味道不同外，其它均相同），其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友．
（1）请你用树状图或列表的方法表示小红拿到的两个粽子的所有可能性；
（2）请你计算小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率．
思路分析：（1）用画树状图或列表时的方法进行表示，特别注意小红拿到的两个粽子不可能是同一个；（2）12种情况中，同一味道4种情况，
解：（1）将两个大枣味的粽子分别记作A1，A2，两个火腿味的粽子记作分别B1，B2．
画树状图得：
第一个
第二个
A1
A2
B2
B1
A2
B1
B2
A1
B2
B1
A1
B1
A2
A1
B2
A2
列表得：
（2）从树状图或列表看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，而同一味道共有4种．∴P (同一味道)＝＝．
20.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
【分析】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，
依题意，得：x+y=3015x+8y=324，
解得：x=12y=18．
答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．
21.如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方 QUOTE 23 23米处的点C出发,沿斜面坡度 QUOTE i＝1:3 i＝1:3的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，
AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据： QUOTE ， ，， QUOTE ， ，计算结果保留根号）
分析:延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcs∠DCF=2、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4，GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4•tan37°可得答案．
解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵tan∠DCF=i=，∴∠DCF=30°，
∵CD=4，∴DF=CD=2，CF=CDcs∠DCF=4×=2，∴BF=BC+CF=2+2=4，
过点E作EG⊥AB于点G，则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，
又∵∠AED=37°，∴AG=GEtan∠AEG=4•tan37°，
则AB=AG+BG=4•tan37°+3.5=3+3.5，故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．
22.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）由上表填空： ， ， ， ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
【思路分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）答案不唯一，合理均可．
【解题过程】解：（1）由题意知，，
将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，
∴其中位数，
八年级成绩的众数，
故答案为：11，10，78，81；
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有（人；
（3）八年级的总体水平较好，
∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，
∴八年级得分高的人数相对较多，
∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】算术平均数；中位数；众数; 频数（率分布表
23．甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．
(1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解．
【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点代入得，
解得：，
∴；
联立
解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
24.已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，ED=EC,以AE为直径的⊙O与边CD相切于D, B点在⊙O上，连接OB.
（1）求证：DE=OE；
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形.
思路分析：（1）利用切线的性质构建直角三角形，进而运用等角的余角相等求证相等的边；
（2）先证一组对边相等，借助平行得到平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形求证.
解：（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°
又∵DE=EC，∴∠2=∠1，
∴∠3=∠COD，∴DE=EO
（2）∵OD=OE,
∴OD=ED=OE,
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°
∴∠2=∠1=30°,
∵OA=OB=OE，而OE=DE=EC,
∴OA=OB=DE=EC,
又∵AB∥CD,
∴∠4=∠1
∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°
∴△ABO≌△CDE
∴AB=CD
四边形ABCD是平行四边形.

∴∠DAE= ∠DOE=30°
∴∠1=∠DAE
∴CD=AD
∴四边形ABCD是菱形.
25.已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b>0>c，且a+b+c=0.
（1）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；
（2）直线y= x+m与轴轴分别相交于B,C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与轴相交于E,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得△ADF与△OCB相似.并且，求此时抛物线的表达式.
思路分析：（1）确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；（2）借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.
解：（1）证明：∵ b =2a，∴对称轴x==-1,将b=2a代入a+b+c=0.得c=-3a.
方法一：∵a=b>0>c，∴b2-4ac>0,
∴<0,
所以顶点A（-1，）在第三象限.
方法二：∵b =2a， c=-3a ，
∴==-4a <0,
所以顶点A（-1，）在第三象限.
（2）∵b =2a， c=-3a
∴x==
∴x1=-3，x2=1,
所以函数表达式为y=ax2+2ax-3a，
∵直线y= x+m与x轴、y轴分别相交于B,C,两点，则OB=OC=
所以△BOC是以∠BOC为直角的等腰三角形，这时直线y=x+m与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.
又因点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC与△ADF相似，顶点A只可能对应△BOC中的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰三角形，且对称轴是x=-1，设对称轴x=-1与OF交于点G.
26.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，
（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，

过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
七年级
0
1
0
7
1
八年级
1
0
0
7
2
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
八年级
78
80.5
第一个
第二个
A1
A2
B1
B2
A1
（A2，A1）
（B1，A1）
（B2，A1）
A2
（A1，A2）
（B1，A2）
（B2，A2）
B1
（A1，B1）
（A2，B1）
（B2，B1）
B2
（A1，B2）
（A2，B2）
（B1，B2）
七年级
0
1
0
7
1
八年级
1
0
0
7
2
平均数
众数
中位数
七年级
78
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八年级
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