2024年陕西省中考数学模拟试卷41

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷41，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.64的立方根是（ ）
A.4 B．8 C． D．
2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A．B． C．D．
3.如图，AB∥CD，∠1=50°，∠2的度数是（ ）
A．50°B．100°
C．130°D．140°
4.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.若三点，，在同一直线上，则的值等于
A．-1B．0C．3D．4
6.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
101313B．91313
C．81313D．71313
7.如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110°B．130°
C．140°D．160°
8.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如右图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③3b﹣2c＜0；
④am2+bm≥a+b（m为实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算：a5÷a3＝ ．
10.一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是
11.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是_________．
（11题图） （13题图）
12.设函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 ．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：
15.解不等式组： ．
16.化简：
17.已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
（2017北京，19，5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD＝BC．
19.重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛．该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校共有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
20.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。求人数，物价各几何？
译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
21. 耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图①），数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点处，利用测角仪测得运河两岸上的两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点到点的距离为米（在同一直线上，如图②）求运河两岸的两点的距离（精确到1米）
（参考数据： ）

22.为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的__________；
（2）统计图中组对应扇形的圆心角为__________度；
（3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________；
农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
24.如图，在∆ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.
（1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．
25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（–5，0），B（–4，–3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26.已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝900，延长AG，BG分别与边BC，CD交于E，F．
①求证：BE＝CF；
②求证：BE2＝BC·CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BCCE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．
图① 图②
2024 年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1.的立方根是（ ）
A． B． C． D．
答案：A，解析：由立方根的定义可知：如果一个数的立方等于a，那么这个数就是a的立方根．∵43=64，∴的立方根是4.
2..．（2017北京，5，3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A．B．C．D．
答案：A，解析：由轴对称和中心对称的定义可知，A正确．
3.如图，AB∥CD，∠1=50°，∠2的度数是
A．50°B．100°C．130°D．140°
答案：C，解析：根据“平行线性质：两直线平行同位角相等。邻补角互补”，∠2和∠1互补，∠2的度数为130°．
4.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：A.解析：运用排除法，选项A运用分配率用-3去乘以括号里的每一项，得：-3x+12,故选A。
5.若三点，，在同一直线上，则的值等于
A．-1B．0C．3D．4
【答案】C
【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b，∴∴，∴y=3x+1，
将点（a，10）代入解析式，则a=3，故选C．
6.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A．101313B．91313C．81313D．71313
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】由勾股定理得：AC=22+32=13，
∵S△ABC＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，
∴12AC⋅BD=72，
∴13⋅BD=7，
∴BD=71313，
故选：D．
7.如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110°B．130°C．140°D．160°
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．
【解析】如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
8.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③3b﹣2c＜0；
④am2+bm≥a+b（m为实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象顶点坐标确定am2+bm与a+b的大小关系．
【解析】①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∵c＜0
∴abc＞0
故①正确；
②∵对称轴x=−b2a=1，
∴2a+b＝0；
故②正确；
③∵2a+b＝0，
∴a=−12b，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴−12b﹣b+c＞0
∴3b﹣2c＜0
故③正确；
④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；
当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，
所以am2+bm≥a+b（m为实数）．
故④正确．
本题正确的结论有：①②③④，4个；
故选：D．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算：a5÷a3＝ ．
答案：a2，解析：根据“同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减”可得：a5÷a3＝a2．
10.一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是
答案：8
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解析】设所求正n边形边数为n，
则1080°＝（n﹣2）•180°，
解得n＝8．
11.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是_________．
答案：，解：根据“图形旋转的性质，相似三角形性质”，连接AG，在Rt△BCG中，根据勾股定理求出CG=4，所以DG=1，在Rt△ADG中，根据勾股定理求出AG=，再利用△ABG∽△CBE，对应边成比例，可得CE=．
12.设函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ．
答案：-2，解析：根据函数的交点，可代入两个函数的解析式得ab=3,b=-2a-6,即b+2a=-6，然后通分．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 2 ．
【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．
【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC=12OB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE=32+42=5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴MNOE=DMDE，
∴MN3=35，
∴MN=95，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，
故答案为2．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：
思路分析：先根据绝对值的意义求得＝2，特殊角的三角函数值求得cs60°＝，负整数指数幂的意义得＝3，然后再进行有理数的运算．
解：＝＝1－3＝－2．
15.解不等式组： ．
思路分析：由不等式性质分别求出每一个不等式的解集，找出它们的公共部分即可．
解：．
由①得：x＜3，
由②得：x＜2，
∴不等式的解集为x＜2．
17.化简：
思路分析：①把括号内的a－2看作一个整体，将这两项通分并利用同分母分式的加法法则计算；②同时将分式中的分子因式分解后再利用除法法则变形，约分后利用分式乘法法则进行计算．
解：原式＝．
17.17.已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
【答案】见详解．
【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：
【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
18.（2017北京，19，5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD＝BC．
思路分析：由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABD＝∠C＝BDC. 再据等角对等边，及等量代换即可求解．
解：∵AB＝AC, ∠A＝36°∴∠ABC＝∠C＝(180°-∠A)＝×(180°-36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×72°＝36°，∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°， ∴∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝BC．
19.重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛．该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校共有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
思路分析：（1）由两个统计图可知，七年级有20篇参赛作文，占20％，九年级有35篇参赛作文，∴收到的参赛作文篇数为20÷20%＝100篇，∴九年级参赛作文篇数对应的圆心角是360°×＝126°；收到八年级的参赛作文篇数为100－20－35＝45篇，据此可补全条形统计图．
（2）通过列表法或树状图求出事件发生的所有可能结果，再找出七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果数，根据P(A)＝ 可求出相应的概率．
解：（1）126，45；
（2）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等作文．列表法：
∴．
20.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。求人数，物价各几何？
译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
思路分析：方法一：设共有x人，根据题意这个物品的价格分别用代数式(8x－3)元和(7x＋4元表示，从而建立方程求解；方法二：设共有x人，这个物品的价格是y元，根据“每人出8元，还盈余3元”和“每人出7元，则还差4元”建立方程组求解．
解：方法一：设共有x人，根据题意得8x－3＝7x＋4，解得x＝7，8x－3＝53（元）．
答：共有7人，这个物品的价格是53元．
方法二：设共有x人，这个物品的价格是y元，根据题意得，解得．
答：共有7人，这个物品的价格是53元．
21. 耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图①），数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点处，利用测角仪测得运河两岸上的两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点到点的距离为米（在同一直线上，如图②）求运河两岸的两点的距离（精确到1米）
（参考数据： ）

思路分析：根据题意可求出∠PBC与∠PAC的度数，在Rt△PBC中由解直角三角形的知识求出PC值，然后在 Rt△PAC中由解直角三角形的知识求出AC值，进而求出两点的距离．
解：根据题意可知：BC=142米, ∠PBC=22°, ∠PAC=17.9°．
在Rt△PBC中，tan∠PBC=，∴PC=BCtan∠PBC=142tan22°．
在Rt△PAC中，tan∠PAC=，
∴AC=，
∴AB=AC-BC=177.5-142≈36（米）
∴运河两岸的两点的距离为36米．
22.为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的__________；
（2）统计图中组对应扇形的圆心角为__________度；
（3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________；
【答案】（1）9；（2）72；（3）12，10；
【分析】
（1）根据扇形统计图可知D组所占百分比，然后问题可求解；
（2）由统计表可得E组人数为10人，然后可得E组所占的百分比，然后问题可求解；
（3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列，进而可得组数据的众数及中位数；
解：（1）由统计图可得：；
故答案为9；
（2）由统计图可得组对应扇形的圆心角为；
故答案为72；
（3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列为：、6、6、7、7、8、8、8、9、9、10、10、11、12、12、12、13；
∴在组（）数据的众数是；
调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是第25和第26名的平均数，即为；
故答案为12，10；
【点睛】
本题主要考查中位数、众数及扇形统计图，熟练掌握中位数、众数及扇形统计图是解题的关键．
23.农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
【答案】（1）；（2）210．
【分析】
（1）将，代入到，得到方程组，解得k与b的值，即可求出直线AB的解析式；
（2）将代入中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点式，求出最值即可．
【详解】
解：（1）设直线AB的函数关系式为，
将，代入可得：，
解得：，
∴直线AB的函数关系式．
故答案为：．
（2）将代入中，
可得：，
化简得：，
设总销售额为，则
∵，
∴有最大值，当时，取到最大值，最大值为735．
故答案为：210．
【点睛】
本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关键．
24.如图，在∆ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.
（1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．
思路分析：（1）利用“等边对等角”及“两直线平行，内错角相等”易证得∠ACB=∠BCF；再利用“直径所对圆周角等于90゜”和切线的性质、“两直线平行，同旁内角互补”推理出∠BDC=∠F=90゜，由“AAS”可得∆BDC与∆BFC全等，由“全等三角形对应边相等”可得出结论；
（2）先求出AD的长，在Rt∆ABD中，由勾股定理可计算出BD的长，在Rt∆CBD中再次利用勾股定理即可求得BC的长．
解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AB∥CF，
∴∠ABC=∠BCF，
∴∠ACB=∠BCF，
又∵AB为直径，
∴∠ADB=∠BDC=90゜，
∵BF是⊙O切线，∴AB⊥BF，
∵AB∥CF，∴∠F=90゜，
∴∆BDC≌∆BFC，
∴BD=BF；
（2）解：∵AB=10，AC=4，∴AD=6，∴BD=8，∴BC=
25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（–5，0），B（–4，–3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+6x+5．（2）①△PBC的面积的最大值为．②存在满足条件的点P的坐标为（0，5）和（–，–）.
【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5．
（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F.
在抛物线y=x2+6x+5中，
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得x=–5，x=–1，
∴点C的坐标为（–1，0）.
由点B（–4，–3）和C（–1，0），可得
直线BC的表达式为y=x+1.
设点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题知–4则点F（t，t+1），
∴FP=（t+1）–（t2+6t+5）=–t2–5t–4，
∴S△PBC=S△FPB+S△FPC=·FP·3
=
=
=.
∵–4<–<–1，
∴当t=–时，△PBC的面积的最大值为．
②存在．
∵y=x2+6r+5=（x+3）2–4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（–3，–4）.
由点C（–l，0）和D（–3，–4），可得
直线CD的表达式为y=2x+2.
分两种情况讨论：
（i）当点P在直线BC上方时，有∠PBC=∠BCD，如图2.
若∠PBC=∠BCD，
则PB∥CD，
∴设直线PB的表达式为y=2x+b.
把B（–4，–3）代入y=2x+b，得b=5，
∴直线PB的表达式为y=2x+5.
由x2+6x+5=2x+5，解得x1=0，x2=–4（舍去），
∴点P的坐标为（0，5）.
（ii）当点P在直线BC下方时，有∠PBC=∠BCD，如图3.
设直线BP与CD交于点M，则MB=MC.
过点B作BN⊥x轴于点N，则点N（–4，0），
∴NB=NC=3，
∴MN垂直平分线段BC.
设直线MN与BC交于点G，则线段BC的中点G的坐标为，
由点N（–4，0）和G，得
直线NG的表达式为y=–x–4.
∵直线CD:y=2x+2与直线NG:y=–x–4交于点M，
由2x+2=–x–4，解得x=–2，
∴点M的坐标为（–2，–2）.
由B（–4，–3）和M（–2.–2），得
直线BM的表达式为y=．
由x2+6x+5=，解得x1=–，x2=–4（含去），
∴点P的坐标为（–，–）.
综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（0，5）和（–，–）.
【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏．
26.已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝900，延长AG，BG分别与边BC，CD交于E，F．
①求证：BE＝CF；
②求证：BE2＝BC·CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BCCE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．
思路分析：（1）由正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，证∠GAB＝∠GBC得Rt△EAB≌Rt△FBC，得证；（2）先证△GCB∽△BCG，得到CG2＝BC·CE，再证CG＝CF＝BE，通过相等线段的转化得证；（3）方法1：延长AE、DC交于点K，由平行线得到成比例线段，证得CF＝BE＝CK，在Rt△BCF中，利用直角三角形的边角关系得到tan∠CBF＝，并转化为，利用已知条件求解；方法2：分别延长BF，CM交AD所在直线于点K，S，先证AS＝BC＝AB，然后把tan∠CBF转化为tan∠K，并利用已知条件求解．
解：（1）①证明：在△ABG中，∵∠AGB＝900，∴∠GAB＋∠ABG＝900，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABC＝∠ABG＋∠GBC＝90°，∴∠GAB＝∠GBC，∴Rt△EAB≌Rt△FBC，∴BE＝CF．
②证明：∵∠AGB＝90°，点M是AB的中点，∴GM＝AM＝BM，∴∠GAB＝∠AGM，∵∠AGM＝∠CGE，由①得∠GAB＝∠CBG，∴∠CGE＝∠CBG，∵∠GCB＝∠BCG，∴△GCB∽△BCG，∴，CG2＝BC·CE，∵∠MBG＝∠MGB＝∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF，由①得BE＝CF，∴CG＝CF＝BE，∴BE2＝BC·CE．
（2）解：解法1：延长AE、DC交于点K，∵DC//AB，∴△ABE∽△KCE，∴，∵BE2＝BC·CE，
∴，∴，∵AB＝BC，∴ CK＝BE，∵AB//DC，∴，
∴AM＝BM，CF＝CK＝BE．∵BE2＝BC·CE，∴E是BC上的黄金分割点，∴＝，
∴tan∠CBF＝＝．
解法2：如图构造辅助线，易证AS＝BC＝AB，∵BE2＝BC·CE，∴点E是BC上的黄金分割点，
∴＝，∵AD//BC，∴tan∠CBF＝tan∠K＝＝．
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
组别
使用数量（双）
频数
14
10
合
50