2024年陕西省中考数学模拟试卷
展开1.在实数-1,0,3,中,最大的数是( )
A.-1B.0C.3D.
2.如图1,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长( )
A.5 B.4 C. D.
3.如图,将直尺与含角的三角尺摆放在一起,若,则的度数是( )
B.
C. D.
4.下列计算正确的是( )
A.-(a-b)=-a+b B. C.a·a=a D.
5.在平面直角坐标系中,将点A(-1,-2)向右平移3和单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点的坐标为( )
(-3,-2) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2)
6.一张矩形纸片,已知,,小明按所给图步骤折叠纸片,则线段长为( )
A. B. C. D.
7.如图,在中,为直径,,点D为弦的中点,点E为上任意一点,则的大小可能是( )
B.
C.D.
8.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是( )
74 B. 47 C . 5 7 D. 75
二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,计 15 分)
9.分解因式: .
10.若正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是 .
11.在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1),B(3,2),C(﹣6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为 .
12.如图,在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DE上,且ME= 13 DM.当AM⊥BM时,则BC的长为 .
(12题图) (13题图)
13.如图,在矩形中,,,对角线相交于点,点为边上一动点,连接,以为折痕,将折叠,点的对应点为点,线段与相交于点.若为直角三角形,则的长 .
三、解答题(共 13 小题,计 81 分.解答应写出过程)
14.计算:.
解不等式组:
16.先化简,再求值:(- m- n)÷,其中m-n =
17.如图,是的角平分线.作线段的垂直平分线,分别交、于点、;(用直尺和圆规作图,标明字母,保留作图痕迹,不写作法.
18.如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.求证:BD=CE
19.在一个不透明的盒子中装有4张卡片,4张仁片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀.
(1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数数字卡片的概率是 ;
(2)先从盒子中任意抽取一张忙片,再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡片标有的数字之和大于4的概率(请用面树状图或列表等方法求解).
20.某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行,租用同型号客车4辆,还剩30人没有座位;租用5辆,还空10个座位.求该客车的载客量.
21.如图,两座建筑物的水平距离BC=30m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.
22.为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况,随机抽取了名学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目),并将调查结果绘制成如下统计图表:
学生最喜爱的节目人数统计表
根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)______,______,______;
(2)补全上面的条形统计图;
(3)若该校共有学生1000名.根据抽样调查结果,估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名.
23.某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费标准.按照新标准,用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x()之间的关系如图所示.
(1)求y关于的函数解析式;
(2)若某用户二、三月份共用水40m³(二月份用水量不超过25m³),缴纳水费79.8元,则该用户二、三月份的用水量各是多少m³?
24.如图,的平分线交的外接圆于点,的平分线交于点.
(1)求证:;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC的外接圆半径.
25.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x2+2x+1与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b的解析式;
(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
A
B
C
O
y=kx+b
y=-
x
2
+2
x
+1
·
P
(
x
,
y
)
26.数学课上,张老师出示了问题:如图1,、是四边形的对角线,若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?
经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得△ABE≌△ADC,从而容易证明△ACE是等边三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD.
小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将△ABC绕着点A逆时针旋转60°,使AB与AD重合,从而容易证明△ACF是等边三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图4,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”,其它条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并给出证明.
小华提出:如图5,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”,其它条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,不用证明.
2024 年陕西省中考数学试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,计 24 分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1.在实数-1,0,3,中,最大的数是( )
A.-1B.0C.3D.
答案:C, 解析:根据“负数小于0,正数大于0,正数大于负数”,所以这四个数中最大的数是3,故选C.
2.如图1,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长( )
A.5 B.4 C. D.
答案:D.解析:OM为△ADC的中位线,∴AB=CD=2OM=6,在Rt△ABC中,AC==,OB为Rt△ABC斜边上的中线,则BO=AC=.
3.如图,将直尺与含角的三角尺摆放在一起,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:如图,先根据平行线的性质即可求得∠2=∠3,再根据三角形外角的性质可求得∠3,进而得出答案.
∵长方形的对边平行,∴∠2=∠3,又∵∠3=∠1+30°,∴∠2=∠1+30°=20°+30°=50°,
4.(2017山东临沂,3,3分)下列计算正确的是( )
A.-(a-b)=-a+b B. C.a·a=a D.
答案:D
解析:A选项,-(a-b)=-a+b,所以选项A错误;
B选项,a²+a²是同类项,合并后为2a²,所以选项B错误;
C选项,a·a=a=a ,所以选项C错误;
D选项,,所以选项D正确.
5.在平面直角坐标系中,将点A(-1,-2)向右平移3和单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点的坐标为( )
(-3,-2) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2)
答案:D,解析:考查平移和轴对称的知识,画出坐标系,容易判断答案为D.
6.一张矩形纸片,已知,,小明按所给图步骤折叠纸片,则线段长为( )
A.B.C.D.
答案:A,解析:因为,,经第一次折叠后A′C=3-2=1,又因为A′D=2,经第二次折叠后得到DC′=2-1=1,又由第一次折叠知,∠A′DE=45°,在RT△C′DG中∠A′DE=45°,DC′=1,所以DG=1×=,所以,选A.
7.如图,在中,为直径,,点D为弦的中点,点E为上任意一点,则的大小可能是( )
B.
C.D.
【答案】C
【分析】连接OD、OE,先求出∠COD=40°,∠BOC=100°,设∠BOE=x,则∠COE=100°-x,∠DOE=100°-x+40°;然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE,最后根据线段的和差即可解答.
【详解】解:连接OD、OE∵OC=OA∴△OAC是等腰三角形
∵,点D为弦的中点 ∴∠DOC=40°,∠BOC=100°
设∠BOE=x,则∠COE=100°-x,∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE,∠COE=100°-x ∴∠OEC=
∵OD<OE,∠DOE=100°-x+40°=140°-x ∴∠OED<
∴∠CED>∠OEC-∠OED==20°.
又∵∠CED<∠ABC=40°,故答案为C.
【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点,正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键.
已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是( )
74 B. 47 C.57 D. 75
【答案】A
【解析】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是根据线段AB的长不大于4,求出a的取值范围,再利用二次函数的增减性求代数式a2+a+1的最小值.
∵y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1,
∴该抛物线的顶点坐标为(-2,1),对称轴为直线x=-2.
∵抛物线过点A(m,3),B(n,3)两点,
∴当y=3时,a(x+2)2+1=3,(x+2)2=,当a>0时,x=-2±.
∴A(-2-,3),B(-2+,3).
∴AB=2.
∵线段AB的长不大于4,
∴2≤4.
∴a≥.
∵a2+a+1=(a+)2+,
∴当a=,(a2+a+1)min=(a+)2+=.
因此本题答案为.
【知识点】二次函数的应用;压轴题
二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,计 15 分)
9.分解因式: .
答案:b(a-b),解析:利用提公因式法对原式进行分解即可,原式=b(a-b).
10.若正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是 .
答案:9,解析:任意正多边形的外角和为360°,则边数n =360÷40=9.
11.在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1),B(3,2),C(﹣6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为_____.
【答案】-1.
【分析】根据已知条件得到点在第二象限,求得点一定在第三象限,由于反比例函数的图象经过其中两点,于是得到反比例函数的图象经过,,于是得到结论.
【解析】解:点,,分别在三个不同的象限,点在第二象限,
点一定在第三象限,
在第一象限,反比例函数的图象经过其中两点,
反比例函数的图象经过,,
,,故答案为:.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,正确的理解题意是解题的关键.
12.在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DE上,且ME=DM.当AM⊥BM时,则BC的长为 .
答案:8,解析:在Rt△ABM中,点D是斜边AB的中点,根据“在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半”,可得DM=AB=3;由已知ME=DM,即得ME=1,所以DE=4.∵点D是AB的中点,且DE∥BC,可得DE是△ABC的中位线,所以BC=2DE=8.
13.如图,在矩形中,,,对角线相交于点,点为边上一动点,连接,以为折痕,将折叠,点的对应点为点,线段与相交于点.若为直角三角形,则的长__________.
【答案】或1
【分析】先根据矩形的性质、折叠的性质可得,,设,从而可得,再根据直角三角形的定义分和两种情况,然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得.
【详解】四边形ABCD是矩形,,
由折叠的性质可知,
设,则由题意,分以下两种情况:
(1)如图1,当时,为直角三角形
在和中,
,即 解得
,
在中,,即解得即
(2)如图2,当时,为直角三角形 ,
,即
在和中, ,即
解得
,即解得即综上,DP的长为或1故答案为:或1.
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点,依据题意,正确画出图形,并分两种情况讨论是解题关键.
三、解答题(共 13 小题,计 81 分.解答应写出过程)
14.计算:.
思路分析:先根据二次根式的化简、负整指数幂运算法则、绝对值的意义、特殊角的三角函数值分别求出、、、cs45°的值,然后根据实数的加减运算法则进行计算.
解:|1-|+2cs45°-+()=-1+2×-2+2=1
15.解不等式组:
思路分析:根据不等式法则分别解不等式,再根据“大大取大”,“小小取小”,“大与小,小于大,取中间”,“大于大,小于小,题无解”的原则得出不等式组的解.
解:
①
②
由①得:3x+6≥5x-10
-2x≥-16
x≤8
由②得:3(x-5)-2(4x-3)<6
3x-15-8x+6<6
-5x<15
x>-3
∴ 原不等式组的解是:-3<x≤8.
16.先化简,再求值:(- m- n)÷,其中m-n =
思路分析:分式化简,注意运算的规则,先算括号,再算乘除。
解:原式=
=
=
=
=
当m-n =时,原式=
17.如图,是的角平分线.作线段的垂直平分线,分别交、于点、;(用直尺和圆规作图,标明字母,保留作图痕迹,不写作法.
【思路分析】利用尺规作线段的垂直平分线即可.
【解题过程】解:如图,直线即为所求.
【知识点】线段垂直平分线的性质;作图题
18.如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.
(1)求证:BD=CE
(1)证明:∵AB、AC为等腰三角形的两腰 ∴AB=AC
∵BD,CE分别是两腰上的中线
∴AE=AD
在△AEC与△ADB中
AE=AD
∠A=∠A
AC=AB
∴△AEC≌△ADB
∴BD=CE
19.在一个不透明的盒子中装有4张卡片,4张仁片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀.
(1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数数字卡片的概率是 ;
(2)先从盒子中任意抽取一张忙片,再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡片标有的数字之和大于4的概率(请用面树状图或列表等方法求解).
【思路分析】本题考查列表法与树状图法,(1)直接利用概率公式计算可得;
(2)用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可,找到符合条件的结果数,再利用概率公式计算.
【解题过程】解:(1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是为,
故答案为.
(2)根据题意列表得:
由表格可知,共有12种可能的结果,并且它们的出现是等可能的,其中两次抽取卡片数字和大于4的情况包括:(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4.3)共8种.所以P(抽取曲张卡片数字和大于4)=.
【知识点】概率公式;列表法与树状图法
20.)某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行,租用同型号客车4辆,还剩30人没有座位;租用5辆,还空10个座位.求该客车的载客量.
【答案】该客车的载客量为40人
【分析】设该客车的载客量为人,由题意知,,计算求解即可.
【详解】解:设该客车的载客量为人,
由题意知,,
解得,,
∴该客车的载客量为40人.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键在于根据题意正确的列方程.
21.如图,两座建筑物的水平距离BC=30m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.
思路分析:首先分析图形:根据题意构造直角三角形;本题涉及两个直角三角形,应利用其公共边构造关系式,进而可求出答案.
解:过A作AE⊥CD的延长线交于点E,则四边形ABCE是矩形,AE=BC=30,AB=CE
在Rt△ADE中,∠E=90°,∠DAE=30°,∴DE=AE·tan30°=30×=10EQ \R(,3). AD=2DE=20
∵∠CAE=60°,∴∠CAD=60°-30°=30°,∠ACE=90°-60°=30°,∴∠CAD=∠ACE
∴CD=AD=20,∴AB=CE=DE+CD=10+20=30
答:这两座建筑物的高度分别是30m,20m.
22.为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况,随机抽取了名学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目),并将调查结果绘制成如下统计图表:
学生最喜爱的节目人数统计表
根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)______,______,______;
(2)补全上面的条形统计图;
(3)若该校共有学生1000名.根据抽样调查结果,估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名.
思路分析:(1)根据最喜欢最强大脑的人数5占x的10%,可得出x的值,再根据x的值出a的值;用15除以x的值,即可得出b的值;
(2)根据a的值可在图中直接补全图形;
(3)根据最喜爱《中国诗词大会》节目的百分比,可以直接估算出结果.
解:⑴ x=5÷10%=50,a=40%×50=20,b=15÷50=30%
⑵
⑶1000×40%=400(名)
答:喜爱《中国诗词大会》节目的学生大约有400名.
23.某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费标准.按照新标准,用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x()之间的关系如图所示.
(1)求y关于的函数解析式;
(2)若某用户二、三月份共用水40m³(二月份用水量不超过25m³),缴纳水费79.8元,则该用户二、三月份的用水量各是多少m³?
思路分析:(1)由图像可以得到这是分段函数,0
解:⑴
⑵设二月用水量为xm³,则三月用水量为(40-x)m³
∵x≤25,所以40-x≥15
①当0≤x≤15时,x+(40-x)-9=79.8,解得:x=12,∴40-x=28
②当15<x≤25时,×40-9=87≠79.8,不合题意.
答:二月份用水量为12 m³,三月份用水量是28 m³.
24.如图,的平分线交的外接圆于点,的平分线交于点.
(1)求证:;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC的外接圆半径.
思路分析:(1)利用角平分线的定义和圆周角的性质通过判定∠EBD=∠BED,得出结论;
(2)根据等弧得出CD的长,根据∠BAC=90°得出BC为直径,进而利用勾股定理求得BC的长度,进而得出△ABC外接圆半径的长度.
证明:⑴连接BD,CD.
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∵BE平分∠ABC
∴∠CBE=∠ABE
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD
又∵∠BED=∠ABE+∠BAD
∴∠DBE=∠BED
∴BD=DE
⑵∵∠BAC=90°
∴BC是直径
∴∠BDC=90°
∵AD平分∠BAC,BD=4
∴BD=CD=4
∴BC==4
∴半径为2
25.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x2+2x+1与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b的解析式;
(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
A
B
C
O
y=kx+b
y=-
x
2
+2
x
+1
·
P
(
x
,
y
)
思路分析:(1)将A、B两点坐标代入y=kx+b中,求出k、b的值;(2)作出点P到直线AB的距离后,由于∠AHC=90°,考虑构造“K形”相似,得到△MAH、△OBA、△NHP三个三角形两两相似,三边之比都是3∶4∶5.由“”可得,整理可得d关于x的二次函数,配方可求出d的最小值;
A
B
C
O
y=kx+b
y=-
x
2
+2
x
+1
·
P
(
x
,
y
)
H
M
N
A
B
C
O
x=1
·
C′
E
F
解:(1)∵y=kx+b经过A(-4,0)、B(0,3),
∴,解得k=,b=3.
∴y=x+3.
(2)过点P作PH⊥AB于点H,过点H作x轴的平行线MN,分别过点A、P作MN的垂线段,垂足分别为M、N.
A
B
C
O
y=kx+b
y=-
x
2
+2
x
+1
·
P
(
x
,
y
)
H
M
N
设H(m,m+3),则M(-4,m+3),N(x,m+3),P(x,-x2+2x+1).
∵PH⊥AB,∴∠CHN+∠AHM=90°,∵AM⊥MN,∴∠MAH+∠AHM=90°.
∴∠MAH=∠CHN,∵∠AMH=∠CNH=90°,∴△AMH∽△HNP.
∵MA∥y轴,∴△MAH∽△OBA.∴△OBA∽△NHP.
∴.
∴.
整理得:,所以当x=,即P(,).
26.数学课上,张老师出示了问题:如图1,、是四边形的对角线,若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?
经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得△ABE≌△ADC,从而容易证明△ACE是等边三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD.
小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将△ABC绕着点A逆时针旋转60°,使AB与AD重合,从而容易证明△ACF是等边三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图4,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”,其它条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并给出证明.
小华提出:如图5,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”,其它条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,不用证明.
思路分析:(1)延长CB到E,使BE=CD,连接AE,构造△ADC≌△ABE,从而得到AE=AC,进而得出结论;(2)延长CB到E,使BE=CD,连接AE,构造△ADC≌△ABE,从而得到AE=AC,作AF⊥EC,,得∠E=α,则EB=AC,csα从而得到结论.
解:⑴结论:BC+CD=AC
证明如下:方法①,如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE.
∵∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°
∴∠BAD=90°,∠BCD=90°,AD=AB
∴∠ABC+∠ADC=180°
又∵∠ABE+∠ABC=180°
∴∠ADC=∠ABE
∴△ADC≌△ABE
∴AC=AE,∠CAD=∠EAB
∴∠EAC=∠BAD=90°
∴CE=AC
∴BC+CD=AC
方法②,如图3,将△ABC绕着点A逆时针旋转90°至△ADF位置,使AB与AD重合,易得C、D、F三点共线,以下与方法①雷同,证略.
⑵BC+CD=2ACcsα
节目
人数(名)
百分比
最强大脑
5
10%
朗读者
15
b%
中国诗词大会
a
40%
出彩中国人
10
20%
1
2
3
4
1
3
4
5
2
3
5
6
3
4
5
7
4
5
6
7
节目
人数(名)
百分比
最强大脑
5
10%
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