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沪教版八年级数学辅导讲义第19讲四边形的存在性(讲义)原卷版+解析
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这是一份沪教版八年级数学辅导讲义第19讲四边形的存在性(讲义)原卷版+解析，共32页。
四边形的存在性本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线．考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识精讲 平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系．例题解析例1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． （1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形；（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形．例2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3， 0)，点B的坐标为A(0， 4)．（1）求直线AB的解析式；（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD为菱形，求点D坐标；（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．例3.直线与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为秒，△OPQ的面积为，求出与之间的函数关系式．（3）当时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．例4.如图所示，平面直角坐标系中，O是坐标原点，正比例函数y=kx（x为自变量）的图像与双曲线交于点A，且点A的横坐标为．（1）求k的值；（2）将直线y=kx（x为自变量）向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交x轴、y轴于B、C，如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．例5.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，将一个30°角的顶点P放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC，且交边AC于点E，30°的另一边交射线BC于点D，连ED．（1）如图，当四边形PBDE为等腰梯形时，求AP长；（2）四边形PBDE有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE为平行四边形时，AP的长，若不可能，说明理由；（3）若点D在BC边上（不与B、C重合），试写出线段AP的取值范围．例6．（2018·上海八年级期中）如图，在平面直角坐标系中,直线经过点且与直线： 平行，直线与轴、轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形？并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案.例7．（2018·上海八年级期中）如图，平面直角坐标系中，直线经过点、，点是第一象限的点且，过点作轴，垂足为，．（1）求直线的解析式和点的坐标；（2）试说明：；（3）若点是直线上的一个动点，在轴上存在另一个点，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．例8．（2019·上海八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点．（1）求点坐标和点坐标；（2）点是线段上一点，点为坐标原点，点在第二象限，且四边形为菱形，求点坐标；（3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系中一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点坐标．模块二：梯形的存在性知识精讲梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k相等而b不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．例题解析例1.在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，DC=8cm，且∠C=60°，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD方向向点D移动，同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动，连接PQ，（1）得四边形ABQP和四边形PQCD．若设移动的时间为t秒（0＜t＜7），四边形PQCD的面积为ycm²，求y与t的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形．说明理由；（3）当t为何值时，四边形PQCD是直角梯形．例2.如图，已知与是反比例函数图像上的两个点．（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图像上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例3。如图，一次函数的图像与轴相交于点A(5，0)、与轴相交于点B．（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标例4．（2019·上海八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点,点,点在第一象限内，轴，且.(1)求直线的表达式;(2)如果四边形是等腰梯形，求点的坐标.随堂检测1.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．（1）求直线AC的表达式；（2）如果四边形ACPB是平行四边形，求点P的坐标．【拓展】如果以A、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线相交于点B，点C是线段OB上的点，且△AOC的面积为12．（1）求直线AC的表达式；（2）设点P为直线AC上的一点，在平面内是否存在点Q，使四边形OAPQ为菱形，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．3.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3 cm/s的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，线段PQ＝CD． 四边形的存在性本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线．考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识精讲 平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系．例题解析例1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． （1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形；（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形．【难度】★★【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了平行四边形和矩形的判定．例2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3， 0)，点B的坐标为A(0， 4)．（1）求直线AB的解析式；（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD为菱形，求点D坐标；（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．【难度】★★【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质及平行四边形的判定和性质．例3.直线与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为秒，△OPQ的面积为，求出与之间的函数关系式．（3）当时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．【难度】★★★【解析】（1） （2）（3）【总结】本题主要考查了一次函数的图像和性质及平行四边形的判定和性质．例4.如图所示，平面直角坐标系中，O是坐标原点，正比例函数y=kx（x为自变量）的图像与双曲线交于点A，且点A的横坐标为．（1）求k的值；（2）将直线y=kx（x为自变量）向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交x轴、y轴于B、C，如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．【难度】★★★【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点坐标等关系及菱形的判定和性质．例5.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，将一个30°角的顶点P放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC，且交边AC于点E，30°的另一边交射线BC于点D，连ED．（1）如图，当四边形PBDE为等腰梯形时，求AP长；（2）四边形PBDE有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE为平行四边形时，AP的长，若不可能，说明理由；（3）若点D在BC边上（不与B、C重合），试写出线段AP的取值范围．【难度】★★★【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了等腰梯形和平行四边形的判定和性质．例6．（2018·上海八年级期中）如图，在平面直角坐标系中,直线经过点且与直线： 平行，直线与轴、轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形？并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案.【答案】（1）（-9，0）；（2）四边形ABCD是矩形；（3）（-2，-4），（10，4）【解析】（1）根据,直线与直线平行，设出的函数关系式，再利用待定系数法即可求出的函数关系式，再令，即可求出点D坐标；（2）利用平面内两点间的距离公式求出AD与BC的长相等，再根据AD∥BC及BD=AC，即可求出结论；（3）根据正方形的判定，作出图形，即可得出点E的坐标.详解：（1）∵直线与直线： 平行，∴设，∵直线经过点，∴，∴，∴，当时，，解得，∴.（2）四边形ABCD是矩形. ∵，，∴，∵，，∴，∴，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵，，∴BD=AC，∴平行四边形ABCD是矩形. （3）如图所示，点E坐标为：，.点睛：本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、两点间的距离、矩形的判定、正方形的判定等知识.熟练应用一次函数、矩形的判定、正方形的判定是解题的关键.例7．（2018·上海八年级期中）如图，平面直角坐标系中，直线经过点、，点是第一象限的点且，过点作轴，垂足为，．（1）求直线的解析式和点的坐标；（2）试说明：；（3）若点是直线上的一个动点，在轴上存在另一个点，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）详见解析；（3），，【分析】（1）将A、B坐标代入可得直线解析式，设B（1，m），由得1+m2=5，解之可得答案； （2）利用边角边证明△AOD与△OCB全等，从而得到∠OAD=∠COB，根据∠COB+∠AOB=90°可得∠OAD+∠AOB=90°，从而得到∠AEO=90°，得证； （3）根据平行四边形的对边平行且相等可得BM∥AN且BM=AN，令y=2求出点M的坐标，从而得到BM的长度，再分点N在点O的左边与右边、点N关于A的对称点三种情况讨论求出点N的坐标．【详解】解：（1）把，代入得解得∴解析式为∵，轴设∵，∴，（负值舍去）∴；（2）∵，，，∴，∵∴∴∵∴∴∠AEO=90°，∴；（3）∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴BM∥x轴，且BM=ON， 根据（1），点B的坐标为（1，2）， ∴-x+1=2， 解得x=-2， ∴点M的坐标为（-2，2）， ∴BM=1-（-2）=1+2=3， ①点N在点O的左边时，ON=BM=3， ∴点N的坐标为（-3，0）， ②点N在点O的右边时，ON=BM=3， ∴点N的坐标为（3，0）， ③作N（-3，0）关于A对称的点N′，则N′也符合， 点N′的坐标是（7，0）， 综上所述，点N的坐标为（-3，0）或（3，0）或（7，0）．【点睛】本题是对一次函数的综合考查，主要有坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，解题的关键是仔细分析题目，理清数量关系．例8．（2019·上海八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点．（1）求点坐标和点坐标；（2）点是线段上一点，点为坐标原点，点在第二象限，且四边形为菱形，求点坐标；（3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系中一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点坐标．【答案】（1），；（2）D；（3）；；【分析】（1）分别令x与y为0，求出对应y与x的值，即可确定出A与B的坐标；（2）设点坐标为，根据题意知，根据两点之间的距离公式即可求得点的坐标，利用轴对称的性质即可求得点的坐标；（3）过A作BD的平行线，过D作AB的平行线，过B作AD的平行线，分别相交于、、，利用待定系数法分别求得直线、、的解析式，再求直线的交点坐标即可求解．【详解】（1）当时，得，解得：∴点B的坐标为(0，4)，当时，得，解得：∴点A的坐标为(2，0)；（2）∵点是线段上，∴设点坐标为，∵四边形为菱形，∴，则，解得．∴点坐标为．∵点、关于轴对称，∴点坐标为；（3）过A作BD的平行线，过D作AB的平行线，过B作AD的平行线，分别相交于、、，如图：∵点A、B、D的坐标分别为(2，0)，(0，4)，(-1，2)，设BD的解析式为，把点D的坐标 (-1，2)代入得：，解得：，∴设直线的解析式为，把点A的坐标 (2，0)代入得：，解得：，∴直线的解析式为，同理可求得直线、的解析式分别为、，联立、得：，解得，∴点的坐标为(1，-2)；联立、得：，解得，∴点的坐标为(3，2)；联立、得：，解得，∴点的坐标为(-3，6)；综上，所有满足条件的点坐标为(1，-2)，(3，2)，(-3，6)；【点睛】本题属于一次函数综合题，两点之间的距离公式，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，二元一次方程的解法等知识，熟练掌握待定系数法是解本题的关键模块二：梯形的存在性知识精讲梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k相等而b不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．例题解析例1.在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，DC=8cm，且∠C=60°，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD方向向点D移动，同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动，连接PQ，（1）得四边形ABQP和四边形PQCD．若设移动的时间为t秒（0＜t＜7），四边形PQCD的面积为ycm²，求y与t的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形．说明理由；（3）当t为何值时，四边形PQCD是直角梯形．【难度】★★【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了等腰梯形和直角梯形的性质和判定．例2.如图，已知与是反比例函数图像上的两个点．（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图像上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了反比例函数的图像和性质与四边形性质的结合运用．例3。如图，一次函数的图像与轴相交于点A(5，0)、与轴相交于点B．（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标【难度】★★【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式及直角梯形的性质的判定．例4．（2019·上海八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点,点,点在第一象限内，轴，且.(1)求直线的表达式;(2)如果四边形是等腰梯形，求点的坐标.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）由得出BA=6，即可得B的坐标，再设直线BC的表达式，即可解得. (2) 分两种情况，情况一：当时， 点在轴上;情况二：当时.分别求出两种情况D的坐标即可.【详解】（1）轴设直线的表达式为， 由题意可得解得直线的表达式为（2）1）当时， 点在轴上，设,方法一：过点作轴， 垂足为四边形是等腰梯形，方法二：，解得经检验是原方程的根，但当时，四边形是平行四边形，不合题意，舍去2）当时，则直线的函数解析式为设解得，经检验是原方程的根时，四边形是平行四边形，不合题意，舍去综上所述，点的坐标为或【点睛】此题考查一次函数、一元二次方程，平面坐标，解题关键在于结合题意分两种情况讨论D的坐标.随堂检测1.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．（1）求直线AC的表达式；（2）如果四边形ACPB是平行四边形，求点P的坐标．【拓展】如果以A、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．【难度】★★【解析】（1）（3）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质的判定．2.如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线相交于点B，点C是线段OB上的点，且△AOC的面积为12．（1）求直线AC的表达式；（2）设点P为直线AC上的一点，在平面内是否存在点Q，使四边形OAPQ为菱形，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【难度】★★★【解析】（1）E（2）当AO时对角线时，P（3,3）Q（-3,3），综上当四边形OAPQ是菱形时， 【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式以及菱形的性质．3.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3 cm/s的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，线段PQ＝CD．【难度】★★★【解析】【总结】本题主要考查了平行四边形和等腰梯形的判定．
四边形的存在性本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线．考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识精讲 平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系．例题解析例1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． （1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形；（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形．例2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3， 0)，点B的坐标为A(0， 4)．（1）求直线AB的解析式；（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD为菱形，求点D坐标；（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．例3.直线与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为秒，△OPQ的面积为，求出与之间的函数关系式．（3）当时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．例4.如图所示，平面直角坐标系中，O是坐标原点，正比例函数y=kx（x为自变量）的图像与双曲线交于点A，且点A的横坐标为．（1）求k的值；（2）将直线y=kx（x为自变量）向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交x轴、y轴于B、C，如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．例5.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，将一个30°角的顶点P放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC，且交边AC于点E，30°的另一边交射线BC于点D，连ED．（1）如图，当四边形PBDE为等腰梯形时，求AP长；（2）四边形PBDE有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE为平行四边形时，AP的长，若不可能，说明理由；（3）若点D在BC边上（不与B、C重合），试写出线段AP的取值范围．例6．（2018·上海八年级期中）如图，在平面直角坐标系中,直线经过点且与直线： 平行，直线与轴、轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形？并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案.例7．（2018·上海八年级期中）如图，平面直角坐标系中，直线经过点、，点是第一象限的点且，过点作轴，垂足为，．（1）求直线的解析式和点的坐标；（2）试说明：；（3）若点是直线上的一个动点，在轴上存在另一个点，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．例8．（2019·上海八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点．（1）求点坐标和点坐标；（2）点是线段上一点，点为坐标原点，点在第二象限，且四边形为菱形，求点坐标；（3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系中一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点坐标．模块二：梯形的存在性知识精讲梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k相等而b不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．例题解析例1.在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，DC=8cm，且∠C=60°，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD方向向点D移动，同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动，连接PQ，（1）得四边形ABQP和四边形PQCD．若设移动的时间为t秒（0＜t＜7），四边形PQCD的面积为ycm²，求y与t的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形．说明理由；（3）当t为何值时，四边形PQCD是直角梯形．例2.如图，已知与是反比例函数图像上的两个点．（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图像上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例3。如图，一次函数的图像与轴相交于点A(5，0)、与轴相交于点B．（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标例4．（2019·上海八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点,点,点在第一象限内，轴，且.(1)求直线的表达式;(2)如果四边形是等腰梯形，求点的坐标.随堂检测1.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．（1）求直线AC的表达式；（2）如果四边形ACPB是平行四边形，求点P的坐标．【拓展】如果以A、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线相交于点B，点C是线段OB上的点，且△AOC的面积为12．（1）求直线AC的表达式；（2）设点P为直线AC上的一点，在平面内是否存在点Q，使四边形OAPQ为菱形，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．3.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3 cm/s的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，线段PQ＝CD． 四边形的存在性本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线．考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识精讲 平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系．例题解析例1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． （1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形；（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形．【难度】★★【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了平行四边形和矩形的判定．例2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3， 0)，点B的坐标为A(0， 4)．（1）求直线AB的解析式；（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD为菱形，求点D坐标；（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．【难度】★★【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质及平行四边形的判定和性质．例3.直线与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为秒，△OPQ的面积为，求出与之间的函数关系式．（3）当时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．【难度】★★★【解析】（1） （2）（3）【总结】本题主要考查了一次函数的图像和性质及平行四边形的判定和性质．例4.如图所示，平面直角坐标系中，O是坐标原点，正比例函数y=kx（x为自变量）的图像与双曲线交于点A，且点A的横坐标为．（1）求k的值；（2）将直线y=kx（x为自变量）向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交x轴、y轴于B、C，如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．【难度】★★★【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点坐标等关系及菱形的判定和性质．例5.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，将一个30°角的顶点P放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC，且交边AC于点E，30°的另一边交射线BC于点D，连ED．（1）如图，当四边形PBDE为等腰梯形时，求AP长；（2）四边形PBDE有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE为平行四边形时，AP的长，若不可能，说明理由；（3）若点D在BC边上（不与B、C重合），试写出线段AP的取值范围．【难度】★★★【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了等腰梯形和平行四边形的判定和性质．例6．（2018·上海八年级期中）如图，在平面直角坐标系中,直线经过点且与直线： 平行，直线与轴、轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形？并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案.【答案】（1）（-9，0）；（2）四边形ABCD是矩形；（3）（-2，-4），（10，4）【解析】（1）根据,直线与直线平行，设出的函数关系式，再利用待定系数法即可求出的函数关系式，再令，即可求出点D坐标；（2）利用平面内两点间的距离公式求出AD与BC的长相等，再根据AD∥BC及BD=AC，即可求出结论；（3）根据正方形的判定，作出图形，即可得出点E的坐标.详解：（1）∵直线与直线： 平行，∴设，∵直线经过点，∴，∴，∴，当时，，解得，∴.（2）四边形ABCD是矩形. ∵，，∴，∵，，∴，∴，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵，，∴BD=AC，∴平行四边形ABCD是矩形. （3）如图所示，点E坐标为：，.点睛：本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、两点间的距离、矩形的判定、正方形的判定等知识.熟练应用一次函数、矩形的判定、正方形的判定是解题的关键.例7．（2018·上海八年级期中）如图，平面直角坐标系中，直线经过点、，点是第一象限的点且，过点作轴，垂足为，．（1）求直线的解析式和点的坐标；（2）试说明：；（3）若点是直线上的一个动点，在轴上存在另一个点，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）详见解析；（3），，【分析】（1）将A、B坐标代入可得直线解析式，设B（1，m），由得1+m2=5，解之可得答案； （2）利用边角边证明△AOD与△OCB全等，从而得到∠OAD=∠COB，根据∠COB+∠AOB=90°可得∠OAD+∠AOB=90°，从而得到∠AEO=90°，得证； （3）根据平行四边形的对边平行且相等可得BM∥AN且BM=AN，令y=2求出点M的坐标，从而得到BM的长度，再分点N在点O的左边与右边、点N关于A的对称点三种情况讨论求出点N的坐标．【详解】解：（1）把，代入得解得∴解析式为∵，轴设∵，∴，（负值舍去）∴；（2）∵，，，∴，∵∴∴∵∴∴∠AEO=90°，∴；（3）∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴BM∥x轴，且BM=ON， 根据（1），点B的坐标为（1，2）， ∴-x+1=2， 解得x=-2， ∴点M的坐标为（-2，2）， ∴BM=1-（-2）=1+2=3， ①点N在点O的左边时，ON=BM=3， ∴点N的坐标为（-3，0）， ②点N在点O的右边时，ON=BM=3， ∴点N的坐标为（3，0）， ③作N（-3，0）关于A对称的点N′，则N′也符合， 点N′的坐标是（7，0）， 综上所述，点N的坐标为（-3，0）或（3，0）或（7，0）．【点睛】本题是对一次函数的综合考查，主要有坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，解题的关键是仔细分析题目，理清数量关系．例8．（2019·上海八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点．（1）求点坐标和点坐标；（2）点是线段上一点，点为坐标原点，点在第二象限，且四边形为菱形，求点坐标；（3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系中一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点坐标．【答案】（1），；（2）D；（3）；；【分析】（1）分别令x与y为0，求出对应y与x的值，即可确定出A与B的坐标；（2）设点坐标为，根据题意知，根据两点之间的距离公式即可求得点的坐标，利用轴对称的性质即可求得点的坐标；（3）过A作BD的平行线，过D作AB的平行线，过B作AD的平行线，分别相交于、、，利用待定系数法分别求得直线、、的解析式，再求直线的交点坐标即可求解．【详解】（1）当时，得，解得：∴点B的坐标为(0，4)，当时，得，解得：∴点A的坐标为(2，0)；（2）∵点是线段上，∴设点坐标为，∵四边形为菱形，∴，则，解得．∴点坐标为．∵点、关于轴对称，∴点坐标为；（3）过A作BD的平行线，过D作AB的平行线，过B作AD的平行线，分别相交于、、，如图：∵点A、B、D的坐标分别为(2，0)，(0，4)，(-1，2)，设BD的解析式为，把点D的坐标 (-1，2)代入得：，解得：，∴设直线的解析式为，把点A的坐标 (2，0)代入得：，解得：，∴直线的解析式为，同理可求得直线、的解析式分别为、，联立、得：，解得，∴点的坐标为(1，-2)；联立、得：，解得，∴点的坐标为(3，2)；联立、得：，解得，∴点的坐标为(-3，6)；综上，所有满足条件的点坐标为(1，-2)，(3，2)，(-3，6)；【点睛】本题属于一次函数综合题，两点之间的距离公式，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，二元一次方程的解法等知识，熟练掌握待定系数法是解本题的关键模块二：梯形的存在性知识精讲梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k相等而b不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．例题解析例1.在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，DC=8cm，且∠C=60°，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD方向向点D移动，同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动，连接PQ，（1）得四边形ABQP和四边形PQCD．若设移动的时间为t秒（0＜t＜7），四边形PQCD的面积为ycm²，求y与t的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形．说明理由；（3）当t为何值时，四边形PQCD是直角梯形．【难度】★★【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了等腰梯形和直角梯形的性质和判定．例2.如图，已知与是反比例函数图像上的两个点．（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图像上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了反比例函数的图像和性质与四边形性质的结合运用．例3。如图，一次函数的图像与轴相交于点A(5，0)、与轴相交于点B．（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标【难度】★★【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式及直角梯形的性质的判定．例4．（2019·上海八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点,点,点在第一象限内，轴，且.(1)求直线的表达式;(2)如果四边形是等腰梯形，求点的坐标.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）由得出BA=6，即可得B的坐标，再设直线BC的表达式，即可解得. (2) 分两种情况，情况一：当时， 点在轴上;情况二：当时.分别求出两种情况D的坐标即可.【详解】（1）轴设直线的表达式为， 由题意可得解得直线的表达式为（2）1）当时， 点在轴上，设,方法一：过点作轴， 垂足为四边形是等腰梯形，方法二：，解得经检验是原方程的根，但当时，四边形是平行四边形，不合题意，舍去2）当时，则直线的函数解析式为设解得，经检验是原方程的根时，四边形是平行四边形，不合题意，舍去综上所述，点的坐标为或【点睛】此题考查一次函数、一元二次方程，平面坐标，解题关键在于结合题意分两种情况讨论D的坐标.随堂检测1.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．（1）求直线AC的表达式；（2）如果四边形ACPB是平行四边形，求点P的坐标．【拓展】如果以A、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．【难度】★★【解析】（1）（3）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质的判定．2.如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线相交于点B，点C是线段OB上的点，且△AOC的面积为12．（1）求直线AC的表达式；（2）设点P为直线AC上的一点，在平面内是否存在点Q，使四边形OAPQ为菱形，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【难度】★★★【解析】（1）E（2）当AO时对角线时，P（3,3）Q（-3,3），综上当四边形OAPQ是菱形时， 【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式以及菱形的性质．3.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3 cm/s的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，线段PQ＝CD．【难度】★★★【解析】【总结】本题主要考查了平行四边形和等腰梯形的判定．
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