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沪教版八年级数学辅导讲义第11讲特殊的平行四边形(练习)原卷版+解析
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这是一份沪教版八年级数学辅导讲义第11讲特殊的平行四边形(练习)原卷版+解析，共37页。
第11讲 特殊的平行四边形（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海普陀区·八年级期中）如果顺次联结矩形各边中点，那么所围成的四边形一定是（ ）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形2．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点，连结，则线段的最小值为（ ）A． B． C． D．53．（2019·上海浦东新区·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）A．两条对角线相等的四边形是矩形；B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形；C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；D．两条对角线相等的梯形是等腰梯形4．（2019·上海市娄山中学八年级月考）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．内角和等于外角和 D．每一条对角线所在直线都是它的对称轴5．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．（2019·上海市南洋模范中学八年级月考）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到,若两个三角形重叠部分的面积为,则它移动的距离等于( ) A． B． C． D．二、填空题8．（2019·上海上外附中）判断：一条对角线平分一组对角且有一组对角都是直角的四边形是正方形（______）9．（2018·上海杨浦区·八年级月考）□ABCD中,若AB=BC,则ABCD是_______形.10．（2018·上海杨浦区·八年级月考）当一个任意平行四边形的一个锐角增大到90°时,它就变成了______形.11．（2018·上海闵行区·八年级月考）已知一个菱形的面积是,其中一条对角线长为4cm,则这个菱形的另一条对角线长为_________12．（2019·上海八年级课时练习）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，∠B＝60°，则AB＝_______cm．13．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，若CD＝BC，则∠A＝_____．14．（2019·上海八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．三、解答题15．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，中，，平分交于点，平分的外角，且．求证：四边形是矩形．16．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）如图，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是边AC上一点（D与A、C不重合），过点A作AE垂直AC，求满足AE=CD，联结DE交边AB于点F.（1）试判断△DBE的形状，并证明你的结论.（2）当点D在边AC上运动时，四边形ADBE的面积是否发生变化？若不变，求出四边形ADBE的面积；若改变，请说明理由.（3）当△BDF是等腰三角形时，请直接写出AD的长. 能力提升一、单选题1．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2020·上海浦东新区·八年级月考）菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°3．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，在中，是高，是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH 中正确的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．（2018·上海虹口区·八年级期末）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致（）．A． B．C． D．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A．110° B．115° C．120° D．130°6．（2020·上海市甘泉外国语中学八年级期中）如图，正方形，边在轴的正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是______．7．（2020·上海浦东新区·八年级月考）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为_____cm2．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，斜边上的中线CD=1，AB+AC=2.5，则S△ABC =_________．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分别是中线，角平分线，高，则 和的大小关系：_________________10（2020·上海松江区·八年级期末）如图，已知在矩形中，点在边的延长线上，且，联结交于点，如果，那么的度数为__________．11．（2020·上海浦东新区·八年级期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=3，AE=4，则正方形ODCE的边长等于_____．三、解答题12．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E．（1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标．13．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；（3）（填空）在（2）中再增加条件 ．则四边形AFBD是正方形．14．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，在中，，AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG，点E、F分别是AB、CG的中点，且．（1）求证：；（2）若点E恰在射线CG上，求的度数．15．（2018·上海普陀区·八年级期末）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离． 第11讲 特殊的平行四边形（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海普陀区·八年级期中）如果顺次联结矩形各边中点，那么所围成的四边形一定是（ ）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形【答案】A【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等可证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【详解】如图，连接对角线AC、BD， 在△ABD中， ∵AH=HD，AE=EB ∴EH=BD， 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC， 又∵在矩形ABCD中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形EFGH为菱形． 故选：A．【点睛】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．2．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点，连结，则线段的最小值为（ ）A． B． C． D．5【答案】B【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．【详解】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴PC的最小值为：，∴线段EF长的最小值为，故选：B．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．3．（2019·上海浦东新区·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）A．两条对角线相等的四边形是矩形；B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形；C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；D．两条对角线相等的梯形是等腰梯形【答案】D【分析】A、根据矩形的判定定理作出分析、判断； B、根据菱形的判定定理作出分析、判断； C、根据正方形的判定定理作出分析、判断； D、根据等腰梯形的判定定理作出分析、判断．【详解】解：A、两条对角线相等的四边形不一定是矩形．例如等腰梯形的两条对角线也相等；故本选项错误； B、两条对角线垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、两条对角线垂直且相等的四边形也可能是等腰梯形；故本选项错误； D、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，此说法正确；故本选项正确； 故选：D．【点睛】本题综合考查了等腰梯形、正方形菱形以及矩形的判定．解答该题时，需要牢记常见的四边形的性质．4．（2019·上海市娄山中学八年级月考）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．内角和等于外角和 D．每一条对角线所在直线都是它的对称轴【答案】D【分析】根据菱形和矩形的性质进行判断即可．【详解】A. 对边平行且相等，都具有；B. 对角线互相平分，都具有；C. 内角和等于外角和，都具有；D. 每一条对角线所在直线都是它的对称轴，菱形具有而矩形不一定具有；故答案为：D．【点睛】本题考查了菱形和矩形的问题，掌握菱形和矩形的性质是解题的关键．5．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形【答案】D【分析】由题意分别根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形进行分析即可．【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点睛】本题主要考查菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形、正方形是特殊的平行四边形是解题的关键．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】由已知条件可得AD=DB=CD，所以可得到，故可得出等于的角有多少个．【详解】，，D是AB的中点，AD=DB=CD，，是等边三角形，，．故选D．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，关键是根据斜边中线定理得到线段的等量关系，进而得到角的等量关系．7．（2019·上海市南洋模范中学八年级月考）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到,若两个三角形重叠部分的面积为,则它移动的距离等于( ) A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2−x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【详解】解：设AC交A′B′于H， ∵∠A＝45°，∠D＝90° ∴△A′HA是等腰直角三角形 设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2−x ∴x•(2−x)＝1 ∴x＝1 即AA′＝1cm． 故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．二、填空题8．（2019·上海上外附中）判断：一条对角线平分一组对角且有一组对角都是直角的四边形是正方形（______）【答案】错误【分析】根据题设画出反例图形即可.【详解】解：反例：如图，四边形的对角线平分一组对角，且，而四边形不是正方形，故该命题是假命题，故答案为：错误.【点睛】本题考查了正方形的判定定理，根据题设画出反例图形是解题的关键.9．（2018·上海杨浦区·八年级月考）□ABCD中,若AB=BC,则ABCD是_______形.【答案】菱【分析】根据菱形的判定可知，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故答案为菱形.【点睛】本题考查菱形的判定，熟记一组邻边相等的平行四边形是菱形是解决问题的关键．10．（2018·上海杨浦区·八年级月考）当一个任意平行四边形的一个锐角增大到90°时,它就变成了______形.【答案】矩【分析】根据平行线的性质可知，平行四边形两组对边互相平行，一个角为直角，则四个角都是直角，则可知其变成矩形．【详解】根据平行线的性质可知，因为平行四边形两组对边分别平行且相等，所以当一个锐角增加为90°时，四个角都是90°，可得其为矩形．【点睛】本题考查矩形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握矩形的判定及平行四边形的性质．11．（2018·上海闵行区·八年级月考）已知一个菱形的面积是,其中一条对角线长为4cm,则这个菱形的另一条对角线长为_________【答案】【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解．【详解】解：设菱形的另一条对角线长为x，由题意可得：，解得：，即这个菱形的另一条对角线长为，故答案为：.【点睛】本题考查了菱形的面积求法，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题关键．12．（2019·上海八年级课时练习）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，∠B＝60°，则AB＝_______cm．【答案】2【分析】过A作AE∥DC，可得到平行四边形AECD，从而可求得BE的长，由已知可得到△ABE是等边三角形，此时再求AB就不难求得了．【详解】等腰梯形ABCD中,AD∥BC,作AE∥DC,则四边形AECD是平行四边形,因而AB=AE,CE=AD,再由∠B=60°得到△ABE是等边三角形，AE=2cm，AB=2cm.【点睛】本题考查等腰梯形的性质，解题的关键是掌握等腰梯形的性质.13．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，若CD＝BC，则∠A＝_____．【答案】30°．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质和已知条件可以推知△BCD是等边三角形，则利用直角三角形两个锐角互余的性质来求∠A的度数．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴BD＝CD．又∵CD＝BC，∴CD＝BC＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线, 等边三角形的判定与性质，解题的关键是得出△BCD是等边三角形.14．（2019·上海八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．【答案】【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．所以△AOE≌△COE．设CE为x．则DE=AD-x，CD=AB=2．根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22，解得CE=13/6．三、解答题15．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，中，，平分交于点，平分的外角，且．求证：四边形是矩形．【分析】利用角平分线的性质以及平角的性质可得到，利用等腰三角形的性质得到，利用矩形的判定定理即可求解．【详解】如图：∵是的平分线，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，即，∵，，∴，即，∵，∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及等腰三角形的性质，利用平角的性质得出是解题关键．16．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）如图，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是边AC上一点（D与A、C不重合），过点A作AE垂直AC，求满足AE=CD，联结DE交边AB于点F.（1）试判断△DBE的形状，并证明你的结论.（2）当点D在边AC上运动时，四边形ADBE的面积是否发生变化？若不变，求出四边形ADBE的面积；若改变，请说明理由.（3）当△BDF是等腰三角形时，请直接写出AD的长. 【答案】（1）△DBE是等腰直角三角形，证明见解析；（2）不变；2；（3）或2．【分析】（1）根据在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2可得出∠CAB=∠ACB=45°，再由AE⊥AC可得出∠EAC=90°，故可得出∠BAE=45°，由SAS定理可得出△CBD≌△ABE，故可得出BD=BE，由此可得出结论；（2）根据（1）中△CBD≌△ABE可知四边形ADBE的面积不变，再由三角形的面积公式即可得出结论；（3）分两种情况分别讨论即可求得．【详解】（1）△DBE是等腰直角三角形．理由：∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴∠CAB=∠ACB=45°．∵AE⊥AC，∴∠EAC=90°，∴∠BAE=45°．在△CBD与△ABE中，∵，∴△CBD≌△ABE（SAS），∴BD=BE，∠CBD=∠ABE，∵∠CBD+∠ABD=90°，∴∠ABE+∠ABD=90°，即∠BDE=90°，即△DBE是等腰直角三角形；（2）不变．∵由（1）知△CBD≌△ABE，∴S四边形ADBE=S△ABC=×2×2=2；（3）当BF=DF时，则∠BDE=∠FBD，∵△DBE是等腰直角三角形，∴∠BDE=45°，∴∠FBD=45°∴∠CBD=45°，∴∠CBD=∠ABD，∴AD=CD，∴AD=AC，∵AB=BC=2，∴AC=2∴AD=；当BD=DF时，∵△ABC是等腰直角三角形，△BDE是等腰直角三角形，∴∠C=∠CAB=45°，∠BDE=∠BED=45°，∴∠C=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠CBD=∠BDE+∠FDA，∴∠CDB=∠ADF，在△BCD和△DAF中∴△BCD≌△DAF（AAS），∴AD=BC=2．∴当△BDF是等腰三角形时，AD的长为或2．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.能力提升一、单选题1．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①新的四边形成为矩形，符合条件；②四边形是平行四边形，．．根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件；③四边形是平行四边形，．．．四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④，，即平行四边形的对角线互相垂直，新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键．2．（2020·上海浦东新区·八年级月考）菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．【详解】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C．【点睛】此题主要考查菱形的性质：四边相等．3．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，在中，是高，是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH 中正确的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正确；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正确．故选：C．【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．4．（2018·上海虹口区·八年级期末）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据菱形的面积公式，得出x、y的函数关系，再根据x的取值范围选出答案．【详解】∵菱形的面积S=∴，即y=其中，x＞0故选：C【点睛】本题考查菱形面积公式的应用，注意在求解出x、y的关系后，还需要判断x的取值范围．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A．110° B．115° C．120° D．130°【答案】B【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形沿对折后两部分重合，，∴∠3=∠2==65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．6．（2020·上海市甘泉外国语中学八年级期中）如图，正方形，边在轴的正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是______．【答案】【分析】令y＝1可得x＝2，即点A（2,1）根据正方形的性质可得点E的横坐标，待入解析式即可求得点E的纵坐标，继而根据正方形的性质可得点F的坐标．【详解】∵正方形，边在轴的正半轴上，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，CE＝CG＝EF＝GF，AB、CD、CE、FG⊥x轴，∵顶点，在直线令y＝1，则x＝2∴点A（2,1）∴点E的横坐标为3将x＝3代入直线，得∴点E、F的纵坐标是即∴点F的横坐标为即点F（，）故答案为：（，）【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及到正方形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握正方形的性质求得点A、E的坐标．7．（2020·上海浦东新区·八年级月考）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为_____cm2．【答案】25【分析】根据“和谐矩形”的性质求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AB＝BD＝5，AD＝AB＝5，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝5×5＝25（cm2）；故答案为：25．【点睛】本题考查了矩形的性质、新定义、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，斜边上的中线CD=1，AB+AC=2.5，则S△ABC =_________．【答案】【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质得到AB =2，求得AC=，利用勾股定理求得BC的长，即可求得答案．【详解】∵∠BCA=90°，斜边上的中线CD=1，∴AB=2CD=2，∵AB+AC=2.5，∴AC=，由勾股定理可得BC=，∴S△ABC = ．故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分别是中线，角平分线，高，则 和的大小关系：_________________【答案】相等【分析】根据角平分线的定义可得∠ACE=∠BCE，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得∠BCF=∠A，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，然后根据等边对等角的性质得到∠ACD=∠A，最后根据图形写出角的关系即可得证．【详解】证明：∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE=∠BCE．∵CF⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BCF=∠A（同角的余角相等）． ∵CD是AB边上的中线，∠ACB=90°， ∴AD=CD， ∴∠ACD=∠A（在同一个三角形中，等边对等角）， ∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠ACE-∠A， ∠FCE=∠BCE-∠BCF=∠ACE-∠A， ∴∠DCE = FCE． 故答案为：相等．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．10（2020·上海松江区·八年级期末）如图，已知在矩形中，点在边的延长线上，且，联结交于点，如果，那么的度数为__________．【答案】45°【分析】连接AC交BD于点O，由矩形的性质得出AC＝BD，OB＝OC，则∠OBC＝∠OCB，证出AC＝CE，则∠CAE＝∠E＝15°，由三角形的外角性质求出∠OBC＝∠OCB＝30°，再由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠CAE＝∠E＝15°，∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE＋∠E＝30°，∴∠AFB＝∠OBC＋∠E＝30°＋15°＝45°；故答案为：45°．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．11．（2020·上海浦东新区·八年级期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=3，AE=4，则正方形ODCE的边长等于_____．【答案】【分析】设正方形ODCE的边长为，则CD=CE=，根据全等三角形的性质得到AF=AE，BF=BD，根据勾股定理即可得到结论．【详解】设正方形ODCE的边长为，则CD=CE=，∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，∴AF=AE，BF=BD，∴AB=3+4=7， ∵，即，∴（舍去），，∴正方形ODCE的边长等于．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题12．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E．（1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标．【答案】（1）点E（3，4），过点E的反比例函数的解析式；（2）点D坐标（，）【分析】（1）由矩形的性质可得两对边分别相等，利用翻折的性质可得OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD，等量代换和等角对等边的性质可得OE＝BE，设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，利用勾股定理可得x的值，继而求得点E坐标，继而设反比例函数解析式，代入即可求解；（2）过点D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，利用三角形等积法求得，利用勾股定理求出，继而即可求解．【详解】（1）∵长方形OABC中，OA=8，OC=4，∠AOB＝∠CBO∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，由折叠的性质可得：OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD∴∠CBO＝∠BOD∴OE＝BE设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，在Rt△COE中，由勾股定理可得：即解得：∴点E（3，4）设过点E的反比例函数的解析式将点E（3，4）代入上式可得：∴故过点E的反比例函数的解析式（2）由（1）知，CE＝3，OE＝BE＝8－CE＝5，DE＝8－OE＝3，过点D作DF⊥BC，由翻折的性质可得∠BAO＝∠BDE＝90°∴解得：，∵在Rt△DEF中，，∴，∴，∴点D坐标（，）【点睛】本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、反比例函数解析式、等积法，解题的关键是学会做辅助线，求出关键线段的长．13．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；（3）（填空）在（2）中再增加条件 ．则四边形AFBD是正方形．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）∠BAC＝90°【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案；（3）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由为：由第一问证得的AF＝BD，且AF与BD平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD为平行四边形，若三角形ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝BD，且根据三线合一得到AD与BC垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形AFBD为正方形．【详解】（1）证明：∵点D是BC边的中点，点E是AD的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE∥BF，∴AD∥BF，∵AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）证明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°．∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形；（3）当△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°时，四边形AFBD是正方形，理由如下：∵四边形AFBD为平行四边形，又∵等腰直角三角形ABC，且D为BC的中点，∴AD＝BD，∠ADB＝90°，∴四边形AFBD为正方形．故答案为：∠BAC＝90°．【点睛】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键．14．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，在中，，AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG，点E、F分别是AB、CG的中点，且．（1）求证：；（2）若点E恰在射线CG上，求的度数．【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）根据直接爱哦三角形斜边中线的性质，得到，根据等角对等边得到，然后根据HL即可证明；（2）根据全等三角形的性质，得到，根据三角形外角的性质得到，再根据即可求解．【详解】（1）证明：AD是BC上的高，点E、F分别是AB、CG的中点，，，，，，AD是边BC上的高，，，在和中，，．（2），，，，．故．【点睛】本题考察了三角形外角的性质，三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是正确找到判定三角形全等的条件，注意判定两直角三角形全等可以用HL；此外，三角形外角的性质也是中考常考知识点，要熟练掌握．15．（2018·上海普陀区·八年级期末）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．【答案】（1）证明见解析；（2）①菱形BFEP的边长为cm；②点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝4cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝即可；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝4cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，DE＝＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，∴EP2＝12+（3﹣EP）2，解得：EP＝，∴菱形BFEP的边长为；②当点Q与点C重合时，如图2：点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，如图3所示：点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
第11讲 特殊的平行四边形（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海普陀区·八年级期中）如果顺次联结矩形各边中点，那么所围成的四边形一定是（ ）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形2．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点，连结，则线段的最小值为（ ）A． B． C． D．53．（2019·上海浦东新区·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）A．两条对角线相等的四边形是矩形；B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形；C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；D．两条对角线相等的梯形是等腰梯形4．（2019·上海市娄山中学八年级月考）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．内角和等于外角和 D．每一条对角线所在直线都是它的对称轴5．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．（2019·上海市南洋模范中学八年级月考）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到,若两个三角形重叠部分的面积为,则它移动的距离等于( ) A． B． C． D．二、填空题8．（2019·上海上外附中）判断：一条对角线平分一组对角且有一组对角都是直角的四边形是正方形（______）9．（2018·上海杨浦区·八年级月考）□ABCD中,若AB=BC,则ABCD是_______形.10．（2018·上海杨浦区·八年级月考）当一个任意平行四边形的一个锐角增大到90°时,它就变成了______形.11．（2018·上海闵行区·八年级月考）已知一个菱形的面积是,其中一条对角线长为4cm,则这个菱形的另一条对角线长为_________12．（2019·上海八年级课时练习）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，∠B＝60°，则AB＝_______cm．13．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，若CD＝BC，则∠A＝_____．14．（2019·上海八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．三、解答题15．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，中，，平分交于点，平分的外角，且．求证：四边形是矩形．16．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）如图，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是边AC上一点（D与A、C不重合），过点A作AE垂直AC，求满足AE=CD，联结DE交边AB于点F.（1）试判断△DBE的形状，并证明你的结论.（2）当点D在边AC上运动时，四边形ADBE的面积是否发生变化？若不变，求出四边形ADBE的面积；若改变，请说明理由.（3）当△BDF是等腰三角形时，请直接写出AD的长. 能力提升一、单选题1．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2020·上海浦东新区·八年级月考）菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°3．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，在中，是高，是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH 中正确的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．（2018·上海虹口区·八年级期末）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致（）．A． B．C． D．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A．110° B．115° C．120° D．130°6．（2020·上海市甘泉外国语中学八年级期中）如图，正方形，边在轴的正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是______．7．（2020·上海浦东新区·八年级月考）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为_____cm2．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，斜边上的中线CD=1，AB+AC=2.5，则S△ABC =_________．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分别是中线，角平分线，高，则 和的大小关系：_________________10（2020·上海松江区·八年级期末）如图，已知在矩形中，点在边的延长线上，且，联结交于点，如果，那么的度数为__________．11．（2020·上海浦东新区·八年级期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=3，AE=4，则正方形ODCE的边长等于_____．三、解答题12．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E．（1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标．13．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；（3）（填空）在（2）中再增加条件 ．则四边形AFBD是正方形．14．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，在中，，AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG，点E、F分别是AB、CG的中点，且．（1）求证：；（2）若点E恰在射线CG上，求的度数．15．（2018·上海普陀区·八年级期末）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离． 第11讲 特殊的平行四边形（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海普陀区·八年级期中）如果顺次联结矩形各边中点，那么所围成的四边形一定是（ ）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形【答案】A【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等可证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【详解】如图，连接对角线AC、BD， 在△ABD中， ∵AH=HD，AE=EB ∴EH=BD， 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC， 又∵在矩形ABCD中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形EFGH为菱形． 故选：A．【点睛】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．2．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点，连结，则线段的最小值为（ ）A． B． C． D．5【答案】B【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．【详解】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴PC的最小值为：，∴线段EF长的最小值为，故选：B．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．3．（2019·上海浦东新区·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）A．两条对角线相等的四边形是矩形；B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形；C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；D．两条对角线相等的梯形是等腰梯形【答案】D【分析】A、根据矩形的判定定理作出分析、判断； B、根据菱形的判定定理作出分析、判断； C、根据正方形的判定定理作出分析、判断； D、根据等腰梯形的判定定理作出分析、判断．【详解】解：A、两条对角线相等的四边形不一定是矩形．例如等腰梯形的两条对角线也相等；故本选项错误； B、两条对角线垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、两条对角线垂直且相等的四边形也可能是等腰梯形；故本选项错误； D、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，此说法正确；故本选项正确； 故选：D．【点睛】本题综合考查了等腰梯形、正方形菱形以及矩形的判定．解答该题时，需要牢记常见的四边形的性质．4．（2019·上海市娄山中学八年级月考）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．内角和等于外角和 D．每一条对角线所在直线都是它的对称轴【答案】D【分析】根据菱形和矩形的性质进行判断即可．【详解】A. 对边平行且相等，都具有；B. 对角线互相平分，都具有；C. 内角和等于外角和，都具有；D. 每一条对角线所在直线都是它的对称轴，菱形具有而矩形不一定具有；故答案为：D．【点睛】本题考查了菱形和矩形的问题，掌握菱形和矩形的性质是解题的关键．5．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形【答案】D【分析】由题意分别根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形进行分析即可．【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点睛】本题主要考查菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形、正方形是特殊的平行四边形是解题的关键．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】由已知条件可得AD=DB=CD，所以可得到，故可得出等于的角有多少个．【详解】，，D是AB的中点，AD=DB=CD，，是等边三角形，，．故选D．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，关键是根据斜边中线定理得到线段的等量关系，进而得到角的等量关系．7．（2019·上海市南洋模范中学八年级月考）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到,若两个三角形重叠部分的面积为,则它移动的距离等于( ) A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2−x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【详解】解：设AC交A′B′于H， ∵∠A＝45°，∠D＝90° ∴△A′HA是等腰直角三角形 设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2−x ∴x•(2−x)＝1 ∴x＝1 即AA′＝1cm． 故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．二、填空题8．（2019·上海上外附中）判断：一条对角线平分一组对角且有一组对角都是直角的四边形是正方形（______）【答案】错误【分析】根据题设画出反例图形即可.【详解】解：反例：如图，四边形的对角线平分一组对角，且，而四边形不是正方形，故该命题是假命题，故答案为：错误.【点睛】本题考查了正方形的判定定理，根据题设画出反例图形是解题的关键.9．（2018·上海杨浦区·八年级月考）□ABCD中,若AB=BC,则ABCD是_______形.【答案】菱【分析】根据菱形的判定可知，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故答案为菱形.【点睛】本题考查菱形的判定，熟记一组邻边相等的平行四边形是菱形是解决问题的关键．10．（2018·上海杨浦区·八年级月考）当一个任意平行四边形的一个锐角增大到90°时,它就变成了______形.【答案】矩【分析】根据平行线的性质可知，平行四边形两组对边互相平行，一个角为直角，则四个角都是直角，则可知其变成矩形．【详解】根据平行线的性质可知，因为平行四边形两组对边分别平行且相等，所以当一个锐角增加为90°时，四个角都是90°，可得其为矩形．【点睛】本题考查矩形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握矩形的判定及平行四边形的性质．11．（2018·上海闵行区·八年级月考）已知一个菱形的面积是,其中一条对角线长为4cm,则这个菱形的另一条对角线长为_________【答案】【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解．【详解】解：设菱形的另一条对角线长为x，由题意可得：，解得：，即这个菱形的另一条对角线长为，故答案为：.【点睛】本题考查了菱形的面积求法，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题关键．12．（2019·上海八年级课时练习）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，∠B＝60°，则AB＝_______cm．【答案】2【分析】过A作AE∥DC，可得到平行四边形AECD，从而可求得BE的长，由已知可得到△ABE是等边三角形，此时再求AB就不难求得了．【详解】等腰梯形ABCD中,AD∥BC,作AE∥DC,则四边形AECD是平行四边形,因而AB=AE,CE=AD,再由∠B=60°得到△ABE是等边三角形，AE=2cm，AB=2cm.【点睛】本题考查等腰梯形的性质，解题的关键是掌握等腰梯形的性质.13．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，若CD＝BC，则∠A＝_____．【答案】30°．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质和已知条件可以推知△BCD是等边三角形，则利用直角三角形两个锐角互余的性质来求∠A的度数．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴BD＝CD．又∵CD＝BC，∴CD＝BC＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线, 等边三角形的判定与性质，解题的关键是得出△BCD是等边三角形.14．（2019·上海八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．【答案】【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．所以△AOE≌△COE．设CE为x．则DE=AD-x，CD=AB=2．根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22，解得CE=13/6．三、解答题15．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，中，，平分交于点，平分的外角，且．求证：四边形是矩形．【分析】利用角平分线的性质以及平角的性质可得到，利用等腰三角形的性质得到，利用矩形的判定定理即可求解．【详解】如图：∵是的平分线，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，即，∵，，∴，即，∵，∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及等腰三角形的性质，利用平角的性质得出是解题关键．16．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）如图，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是边AC上一点（D与A、C不重合），过点A作AE垂直AC，求满足AE=CD，联结DE交边AB于点F.（1）试判断△DBE的形状，并证明你的结论.（2）当点D在边AC上运动时，四边形ADBE的面积是否发生变化？若不变，求出四边形ADBE的面积；若改变，请说明理由.（3）当△BDF是等腰三角形时，请直接写出AD的长. 【答案】（1）△DBE是等腰直角三角形，证明见解析；（2）不变；2；（3）或2．【分析】（1）根据在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2可得出∠CAB=∠ACB=45°，再由AE⊥AC可得出∠EAC=90°，故可得出∠BAE=45°，由SAS定理可得出△CBD≌△ABE，故可得出BD=BE，由此可得出结论；（2）根据（1）中△CBD≌△ABE可知四边形ADBE的面积不变，再由三角形的面积公式即可得出结论；（3）分两种情况分别讨论即可求得．【详解】（1）△DBE是等腰直角三角形．理由：∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴∠CAB=∠ACB=45°．∵AE⊥AC，∴∠EAC=90°，∴∠BAE=45°．在△CBD与△ABE中，∵，∴△CBD≌△ABE（SAS），∴BD=BE，∠CBD=∠ABE，∵∠CBD+∠ABD=90°，∴∠ABE+∠ABD=90°，即∠BDE=90°，即△DBE是等腰直角三角形；（2）不变．∵由（1）知△CBD≌△ABE，∴S四边形ADBE=S△ABC=×2×2=2；（3）当BF=DF时，则∠BDE=∠FBD，∵△DBE是等腰直角三角形，∴∠BDE=45°，∴∠FBD=45°∴∠CBD=45°，∴∠CBD=∠ABD，∴AD=CD，∴AD=AC，∵AB=BC=2，∴AC=2∴AD=；当BD=DF时，∵△ABC是等腰直角三角形，△BDE是等腰直角三角形，∴∠C=∠CAB=45°，∠BDE=∠BED=45°，∴∠C=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠CBD=∠BDE+∠FDA，∴∠CDB=∠ADF，在△BCD和△DAF中∴△BCD≌△DAF（AAS），∴AD=BC=2．∴当△BDF是等腰三角形时，AD的长为或2．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.能力提升一、单选题1．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①新的四边形成为矩形，符合条件；②四边形是平行四边形，．．根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件；③四边形是平行四边形，．．．四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④，，即平行四边形的对角线互相垂直，新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键．2．（2020·上海浦东新区·八年级月考）菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．【详解】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C．【点睛】此题主要考查菱形的性质：四边相等．3．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，在中，是高，是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH 中正确的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正确；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正确．故选：C．【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．4．（2018·上海虹口区·八年级期末）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据菱形的面积公式，得出x、y的函数关系，再根据x的取值范围选出答案．【详解】∵菱形的面积S=∴，即y=其中，x＞0故选：C【点睛】本题考查菱形面积公式的应用，注意在求解出x、y的关系后，还需要判断x的取值范围．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A．110° B．115° C．120° D．130°【答案】B【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形沿对折后两部分重合，，∴∠3=∠2==65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．6．（2020·上海市甘泉外国语中学八年级期中）如图，正方形，边在轴的正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是______．【答案】【分析】令y＝1可得x＝2，即点A（2,1）根据正方形的性质可得点E的横坐标，待入解析式即可求得点E的纵坐标，继而根据正方形的性质可得点F的坐标．【详解】∵正方形，边在轴的正半轴上，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，CE＝CG＝EF＝GF，AB、CD、CE、FG⊥x轴，∵顶点，在直线令y＝1，则x＝2∴点A（2,1）∴点E的横坐标为3将x＝3代入直线，得∴点E、F的纵坐标是即∴点F的横坐标为即点F（，）故答案为：（，）【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及到正方形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握正方形的性质求得点A、E的坐标．7．（2020·上海浦东新区·八年级月考）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为_____cm2．【答案】25【分析】根据“和谐矩形”的性质求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AB＝BD＝5，AD＝AB＝5，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝5×5＝25（cm2）；故答案为：25．【点睛】本题考查了矩形的性质、新定义、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，斜边上的中线CD=1，AB+AC=2.5，则S△ABC =_________．【答案】【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质得到AB =2，求得AC=，利用勾股定理求得BC的长，即可求得答案．【详解】∵∠BCA=90°，斜边上的中线CD=1，∴AB=2CD=2，∵AB+AC=2.5，∴AC=，由勾股定理可得BC=，∴S△ABC = ．故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分别是中线，角平分线，高，则 和的大小关系：_________________【答案】相等【分析】根据角平分线的定义可得∠ACE=∠BCE，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得∠BCF=∠A，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，然后根据等边对等角的性质得到∠ACD=∠A，最后根据图形写出角的关系即可得证．【详解】证明：∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE=∠BCE．∵CF⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BCF=∠A（同角的余角相等）． ∵CD是AB边上的中线，∠ACB=90°， ∴AD=CD， ∴∠ACD=∠A（在同一个三角形中，等边对等角）， ∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠ACE-∠A， ∠FCE=∠BCE-∠BCF=∠ACE-∠A， ∴∠DCE = FCE． 故答案为：相等．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．10（2020·上海松江区·八年级期末）如图，已知在矩形中，点在边的延长线上，且，联结交于点，如果，那么的度数为__________．【答案】45°【分析】连接AC交BD于点O，由矩形的性质得出AC＝BD，OB＝OC，则∠OBC＝∠OCB，证出AC＝CE，则∠CAE＝∠E＝15°，由三角形的外角性质求出∠OBC＝∠OCB＝30°，再由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠CAE＝∠E＝15°，∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE＋∠E＝30°，∴∠AFB＝∠OBC＋∠E＝30°＋15°＝45°；故答案为：45°．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．11．（2020·上海浦东新区·八年级期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=3，AE=4，则正方形ODCE的边长等于_____．【答案】【分析】设正方形ODCE的边长为，则CD=CE=，根据全等三角形的性质得到AF=AE，BF=BD，根据勾股定理即可得到结论．【详解】设正方形ODCE的边长为，则CD=CE=，∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，∴AF=AE，BF=BD，∴AB=3+4=7， ∵，即，∴（舍去），，∴正方形ODCE的边长等于．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题12．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E．（1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标．【答案】（1）点E（3，4），过点E的反比例函数的解析式；（2）点D坐标（，）【分析】（1）由矩形的性质可得两对边分别相等，利用翻折的性质可得OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD，等量代换和等角对等边的性质可得OE＝BE，设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，利用勾股定理可得x的值，继而求得点E坐标，继而设反比例函数解析式，代入即可求解；（2）过点D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，利用三角形等积法求得，利用勾股定理求出，继而即可求解．【详解】（1）∵长方形OABC中，OA=8，OC=4，∠AOB＝∠CBO∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，由折叠的性质可得：OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD∴∠CBO＝∠BOD∴OE＝BE设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，在Rt△COE中，由勾股定理可得：即解得：∴点E（3，4）设过点E的反比例函数的解析式将点E（3，4）代入上式可得：∴故过点E的反比例函数的解析式（2）由（1）知，CE＝3，OE＝BE＝8－CE＝5，DE＝8－OE＝3，过点D作DF⊥BC，由翻折的性质可得∠BAO＝∠BDE＝90°∴解得：，∵在Rt△DEF中，，∴，∴，∴点D坐标（，）【点睛】本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、反比例函数解析式、等积法，解题的关键是学会做辅助线，求出关键线段的长．13．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；（3）（填空）在（2）中再增加条件 ．则四边形AFBD是正方形．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）∠BAC＝90°【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案；（3）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由为：由第一问证得的AF＝BD，且AF与BD平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD为平行四边形，若三角形ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝BD，且根据三线合一得到AD与BC垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形AFBD为正方形．【详解】（1）证明：∵点D是BC边的中点，点E是AD的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE∥BF，∴AD∥BF，∵AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）证明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°．∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形；（3）当△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°时，四边形AFBD是正方形，理由如下：∵四边形AFBD为平行四边形，又∵等腰直角三角形ABC，且D为BC的中点，∴AD＝BD，∠ADB＝90°，∴四边形AFBD为正方形．故答案为：∠BAC＝90°．【点睛】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键．14．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，在中，，AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG，点E、F分别是AB、CG的中点，且．（1）求证：；（2）若点E恰在射线CG上，求的度数．【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）根据直接爱哦三角形斜边中线的性质，得到，根据等角对等边得到，然后根据HL即可证明；（2）根据全等三角形的性质，得到，根据三角形外角的性质得到，再根据即可求解．【详解】（1）证明：AD是BC上的高，点E、F分别是AB、CG的中点，，，，，，AD是边BC上的高，，，在和中，，．（2），，，，．故．【点睛】本题考察了三角形外角的性质，三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是正确找到判定三角形全等的条件，注意判定两直角三角形全等可以用HL；此外，三角形外角的性质也是中考常考知识点，要熟练掌握．15．（2018·上海普陀区·八年级期末）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．【答案】（1）证明见解析；（2）①菱形BFEP的边长为cm；②点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝4cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝即可；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝4cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，DE＝＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，∴EP2＝12+（3﹣EP）2，解得：EP＝，∴菱形BFEP的边长为；②当点Q与点C重合时，如图2：点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，如图3所示：点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
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