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沪教版八年级数学辅导讲义第14讲四边形的复习(练习)原卷版+解析
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这是一份沪教版八年级数学辅导讲义第14讲四边形的复习(练习)原卷版+解析，共45页。
第14讲 四边形的复习（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）在中，，过点作和的垂线，则这两条垂线的夹角为（ ）A． B． C． D．2．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（ ）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形3．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D．二、填空题4．（2020·上海八年级期中）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2=_______度．5．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，三角形纸片ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝___度．6．（2019·上海市西延安中学八年级期中）在□ABCD中，AB=2，BC=4，AC为对角线，且AB⊥AC，将ΔABC沿AC所在直线翻折后得ΔAEC，那么ΔAEC与□ABCD重叠部分的面积是__________．7．（2019·上海杨浦区·八年级期中）平行四边形ABCD中，∠A：∠B=2:7，则∠C=_________8．（2020·上海杨浦区·八年级期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么_________度．9．（2019·上海闵行区·八年级期末）已知的面积为27，如果，，那么的周长为__________．10．（2019·上海长宁区·八年级期末）两条对角线______的四边形是平行四边形.11．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，，，点，都在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，则的长__________.12．（2019·上海浦东新区·八年级期末）已知，在梯形中，，，，，那么下底的长为__________.13．（2019·上海长宁区·八年级期末）计算：______.三、解答题14．（2020·上海八年级期中）如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．15．（2019·上海上外附中）已知中，，，，求的面积．16．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，点是边的中点，设（1）试用向量表示向量，则 ；（2）在图中求作:.（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）能力提升一、单选题1．（2020·上海八年级期中）在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形应符合下列条件中的（ ）A．AB∥CD，BC＝AD B．AB＝CD，OA＝OCC．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，AC＝BD2．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列说法中正确的是（ ）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形D．正多边形都是中心对称图形3．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（ ）A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量二、填空题4．（2019·上海浦东新区·八年级期中）若一个多边形有9条对角线，那么这个多边形是_______________边形．5．（2019·上海杨浦区·八年级期中）如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是____度．6．（2019·上海上外附中）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．7．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．8．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有________条对角线．9．（2019·上海闵行区·八年级期末）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.10．（2020·上海八年级期中）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是A（0，0）、B（3，0）、D（1，），则顶点C的坐标是_____．11．（2020·上海八年级期中）已知▱ABCD的周长为18，如果边AB：BC＝1：2，那么CD的长为_____．12．（2020·上海八年级期中）平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠B＝60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_____．13．（2020·上海浦东新区·）已知平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若AB＝AE，则∠BAD＝_____度．14．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在直线上有两点，，以为边作正方形ABCD，联结BD，将BD绕着点B旋转，使点D落在直线上的点E处，那么__________．15．（2020·上海浦东新区·八年级期末）已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲同学的作业．①联结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②联结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，联结AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．如图，甲同学的作图依据是：_____．三、解答题16．（2019·上海浦东新区·八年级期中）在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少．17．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，已知，在中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．（1）求证：AF＝CE．（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证：．18．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，直角梯形ABCD的面积为10，AD=2，AB=4，点P是DC边上的动点，，垂足为E，设，的面积为．写出与之间的函数关系式，并指出函数的定义域，再画出这个函数的图象．19．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：；（2）过点D作于H点，如果BD平分，求证：．20．（2020·上海浦东新区·）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．21．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：（1）BE=FD；（2）EF与MN互相平分．22．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点，且．（1）求的度数：（2）求证：．23．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．24．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，点在平行四边形的对角线上，设，，．(1)用向量表示下列向量：向量_______；向量__________；(2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果)25．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图（1），中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点．（1）求证：；（2）联结、，猜想与之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角变为钝角，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 第14讲 四边形的复习（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）在中，，过点作和的垂线，则这两条垂线的夹角为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意作图，根据平行四边形的性质及内角和即可求解．【详解】如图，在中，，∴∠C=，∵AF⊥CF，AE⊥CE∴∠FAE=360°-90°-90°-43°=137°故选B．【点睛】此题主要考查平行四边形的角度求解，解题的关键是熟知平行四边形的性质．2．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（ ）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形【答案】A【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案．【详解】解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定是矩形也就不一定是平行四边形，故A选项错误，符合题意；B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形ABCD是矩形，故B选项正确，不符合题意；C、如果AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形，故C选项正确，不符合题意；D、如果AD∥BC，OA=OC，则可以证得四边形ABCD是平行四边形，又AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形，故D选项正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各图形的判定方法是解题的关键．3．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据点C是线段AB的中点，可以判断||=||，但它们的方向相反，继而即可得出答案．解：由题意得：||=||，且它们的方向相反，∴有=，故选C．二、填空题4．（2020·上海八年级期中）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2=_______度．【答案】240°【解析】∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°。∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°5．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，三角形纸片ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝___度．【答案】34【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，进而求得∠3+∠4，再四边形的内角和为360即可求得∠2的度数．【详解】解：如图，∵△ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，∴∠C=180°﹣75°﹣72°=33°，∴∠3+∠4=180°﹣33°=147°，∵∠A+∠B+∠2+∠4+∠3+∠1=360°，∠1=32°，∴∠2=360°﹣75°﹣72°﹣147°﹣32°=34°，故答案为：34°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、四边形的内角和，熟知四边形的内角和为360°是解答的关键．6．（2019·上海市西延安中学八年级期中）在□ABCD中，AB=2，BC=4，AC为对角线，且AB⊥AC，将ΔABC沿AC所在直线翻折后得ΔAEC，那么ΔAEC与□ABCD重叠部分的面积是__________．【答案】3.【分析】根据题意画图解题，由折叠特点可知△AEC≌△ABC，则AE=AB=2，SΔAEC=SΔABC ，设CE与AD相交于点,F，ΔAEC与□ABCD重叠部分为△AFC，由AE=AB，AD∥BC可得EF=CF，则SΔAFC=12SΔAEC ．【详解】解：如图，设CE与AD相交于点,F，∵将ΔABC沿AC所在直线翻折后得ΔAEC，∴△AEC≌△ABC，∴AE=AB=2，SΔAEC=SΔABC ，∵AB=2，BC=4，AB⊥AC，∴AC=23 ，SΔAEC=SΔABC=12AB⋅AC=23 ，∵▱ABCD ∴AD∥BC，∵AE=AB∴EF=CF，∴SΔAFC=12SΔAEC=3.故答案为：3.【点睛】本题考查翻折变换的性质、平行四边形的性质、、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，根据题意画出图形是关键．7．（2019·上海杨浦区·八年级期中）平行四边形ABCD中，∠A：∠B=2:7，则∠C=_________【答案】40【分析】根据平行四边形的性质进行求解即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°， 又∵∠A：∠B=2：7，∴∠A=40°，∴∠C=40°，故答案为：40.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键.8．（2020·上海杨浦区·八年级期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么_________度．【答案】45【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得，，又由，即可求得答案．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，．故答案为：45．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用．9．（2019·上海闵行区·八年级期末）已知的面积为27，如果，，那么的周长为__________．【答案】30【分析】过点A作交BC于点E，先根据含30°的直角三角形的性质得出，设，则，根据的面积为27建立方程求出x的值，进而可求出AB,CD的长度，最后利用周长公式求解即可．【详解】过点A作交BC于点E，∵，,． ∵，∴设，则． ∵的面积为27， ，即， 解得或（舍去），∴，∴的周长为． 故答案为：30．【点睛】本题主要考查含30°的直角三角形的性质及平行四边形的周长和面积，掌握含30°的直角三角形的性质并利用方程的思想是解题的关键．10．（2019·上海长宁区·八年级期末）两条对角线______的四边形是平行四边形.【答案】互相平分【分析】由“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．【详解】两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；故答案为：互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟记“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”是解题的关键．11．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，，，点，都在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，则的长__________.【答案】1【分析】证明△ABQ≌△EBQ，根据全等三角形的性质得到BE=AB=5，AQ=QE，同理可求CD=AC=7，AP=PD，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：在△ABQ和△EBQ中， ，∴△ABQ≌△EBQ（ASA），∴BE=AB=5，AQ=QE，同理可求CD=AC=7，AP=PD，∴DE=CD-CE=CD-（BC-BE）=2，∵AP=PD，AQ=QE，∴PQ=DE=1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．12．（2019·上海浦东新区·八年级期末）已知，在梯形中，，，，，那么下底的长为__________.【答案】11【分析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，得CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．【详解】解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=5，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+5=11，故答案为11.【点睛】此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．13．（2019·上海长宁区·八年级期末）计算：______.【答案】【分析】根据三角形法则依次进行计算即可得解．【详解】如图， ∵=，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量，主要利用了三角形法则求解，作出图形更形象直观并有助于对问题的理解．三、解答题14．（2020·上海八年级期中）如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠B=∠DCF，∵在△ABE和△DCF中，AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠BAE=∠CDF．15．（2019·上海上外附中）已知中，，，，求的面积．【答案】．【分析】先作出的高，根据已知条件利用含角的直角三角形的性质求得，进而根据平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：如图，过作交于点则在中，，∴∴．∴．∴．的面积为．故答案是：【点睛】本题考查了平行四边形的性质和面积公式、含角的直角三角形的性质，难度较小，添加辅助线高并求出其长度是解题的关键．16．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，点是边的中点，设（1）试用向量表示向量，则 ；（2）在图中求作:.（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）【答案】(1) ;(2)图见解析.【分析】（1）利用平行四边形的性质，三角形法则即可解决问题． （2）根据三角形法则解决问题即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵E是BC的中点， ∴BE=EC，∵，，.∴；（2）如图：，，向量，向量即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．能力提升一、单选题1．（2020·上海八年级期中）在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形应符合下列条件中的（ ）A．AB∥CD，BC＝AD B．AB＝CD，OA＝OCC．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，AC＝BD【答案】C【分析】根据平行四边形的判断对各选项进行判断即可．【详解】A、可能是等腰梯形，故本选项错误；B、根据已知不能推出符合判断平行四边形的条件AD＝BC或OB＝OD，故本选项错误；C、∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠ABO＝∠CDO，∵OA＝OC，∴△ABO≌△CDO，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据条件不能推出AD＝BC或AB∥CD，故本选项错误；故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键．2．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列说法中正确的是（ ）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形D．正多边形都是中心对称图形【答案】B【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据正方形的判定方法对B进行判断；根据矩形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定方法对C进行判断；根据中心对称图形的定义对D进行判断．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以B选项正确；C、顺次联结矩形各边中点所得四边形是菱形，所以C选项错误；D、边数为偶数的正多边形都是中心对称图形，所以D选项错误．故选B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（ ）A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量【答案】C【分析】根据等腰梯形的性质和共线平面向量的定义作答．【详解】解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意．B、由于||≠||，所以向量和向量不是相反向量，故本选项不符合题意．C、因为AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本选项符合题意．D、+＝2≠，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大小．二、填空题4．（2019·上海浦东新区·八年级期中）若一个多边形有9条对角线，那么这个多边形是_______________边形．【答案】六【分析】根据n边形共有条对角线列出方程，解方程即可．【详解】设多边形有n条边，则=9，解得n1=6，n2=-3（舍去），即这个多边形的边数为6．故答案为：六．【点睛】本题考查了多边形的对角线，这类根据多边形的对角线，求边数的问题一般都可以化为求一元二次方程的解的问题，求解中舍去不符合条件的解即可．5．（2019·上海杨浦区·八年级期中）如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是____度．【答案】540【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可得解．【详解】∵多边形从一个顶点出发可引出2条对角线，∴n﹣3＝2，解得：n＝5，∴内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．故答案为：540．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．6．（2019·上海上外附中）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．【答案】425试题解析：∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为425．7．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．【答案】10【分析】设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得，=144°，解得n=10．故答案为10．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．8．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有________条对角线．【答案】6【分析】设此多边形的边数为x，根据多边形内角和公式求出x的值，再计算对角线的条数即可.【详解】设此多边形的边数为x，由题意得：(x-2)×180=1260，解得；x=9，从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=6，故答案为6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，多边形的对角线，关键是掌握多边形的内角和公式180(n-2)，n边形的一个顶点有(n-3)条对角线.9．（2019·上海闵行区·八年级期末）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】8；【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8即该正多边形的边数是8．【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．10．（2020·上海八年级期中）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是A（0，0）、B（3，0）、D（1，），则顶点C的坐标是_____．【答案】C（5，）【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB的长，进而得出顶点C的坐标．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（0，0）、B（3，0）、∴DC＝AB=4，∵D（1，），∴C（5，）.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AB的长是解题关键．11．（2020·上海八年级期中）已知▱ABCD的周长为18，如果边AB：BC＝1：2，那么CD的长为_____．【答案】3【分析】直接利用平行四边形的性质得出邻边的关系得出AB的长进而得出答案．【详解】∵▱ABCD的周长为18，∴AB+BC＝9，∵AB：BC＝1：2，∴AB+2AB＝9，解得：AB＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．12．（2020·上海八年级期中）平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠B＝60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_____．【答案】【分析】由折叠特点可知△AFE≌△ABE，则∠F＝∠B＝60°，设CD与AF相交于点P，根据平行四边形的性质推出△CFP为等边三角形，△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是△AEF与△CFP的面积之差．【详解】如图，根据沿直线折叠特点，△AFE≌△ABE，∴∠F＝∠B＝60°，在△ABE中，∠B＝60°，AB＝4，则AE＝2，BE＝2，S△AFE＝S△ABE＝×2×2＝2，CF＝EF﹣EC＝BE﹣（BC﹣BE）＝1，∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，∴∠PCF＝∠B＝60°＝∠F，∴△CFP为等边三角形，底边CF＝EF﹣EC＝BE﹣（BC﹣BE）＝1，高为，∴S△CFP＝，∴S重叠＝S△AFE﹣S△CFP＝2﹣＝．故答案为：．【点睛】已知折叠问题就是已知图形的全等，考查学生对全等三角形性质的应用及三角形面积的求法．13．（2020·上海浦东新区·）已知平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若AB＝AE，则∠BAD＝_____度．【答案】120【分析】由平行四边形的性质和已知条件易证△ABE为等边三角形，则∠BAE＝60°，进而可求出∠BAD的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵AB＝AE，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠BAD＝2∠BAE＝120°，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定和性质，正确证明△ABE是等边三角形是解题关键．14．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在直线上有两点，，以为边作正方形ABCD，联结BD，将BD绕着点B旋转，使点D落在直线上的点E处，那么__________．【答案】或【分析】分两情况，当点在的延长线上，当点在的延长线上，由勾股定理求出的长，则可得出答案．【详解】解：如图1，当点在的延长线上，正方形中，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，，；如图2，当点在的延长线上，同理可得，．的长为或．故答案为：或．【点睛】此题考查了旋转的性质，勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．15．（2020·上海浦东新区·八年级期末）已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲同学的作业．①联结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②联结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，联结AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．如图，甲同学的作图依据是：_____．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解决问题即可．【详解】由作图可知，AM=MC，BM=MD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题16．（2019·上海浦东新区·八年级期中）在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少．【答案】，，，.【分析】先根据四边形ABCD的相对的两个内角互补，及已知求出∠A，从而得出∠C，∠B，∠D的度数．【详解】由设，，因为，得，解得，，，，因为，所以.【点睛】本题考查多边形的内角，解题关键是根据补角的定义及比例式找到相互间的关系．17．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，已知，在中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．（1）求证：AF＝CE．（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证：．【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）如图（见解析），先根据平行四边形的判定与性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得证．【详解】（1）点D是边AC的中点，，，，在和中，，，；（2）由（1）知，，，四边形AECF是平行四边形，，，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．18．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，直角梯形ABCD的面积为10，AD=2，AB=4，点P是DC边上的动点，，垂足为E，设，的面积为．写出与之间的函数关系式，并指出函数的定义域，再画出这个函数的图象．【答案】，图象见解析【分析】根据直角梯形的面积求出BC=3，得到y与x的函数关系式，过点D作DF⊥BC于F，证出四边形ABFD是矩形，得到DF=AB=4，求出x的取值范围；由函数解析式得到：该函数是正比例函数，计算当x=0时y=0，当x=4时y=6，得到函数图象是两点之间的一条线段.【详解】解：∵直角梯形ABCD的面积为10，AD=2，AB=4，∴直角梯形ABCD的面积=,解得BC=3,∴的面积，过点D作DF⊥BC于F，如图，则∠A=∠ABC=∠BFD=90°，∴四边形ABFD是矩形，∴DF=AB=4，∵点P是DC边上的动点，，∴，；由函数解析式得到：该函数是正比例函数，当x=0时y=0，当x=4时y=6，得到函数图象为：点（0，0）是空心，点（4，6）为实心，两点之间的一条线段.【点睛】此题考查直角梯形的性质，正比例函数的实际应用，画函数图象，正比例函数的性质，矩形的判定及性质.19．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：；（2）过点D作于H点，如果BD平分，求证：．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形“三线合一”，即可得到结论；（2）先证明DH∥BE，再证明BE垂直平分AC，即可得到结论．【详解】（1），点E是AC中点，∴DE=,BE=，∴DE=BE，∵点F是BD中点，∴；（2）∵BD平分，∴∠HDB=∠EDB，∵DE=BE，∴∠EDB=∠∠EBD，∴∠HDB=∠EBD，∴DH∥BE，∵，∴BE⊥AC，∵点E是AC中点，∴BE垂直平分AC，∴．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质定理以及中垂线的性质定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．20．（2020·上海浦东新区·）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）当0＜t＜3时，S＝﹣t2+t；（3）t的值为或24﹣12，点H坐标为（，）或（8﹣12，6）【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求直线AB的解析式；（2）先求出点E坐标，再利用三角形面积公式可求解；（3）分两种情况讨论，利用菱形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），∴OA＝BC＝6，OB＝AC＝2，∴点A（0，6），点B（2，0），设直线AB解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；（2）∵点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，∴AP＝BQ＝t，∴OP＝6﹣t，∵PE⊥AO，∴点E纵坐标为6﹣t，∴6﹣t＝﹣x+6，∴x＝t，∴点E（t，6﹣t），∴当0＜t＜3时，S＝×t（6﹣2t）＝﹣t2+t；（3）如图，当四边形EHBQ是菱形时，延长PE交BC于F，∵AB＝＝＝4，∴OB＝AB，∴∠BAO＝30°，∵AO∥BC，PE⊥AO，∴∠ABC＝∠BAO＝30°，PE⊥BC，∵四边形EHBQ是菱形，∴BQ＝EQ＝t，EH∥BQ，∴∠QEB＝∠EBQ＝30°，∴∠FEQ＝30°，∴FQ＝EQ＝t，∴BC＝t+t+t＝6，∴t＝，∴BQ＝＝EH，点E（，），∴点H（，）；如图，若四边形EHQB是菱形，延长PE交BC于F，∵四边形EHQB是菱形，∴BE＝BQ＝t，EH∥BQ，∵∠ABC＝30°，EF⊥BC，∴BE＝2EF，∴t＝2（2）∴t＝24﹣12，∴点E（8﹣12，12﹣18），∴点H（8﹣12，6）；综上所述：t的值为或24﹣12，点H坐标为（，）或（8﹣12，6）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式，一次函数的性质等知识；利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．21．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：（1）BE=FD；（2）EF与MN互相平分．【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS）可得结论．（2）连接EM，EN，NF，FM，证明ME=FN，FM=NE，推出四边形MENF是平行四边形即可解决问题．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）连接EM， EN，NF，FM．∵DN=BM，∠D=∠B，DF=BE，∴△BEM≌△DFN（SAS），∴ME=FN，同法可证FM=EN，∴四边形MENF是平行四边形，∴EF与MN互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点，且．（1）求的度数：（2）求证：．【答案】（1）；（2）见解析．【分析】（1）根据余角的性质得到∠ECF=∠CAF，求得∠CAD=2∠DCB，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=BD，推出∠CAB=2∠B，于是得到结论； （2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是斜边上的中线，，∴，∴，∴，∵，∴，（2）∵，∴，，∴，【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．23．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．【答案】（1）；（2）7【分析】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE=BD，CD=BE，求得AC=BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC=CE=6，求得CH=AE=3，根据梯形的面积公式即可得到结论； （2）如图2，连接DM并延长交AB于G，利用三角形中位线定理求得BG=2MN=4，全等三角形的性质得到CD=AG=3，即可得到结论．【详解】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，过点C作CH⊥AB于H，∵AB∥CD， ∴四边形DBEC是平行四边形， ∴CE=BD，CD=BE， ∵AC⊥BD， ∴AC⊥CE， ∵AD=BC，AB∥CD， ∴AC=BD， ∴AC=CE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AC=CE=6， ∴AE=，∴，∴梯形ABCD的面积；（2）如图2，连接DM并延长交AB于G，∵M、N分别是AC、BD的中点，∴MN是△DGB的中位线，∴BG=2MN=4，∵CD∥AB， ∴∠DCM=∠GAM， ∵M是对角线AC的中点， ∴AM=CM， ∵∠CMD=∠AMG， ∴△AMG≌△CMD（ASA）， ∴CD=AG=3，∴AB=AG+BG=3+4=7．【点睛】本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，点在平行四边形的对角线上，设，，．(1)用向量表示下列向量：向量_______；向量__________；(2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果)【答案】(1) ，；(2)见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则即可解决问题．（2）如图，作CF∥DE，且CF＝DE，连接DF，则即为所求．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴，；故答案为：，；（2）如图，即为所求．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．25．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图（1），中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点．（1）求证：；（2）联结、，猜想与之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角变为钝角，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2），证明详见解析；（3）结论（1）成立；结论（2）不成立，理由详见解析.【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=BC，ME=BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．【详解】（1）如图，连接、，∵、分别是、边上的高，是的中点，∴，，∴，又为中点，∴；（2）在中，，∵，∴，∴；（3）结论（1）成立；结论（2）不成立，理由如下：在中，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
第14讲 四边形的复习（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）在中，，过点作和的垂线，则这两条垂线的夹角为（ ）A． B． C． D．2．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（ ）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形3．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D．二、填空题4．（2020·上海八年级期中）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2=_______度．5．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，三角形纸片ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝___度．6．（2019·上海市西延安中学八年级期中）在□ABCD中，AB=2，BC=4，AC为对角线，且AB⊥AC，将ΔABC沿AC所在直线翻折后得ΔAEC，那么ΔAEC与□ABCD重叠部分的面积是__________．7．（2019·上海杨浦区·八年级期中）平行四边形ABCD中，∠A：∠B=2:7，则∠C=_________8．（2020·上海杨浦区·八年级期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么_________度．9．（2019·上海闵行区·八年级期末）已知的面积为27，如果，，那么的周长为__________．10．（2019·上海长宁区·八年级期末）两条对角线______的四边形是平行四边形.11．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，，，点，都在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，则的长__________.12．（2019·上海浦东新区·八年级期末）已知，在梯形中，，，，，那么下底的长为__________.13．（2019·上海长宁区·八年级期末）计算：______.三、解答题14．（2020·上海八年级期中）如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．15．（2019·上海上外附中）已知中，，，，求的面积．16．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，点是边的中点，设（1）试用向量表示向量，则 ；（2）在图中求作:.（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）能力提升一、单选题1．（2020·上海八年级期中）在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形应符合下列条件中的（ ）A．AB∥CD，BC＝AD B．AB＝CD，OA＝OCC．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，AC＝BD2．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列说法中正确的是（ ）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形D．正多边形都是中心对称图形3．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（ ）A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量二、填空题4．（2019·上海浦东新区·八年级期中）若一个多边形有9条对角线，那么这个多边形是_______________边形．5．（2019·上海杨浦区·八年级期中）如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是____度．6．（2019·上海上外附中）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．7．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．8．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有________条对角线．9．（2019·上海闵行区·八年级期末）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.10．（2020·上海八年级期中）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是A（0，0）、B（3，0）、D（1，），则顶点C的坐标是_____．11．（2020·上海八年级期中）已知▱ABCD的周长为18，如果边AB：BC＝1：2，那么CD的长为_____．12．（2020·上海八年级期中）平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠B＝60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_____．13．（2020·上海浦东新区·）已知平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若AB＝AE，则∠BAD＝_____度．14．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在直线上有两点，，以为边作正方形ABCD，联结BD，将BD绕着点B旋转，使点D落在直线上的点E处，那么__________．15．（2020·上海浦东新区·八年级期末）已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲同学的作业．①联结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②联结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，联结AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．如图，甲同学的作图依据是：_____．三、解答题16．（2019·上海浦东新区·八年级期中）在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少．17．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，已知，在中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．（1）求证：AF＝CE．（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证：．18．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，直角梯形ABCD的面积为10，AD=2，AB=4，点P是DC边上的动点，，垂足为E，设，的面积为．写出与之间的函数关系式，并指出函数的定义域，再画出这个函数的图象．19．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：；（2）过点D作于H点，如果BD平分，求证：．20．（2020·上海浦东新区·）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．21．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：（1）BE=FD；（2）EF与MN互相平分．22．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点，且．（1）求的度数：（2）求证：．23．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．24．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，点在平行四边形的对角线上，设，，．(1)用向量表示下列向量：向量_______；向量__________；(2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果)25．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图（1），中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点．（1）求证：；（2）联结、，猜想与之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角变为钝角，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 第14讲 四边形的复习（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）在中，，过点作和的垂线，则这两条垂线的夹角为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意作图，根据平行四边形的性质及内角和即可求解．【详解】如图，在中，，∴∠C=，∵AF⊥CF，AE⊥CE∴∠FAE=360°-90°-90°-43°=137°故选B．【点睛】此题主要考查平行四边形的角度求解，解题的关键是熟知平行四边形的性质．2．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（ ）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形【答案】A【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案．【详解】解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定是矩形也就不一定是平行四边形，故A选项错误，符合题意；B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形ABCD是矩形，故B选项正确，不符合题意；C、如果AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形，故C选项正确，不符合题意；D、如果AD∥BC，OA=OC，则可以证得四边形ABCD是平行四边形，又AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形，故D选项正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各图形的判定方法是解题的关键．3．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据点C是线段AB的中点，可以判断||=||，但它们的方向相反，继而即可得出答案．解：由题意得：||=||，且它们的方向相反，∴有=，故选C．二、填空题4．（2020·上海八年级期中）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2=_______度．【答案】240°【解析】∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°。∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°5．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，三角形纸片ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝___度．【答案】34【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，进而求得∠3+∠4，再四边形的内角和为360即可求得∠2的度数．【详解】解：如图，∵△ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，∴∠C=180°﹣75°﹣72°=33°，∴∠3+∠4=180°﹣33°=147°，∵∠A+∠B+∠2+∠4+∠3+∠1=360°，∠1=32°，∴∠2=360°﹣75°﹣72°﹣147°﹣32°=34°，故答案为：34°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、四边形的内角和，熟知四边形的内角和为360°是解答的关键．6．（2019·上海市西延安中学八年级期中）在□ABCD中，AB=2，BC=4，AC为对角线，且AB⊥AC，将ΔABC沿AC所在直线翻折后得ΔAEC，那么ΔAEC与□ABCD重叠部分的面积是__________．【答案】3.【分析】根据题意画图解题，由折叠特点可知△AEC≌△ABC，则AE=AB=2，SΔAEC=SΔABC ，设CE与AD相交于点,F，ΔAEC与□ABCD重叠部分为△AFC，由AE=AB，AD∥BC可得EF=CF，则SΔAFC=12SΔAEC ．【详解】解：如图，设CE与AD相交于点,F，∵将ΔABC沿AC所在直线翻折后得ΔAEC，∴△AEC≌△ABC，∴AE=AB=2，SΔAEC=SΔABC ，∵AB=2，BC=4，AB⊥AC，∴AC=23 ，SΔAEC=SΔABC=12AB⋅AC=23 ，∵▱ABCD ∴AD∥BC，∵AE=AB∴EF=CF，∴SΔAFC=12SΔAEC=3.故答案为：3.【点睛】本题考查翻折变换的性质、平行四边形的性质、、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，根据题意画出图形是关键．7．（2019·上海杨浦区·八年级期中）平行四边形ABCD中，∠A：∠B=2:7，则∠C=_________【答案】40【分析】根据平行四边形的性质进行求解即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°， 又∵∠A：∠B=2：7，∴∠A=40°，∴∠C=40°，故答案为：40.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键.8．（2020·上海杨浦区·八年级期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么_________度．【答案】45【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得，，又由，即可求得答案．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，．故答案为：45．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用．9．（2019·上海闵行区·八年级期末）已知的面积为27，如果，，那么的周长为__________．【答案】30【分析】过点A作交BC于点E，先根据含30°的直角三角形的性质得出，设，则，根据的面积为27建立方程求出x的值，进而可求出AB,CD的长度，最后利用周长公式求解即可．【详解】过点A作交BC于点E，∵，,． ∵，∴设，则． ∵的面积为27， ，即， 解得或（舍去），∴，∴的周长为． 故答案为：30．【点睛】本题主要考查含30°的直角三角形的性质及平行四边形的周长和面积，掌握含30°的直角三角形的性质并利用方程的思想是解题的关键．10．（2019·上海长宁区·八年级期末）两条对角线______的四边形是平行四边形.【答案】互相平分【分析】由“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．【详解】两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；故答案为：互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟记“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”是解题的关键．11．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，，，点，都在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，则的长__________.【答案】1【分析】证明△ABQ≌△EBQ，根据全等三角形的性质得到BE=AB=5，AQ=QE，同理可求CD=AC=7，AP=PD，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：在△ABQ和△EBQ中， ，∴△ABQ≌△EBQ（ASA），∴BE=AB=5，AQ=QE，同理可求CD=AC=7，AP=PD，∴DE=CD-CE=CD-（BC-BE）=2，∵AP=PD，AQ=QE，∴PQ=DE=1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．12．（2019·上海浦东新区·八年级期末）已知，在梯形中，，，，，那么下底的长为__________.【答案】11【分析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，得CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．【详解】解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=5，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+5=11，故答案为11.【点睛】此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．13．（2019·上海长宁区·八年级期末）计算：______.【答案】【分析】根据三角形法则依次进行计算即可得解．【详解】如图， ∵=，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量，主要利用了三角形法则求解，作出图形更形象直观并有助于对问题的理解．三、解答题14．（2020·上海八年级期中）如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠B=∠DCF，∵在△ABE和△DCF中，AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠BAE=∠CDF．15．（2019·上海上外附中）已知中，，，，求的面积．【答案】．【分析】先作出的高，根据已知条件利用含角的直角三角形的性质求得，进而根据平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：如图，过作交于点则在中，，∴∴．∴．∴．的面积为．故答案是：【点睛】本题考查了平行四边形的性质和面积公式、含角的直角三角形的性质，难度较小，添加辅助线高并求出其长度是解题的关键．16．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，点是边的中点，设（1）试用向量表示向量，则 ；（2）在图中求作:.（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）【答案】(1) ;(2)图见解析.【分析】（1）利用平行四边形的性质，三角形法则即可解决问题． （2）根据三角形法则解决问题即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵E是BC的中点， ∴BE=EC，∵，，.∴；（2）如图：，，向量，向量即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．能力提升一、单选题1．（2020·上海八年级期中）在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形应符合下列条件中的（ ）A．AB∥CD，BC＝AD B．AB＝CD，OA＝OCC．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，AC＝BD【答案】C【分析】根据平行四边形的判断对各选项进行判断即可．【详解】A、可能是等腰梯形，故本选项错误；B、根据已知不能推出符合判断平行四边形的条件AD＝BC或OB＝OD，故本选项错误；C、∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠ABO＝∠CDO，∵OA＝OC，∴△ABO≌△CDO，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据条件不能推出AD＝BC或AB∥CD，故本选项错误；故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键．2．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列说法中正确的是（ ）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形D．正多边形都是中心对称图形【答案】B【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据正方形的判定方法对B进行判断；根据矩形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定方法对C进行判断；根据中心对称图形的定义对D进行判断．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以B选项正确；C、顺次联结矩形各边中点所得四边形是菱形，所以C选项错误；D、边数为偶数的正多边形都是中心对称图形，所以D选项错误．故选B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（ ）A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量【答案】C【分析】根据等腰梯形的性质和共线平面向量的定义作答．【详解】解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意．B、由于||≠||，所以向量和向量不是相反向量，故本选项不符合题意．C、因为AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本选项符合题意．D、+＝2≠，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大小．二、填空题4．（2019·上海浦东新区·八年级期中）若一个多边形有9条对角线，那么这个多边形是_______________边形．【答案】六【分析】根据n边形共有条对角线列出方程，解方程即可．【详解】设多边形有n条边，则=9，解得n1=6，n2=-3（舍去），即这个多边形的边数为6．故答案为：六．【点睛】本题考查了多边形的对角线，这类根据多边形的对角线，求边数的问题一般都可以化为求一元二次方程的解的问题，求解中舍去不符合条件的解即可．5．（2019·上海杨浦区·八年级期中）如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是____度．【答案】540【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可得解．【详解】∵多边形从一个顶点出发可引出2条对角线，∴n﹣3＝2，解得：n＝5，∴内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．故答案为：540．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．6．（2019·上海上外附中）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．【答案】425试题解析：∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为425．7．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．【答案】10【分析】设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得，=144°，解得n=10．故答案为10．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．8．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有________条对角线．【答案】6【分析】设此多边形的边数为x，根据多边形内角和公式求出x的值，再计算对角线的条数即可.【详解】设此多边形的边数为x，由题意得：(x-2)×180=1260，解得；x=9，从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=6，故答案为6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，多边形的对角线，关键是掌握多边形的内角和公式180(n-2)，n边形的一个顶点有(n-3)条对角线.9．（2019·上海闵行区·八年级期末）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】8；【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8即该正多边形的边数是8．【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．10．（2020·上海八年级期中）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是A（0，0）、B（3，0）、D（1，），则顶点C的坐标是_____．【答案】C（5，）【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB的长，进而得出顶点C的坐标．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（0，0）、B（3，0）、∴DC＝AB=4，∵D（1，），∴C（5，）.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AB的长是解题关键．11．（2020·上海八年级期中）已知▱ABCD的周长为18，如果边AB：BC＝1：2，那么CD的长为_____．【答案】3【分析】直接利用平行四边形的性质得出邻边的关系得出AB的长进而得出答案．【详解】∵▱ABCD的周长为18，∴AB+BC＝9，∵AB：BC＝1：2，∴AB+2AB＝9，解得：AB＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．12．（2020·上海八年级期中）平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠B＝60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_____．【答案】【分析】由折叠特点可知△AFE≌△ABE，则∠F＝∠B＝60°，设CD与AF相交于点P，根据平行四边形的性质推出△CFP为等边三角形，△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是△AEF与△CFP的面积之差．【详解】如图，根据沿直线折叠特点，△AFE≌△ABE，∴∠F＝∠B＝60°，在△ABE中，∠B＝60°，AB＝4，则AE＝2，BE＝2，S△AFE＝S△ABE＝×2×2＝2，CF＝EF﹣EC＝BE﹣（BC﹣BE）＝1，∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，∴∠PCF＝∠B＝60°＝∠F，∴△CFP为等边三角形，底边CF＝EF﹣EC＝BE﹣（BC﹣BE）＝1，高为，∴S△CFP＝，∴S重叠＝S△AFE﹣S△CFP＝2﹣＝．故答案为：．【点睛】已知折叠问题就是已知图形的全等，考查学生对全等三角形性质的应用及三角形面积的求法．13．（2020·上海浦东新区·）已知平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若AB＝AE，则∠BAD＝_____度．【答案】120【分析】由平行四边形的性质和已知条件易证△ABE为等边三角形，则∠BAE＝60°，进而可求出∠BAD的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵AB＝AE，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠BAD＝2∠BAE＝120°，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定和性质，正确证明△ABE是等边三角形是解题关键．14．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在直线上有两点，，以为边作正方形ABCD，联结BD，将BD绕着点B旋转，使点D落在直线上的点E处，那么__________．【答案】或【分析】分两情况，当点在的延长线上，当点在的延长线上，由勾股定理求出的长，则可得出答案．【详解】解：如图1，当点在的延长线上，正方形中，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，，；如图2，当点在的延长线上，同理可得，．的长为或．故答案为：或．【点睛】此题考查了旋转的性质，勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．15．（2020·上海浦东新区·八年级期末）已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲同学的作业．①联结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②联结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，联结AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．如图，甲同学的作图依据是：_____．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解决问题即可．【详解】由作图可知，AM=MC，BM=MD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题16．（2019·上海浦东新区·八年级期中）在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少．【答案】，，，.【分析】先根据四边形ABCD的相对的两个内角互补，及已知求出∠A，从而得出∠C，∠B，∠D的度数．【详解】由设，，因为，得，解得，，，，因为，所以.【点睛】本题考查多边形的内角，解题关键是根据补角的定义及比例式找到相互间的关系．17．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，已知，在中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．（1）求证：AF＝CE．（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证：．【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）如图（见解析），先根据平行四边形的判定与性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得证．【详解】（1）点D是边AC的中点，，，，在和中，，，；（2）由（1）知，，，四边形AECF是平行四边形，，，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．18．（2020·青浦区实验中学八年级期中）如图，直角梯形ABCD的面积为10，AD=2，AB=4，点P是DC边上的动点，，垂足为E，设，的面积为．写出与之间的函数关系式，并指出函数的定义域，再画出这个函数的图象．【答案】，图象见解析【分析】根据直角梯形的面积求出BC=3，得到y与x的函数关系式，过点D作DF⊥BC于F，证出四边形ABFD是矩形，得到DF=AB=4，求出x的取值范围；由函数解析式得到：该函数是正比例函数，计算当x=0时y=0，当x=4时y=6，得到函数图象是两点之间的一条线段.【详解】解：∵直角梯形ABCD的面积为10，AD=2，AB=4，∴直角梯形ABCD的面积=,解得BC=3,∴的面积，过点D作DF⊥BC于F，如图，则∠A=∠ABC=∠BFD=90°，∴四边形ABFD是矩形，∴DF=AB=4，∵点P是DC边上的动点，，∴，；由函数解析式得到：该函数是正比例函数，当x=0时y=0，当x=4时y=6，得到函数图象为：点（0，0）是空心，点（4，6）为实心，两点之间的一条线段.【点睛】此题考查直角梯形的性质，正比例函数的实际应用，画函数图象，正比例函数的性质，矩形的判定及性质.19．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：；（2）过点D作于H点，如果BD平分，求证：．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形“三线合一”，即可得到结论；（2）先证明DH∥BE，再证明BE垂直平分AC，即可得到结论．【详解】（1），点E是AC中点，∴DE=,BE=，∴DE=BE，∵点F是BD中点，∴；（2）∵BD平分，∴∠HDB=∠EDB，∵DE=BE，∴∠EDB=∠∠EBD，∴∠HDB=∠EBD，∴DH∥BE，∵，∴BE⊥AC，∵点E是AC中点，∴BE垂直平分AC，∴．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质定理以及中垂线的性质定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．20．（2020·上海浦东新区·）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）当0＜t＜3时，S＝﹣t2+t；（3）t的值为或24﹣12，点H坐标为（，）或（8﹣12，6）【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求直线AB的解析式；（2）先求出点E坐标，再利用三角形面积公式可求解；（3）分两种情况讨论，利用菱形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），∴OA＝BC＝6，OB＝AC＝2，∴点A（0，6），点B（2，0），设直线AB解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；（2）∵点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，∴AP＝BQ＝t，∴OP＝6﹣t，∵PE⊥AO，∴点E纵坐标为6﹣t，∴6﹣t＝﹣x+6，∴x＝t，∴点E（t，6﹣t），∴当0＜t＜3时，S＝×t（6﹣2t）＝﹣t2+t；（3）如图，当四边形EHBQ是菱形时，延长PE交BC于F，∵AB＝＝＝4，∴OB＝AB，∴∠BAO＝30°，∵AO∥BC，PE⊥AO，∴∠ABC＝∠BAO＝30°，PE⊥BC，∵四边形EHBQ是菱形，∴BQ＝EQ＝t，EH∥BQ，∴∠QEB＝∠EBQ＝30°，∴∠FEQ＝30°，∴FQ＝EQ＝t，∴BC＝t+t+t＝6，∴t＝，∴BQ＝＝EH，点E（，），∴点H（，）；如图，若四边形EHQB是菱形，延长PE交BC于F，∵四边形EHQB是菱形，∴BE＝BQ＝t，EH∥BQ，∵∠ABC＝30°，EF⊥BC，∴BE＝2EF，∴t＝2（2）∴t＝24﹣12，∴点E（8﹣12，12﹣18），∴点H（8﹣12，6）；综上所述：t的值为或24﹣12，点H坐标为（，）或（8﹣12，6）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式，一次函数的性质等知识；利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．21．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：（1）BE=FD；（2）EF与MN互相平分．【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS）可得结论．（2）连接EM，EN，NF，FM，证明ME=FN，FM=NE，推出四边形MENF是平行四边形即可解决问题．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）连接EM， EN，NF，FM．∵DN=BM，∠D=∠B，DF=BE，∴△BEM≌△DFN（SAS），∴ME=FN，同法可证FM=EN，∴四边形MENF是平行四边形，∴EF与MN互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点，且．（1）求的度数：（2）求证：．【答案】（1）；（2）见解析．【分析】（1）根据余角的性质得到∠ECF=∠CAF，求得∠CAD=2∠DCB，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=BD，推出∠CAB=2∠B，于是得到结论； （2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是斜边上的中线，，∴，∴，∴，∵，∴，（2）∵，∴，，∴，【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．23．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．【答案】（1）；（2）7【分析】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE=BD，CD=BE，求得AC=BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC=CE=6，求得CH=AE=3，根据梯形的面积公式即可得到结论； （2）如图2，连接DM并延长交AB于G，利用三角形中位线定理求得BG=2MN=4，全等三角形的性质得到CD=AG=3，即可得到结论．【详解】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，过点C作CH⊥AB于H，∵AB∥CD， ∴四边形DBEC是平行四边形， ∴CE=BD，CD=BE， ∵AC⊥BD， ∴AC⊥CE， ∵AD=BC，AB∥CD， ∴AC=BD， ∴AC=CE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AC=CE=6， ∴AE=，∴，∴梯形ABCD的面积；（2）如图2，连接DM并延长交AB于G，∵M、N分别是AC、BD的中点，∴MN是△DGB的中位线，∴BG=2MN=4，∵CD∥AB， ∴∠DCM=∠GAM， ∵M是对角线AC的中点， ∴AM=CM， ∵∠CMD=∠AMG， ∴△AMG≌△CMD（ASA）， ∴CD=AG=3，∴AB=AG+BG=3+4=7．【点睛】本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，点在平行四边形的对角线上，设，，．(1)用向量表示下列向量：向量_______；向量__________；(2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果)【答案】(1) ，；(2)见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则即可解决问题．（2）如图，作CF∥DE，且CF＝DE，连接DF，则即为所求．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴，；故答案为：，；（2）如图，即为所求．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．25．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图（1），中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点．（1）求证：；（2）联结、，猜想与之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角变为钝角，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2），证明详见解析；（3）结论（1）成立；结论（2）不成立，理由详见解析.【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=BC，ME=BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．【详解】（1）如图，连接、，∵、分别是、边上的高，是的中点，∴，，∴，又为中点，∴；（2）在中，，∵，∴，∴；（3）结论（1）成立；结论（2）不成立，理由如下：在中，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
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