2023-2024学年江苏省苏州市七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. a23=a6B. a⋅a3=a3
C. a+2a2=3a3D. −2a2b2=−4a4b2
2.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定CD/​/AB的是
( )
A. ∠1=∠4B. ∠2=∠3
C. ∠5=∠BD. ∠DCB+∠B=180∘
3.线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a=2，b=5，则c的长度可以是
( )
A. 2B. 3C. 4D. 8
4.已知a=−130，b=−122，c=−1−3，那么a、b、c的大小关系为( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. c>a>b
5.如图，在三角形纸片∠A=90∘，∠B=65∘，现将该纸片沿DE折叠，使点A、B分别落在点A′、B′处．其中，点B′在纸片的内部，点D、E分别在边AC、BC上．若∠B′EC=15∘，则∠A′DC等于
( )
A. 55∘B. 60∘C. 65∘D. 70∘
6.如图，在▵ABC中，点D是边BC的中点，CE=14AC，▵ABC的面积是4，则下列结论正确的是
( )
A. S1=S2B. S1=2C. S2=0.5D. S1−S2=1
7.如图，已知AB//DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA=46∘，∠ACD=56∘，则∠CDF的度数为
( )
A. 22∘B. 33∘C. 44∘D. 55∘
8.如图，∠ABC=∠ACB，BD，CD，AD分别平分▵ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC.以下结论：①AD//BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠BDC=12∠BAC；④∠ADB=45∘−12∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD=90∘.其中正确的结论有
( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，数据0.00105用科学记数法表示为 ．
10.若一个三角形两条边的长分别是2，4，第三条边的长是整数，则该三角形周长的最大值是 ．
11.如图，AB//CD，点E、F在AC上．若∠B+∠D=70∘，则∠1+∠2= ∘．
12.已知xm=3，xn=9，则x3m−n的值为 ．
13.如图，将▵ABC沿BC方向平移到▵DEF(B、E、F在同一条直线上)，若∠B=46∘，AC与DE相交于点G，∠AGD和∠DFB的平分线GP、FP相交于点P，则∠P= ∘．
14.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果∠A=52∘,∠B=25∘,∠C=30∘,∠D=35∘,∠E=72∘，那么∠F= ∘．
15.定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”.若▵ABC是“倍角三角形”，∠A=96∘，∠B>∠C，则∠B= 度．
16.如图，在▵ABC中，∠F=16∘，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A= ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)12−2−π−10+−32
(2)m3⋅2m−−2m22+m5÷m
18.(本小题8分)
已知ax=5，ay=6，求
(1)a2x+y；
(2)a3x−2y
19.(本小题8分)
阅读材料，完成问题．如果ac=b，则a,b=c.例如：32=9，则3,9=2．
(1)填空：4,64=______，−2,1=______，−3,−127=______；
(2)试说明5,3+5,7=5,21．
20.(本小题8分)
在如图所示的方格纸中，小正方形的顶点叫做格点，已知直线AB经过格点A、B，点P为直线AB外一个格点．
(1)仅用无刻度的直尺，过点P作AB的平行线PC、过点P作AB的垂线PD，垂足为E(其中C、D为格点)：
(2)线段PE的长度是点P到直线______的距离，线段______的长度是点A到直线PE的距离；
(3)连接PA、PB，若图中每个小正方形的边长是1，则三角形PAB的面积是______．
21.(本小题8分)
已知：如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，∠GFH+∠BHC=180∘．

(1)证明：∠1=∠2；
(2)若∠A=55∘，∠ABC=80∘，求∠FGC．
22.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．

(1)当AD为边BC上的中线时，若AE=6，▵ABC的面积为30，求CD的长；
(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66∘,∠B=36∘，求∠DAE的度数．
23.(本小题8分)
观察下列运算过程：
22=2×2=4，12−2=1122=114=4
342=34×34，43−2=1432=143×43=34×34⋅⋅⋅
(1)根据以上运算过程和结果，我们发现：22=______；342=______；
(2)仿照(1)中的规律，判断353与53−3的大小关系；
(3)求−34−3×323÷12−2的值．
24.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，∠B=∠C,点D在线段BC上，∠ADE=∠AED．

(1)若∠B=∠C=70∘，∠ADE=∠AED=85∘，求∠BAD的度数；
(2)探索∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
25.(本小题8分)
已知点D、E分别是▵ABC的边AC,BC上的任意一点，将▵ABC的一角∠ACB折叠，使点C落在点P的位置，折痕为DE．
(1)当点C落在▵ABC内的点P的位置时．

①如图1，若PD// BC，求证：PE//AC．
②如图2，∠1、∠2与∠C之间的数量为______；
(2)当点C落在▵ABC外的点P的位置时，若PE⊥BC，

①如图3，请探究∠1与∠C的数量关系为______；
②如图4，连接AP，若AP//BC，∠PAC=4∠1，则∠CDE=______ ∘．
(3)若∠C=α∘(0<α<90)，在折叠过程中，当直线PE⊥AC时，∠CDE的度数为______.(自己画图作答)
26.(本小题8分)
如图①，在▵ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

(1)如果∠A=80∘，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作▵ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，▵BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
27.(本小题8分)
在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】
如图(1)，若∠MON=90∘，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D.则∠D= °
(2)【问题推广】
①如图(2)，若∠MON=α(0∘<α<180∘)，(1)中的其余条件不变，则∠D= °(用含α的代数式表示)
②如图(2)，∠MON=α(0∘<α<180∘)，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，点E是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D=12α，则AE是▵OAB的角平分线吗？请说明理由；
(3)【拓展提升】
如图(3)，若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系(用含m的代数式表示)，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方法则逐项计算即可判断．
【详解】解：A．a23=a6，计算正确，故该选项符合题意；
B.a⋅a3=a4，故该选项不符合题意；
C.a和2a2不是同类项不能合并，故该选项不符合题意；
D.−2a2b2=4a4b2，故该选项不符合题意；
故选A．
2.【答案】B
【解析】【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可．
【详解】解：当∠1=∠4时，由内错角相等，两直线平行得CD/​/AB，故 A不符合题意；
当∠2=∠3时，由内错角相等，两直线平行得BC/​/AD，故 B符合题意；
当∠5=∠B时，由同位角相等，两直线平行得CD/​/AB，故 C不符合题意；
当∠DCB+∠B=180∘时，由同旁内角互补，两直线平行得CD/​/AB，故 D不符合题意；
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算，求出c的取值范围即可．
【详解】解：∵线段a=2，b=5，
∴5−2观察选项，只有选项C符合题意，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂求出a、b、c的值，然后比较大小即可．
【详解】解：a=−130=1，b=−122=14，c=−1−3=−1，
∵1>14>−1，
∴a>b>c，故 A正确．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据折叠的性质得到∠BED=∠B′ED，∠ADE=∠A′DE，根据四边形和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵现将该纸片沿DE折叠，使点A、B分别落在点A′、B′处．
∴∠BED=∠B′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠B′EC=15∘，
，
∵∠A=90∘，∠B=65∘，
∴∠ADE=360∘−∠B−∠A−∠BED=122.5∘，
∴∠A′DE=122.5，∠CDE=180∘−∠ADE=57.5∘，
，
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】设小空白部分的面积为S3，根据中线的性质和CE=14AC可得：S▵ABD=S▵ACD=12S▵ABC=2，S▵BCE=14S▵ABC=1，通过计算即可得到正确的结论．
【详解】解：如图，设小空白部分的面积为S3，
∵点D是边BC的中点，
∴S▵ABD=S▵ACD=12S▵ABC=2，
∵CE=14AC
∴S▵BCE=14S▵ABC=1，
∵S1=2−S3，S2=1−S3，
∴S1≠S2，A选项结论错误；
由图可得：S1≠S3,S2≠S3，
∴B、C选项结论不正确；
S1−S2=S1+S3−S2+S3=2−1=1，
D选项结论正确，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】过点C作CN//AB，过点E作EM/​/AB，易证∠DEA与∠FDE、∠EAB，∠ACD与∠BAC、∠FDC间关系．再由角平分线的性质及角的和差关系计算得结论．
【详解】解：过点C作CN//AB，过点E作EM/​/AB，
∵FD//AB，CN//AB，EM/​/AB，
∴AB//CN//EM//FD，
∴∠BAC=∠NCA，∠NCD=∠FDC，∠FDE=∠DEM，∠MEA=∠EAB．
∴∠DEA=∠FDE+∠EAB，
∠ACD=∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC=2∠FDE=2∠EDC，∠BAE=2∠BAC=2∠EAC
∴56∘=∠BAC+2∠FDE①，
46∘=∠FDE+2∠BAC②.
①+②，得3(∠BAC+∠FDE)=102∘，
∴∠BAC+∠FDE=34∘③.
①−③，得∠FDE=22∘．
∴∠CDF=2∠FDE=44∘．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出，∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘，根据三角形外角性质得出∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：①∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=2∠ABC，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，故①正确；
②∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC=2∠ADB，故②正确；
③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB=180∘,∠ACD=∠DCF，
∴2∠DCF+∠ACB=180∘，
∵∠BDC+∠DBC=∠DCF，
∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB=180∘，
∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB=180∘，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘，
∴∠BAC=2∠BDC，
∴∠BDC=12∠BAC，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，
∵∠ADB+∠CDB=∠DCF，2∠DCF+∠ACB=180∘，
∴2∠DCF+∠ABC=2∠DCF+2∠ABD=180∘，
∴∠DCF+∠ABD=90∘，
∴∠ADB+∠CDB+∠ADB=90∘，
∴∠ABD=45∘−12∠CDB，故④正确；
⑤由④得，∠DCF+∠ABD=90∘，
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠ADC+∠ABD=90∘，故⑤正确；
故选：D．
9.【答案】1.05×10−3
【解析】【分析】按照科学记数法的表示形式表示即可．
【详解】解：0.00105=1.05×10−3；
故答案为：1.05×10−3．
10.【答案】5
【解析】【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围，即可得解．
【详解】解：设该三角形第三边的长为x，
则4−2∵第三条边的长是整数，
∴x取3，4，5，
∴该三角形周长的最大值是5，
故答案为：5．
11.【答案】110
【解析】【分析】首先由平行线的性质得∠B=∠HGD，再根据三角形的外角定理得∠EHF=∠HGD+∠D=∠B+∠D=70∘，最后再根据三角形的内接角和定理可得出答案．
【详解】解：∵AB//CD，∠B+∠D=70∘，

∴∠B=∠HGD，
∵∠EHF是▵HGD的一个外角，
∴∠EHF=∠HGD+∠D，
∴∠EHF=∠B+∠D=70∘，
∵∠1+∠2+∠EHF=180∘，
∴∠1+∠2=180∘−∠EHF=110∘．
故答案为：110．
12.【答案】3
【解析】【分析】由同底数幂除法的逆运算，幂的乘方逆运算进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵xm=3，xn=9，
∴x3m−n=(xm)3÷xn=33÷9=3；
故答案为：3．
13.【答案】67
【解析】【分析】由DF//AC，AB//DE，推出∠DEF=∠B=46∘，∠D=∠AGD，推出，再由三角形内角和定理可得∠P+∠DGP=∠D+∠DFP，由此即可解决问题．
【详解】解：∵▵ABC沿BC方向平移到▵DEF(B、E、F在同一条直线上)，
∴DF//AC，AB//DE，
∴∠DEF=∠B=46∘，∠D=∠AGD，
，
∵∠P+∠DGP=∠D+∠DFP，
∴∠P=∠D+∠DFP−∠DGP
=∠D+12∠DFE−12∠D
=12∠DFE+∠D=67∘．
故答案为：67．
14.【答案】70
【解析】【分析】延长BE、CF，交于点G，连接AG，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为360∘即可求解．
【详解】解：延长BE、CF，交于点G，连接AG，如图，

∴∠AGB=180∘−∠B−∠BAG，∠AGC=180∘−∠C−∠CAG，
∴∠AGB+∠AGC=180∘−∠B−∠BAG+180∘−∠C−∠CAG=360∘−∠B−∠C−∠BAC=253∘，
∴∠CGB=360∘−∠AGB+∠AGC=107∘．
∵∠BED=72∘，
∴∠GED=108∘，
∴∠GFD=360∘−∠GED−∠D−∠CGB=110∘，
∴∠CFD=70∘．
故答案为：70．
15.【答案】48或56
【解析】【分析】根据“倍角三角形”的定义，可分两种情况：①∠A是另一个角的2倍；②∠B是∠C的2倍，再结合三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：①当∠A是另一个角的2倍时，
∵∠A=96∘，
∴另一个角是48∘，
∴第三个角的度数为：，
∵∠B>∠C，
∴∠B=48∘；
②当∠B是∠C的2倍时，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠A=96∘，
∴96∘+∠B+12∠B=180∘，
解得：∠B=56∘．
综上所述，∠B的度数为：48∘或56∘．
故答案为：48或56．
16.【答案】52°
【解析】【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出∠5+∠6+∠1，得到∠MBC+∠NCB，从而求出∠DBC+∠DCB，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．
【详解】解：∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E=32∘，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1=12(∠MBC+∠NCB)，
∵∠E=180∘−(∠5+∠6+∠1)=32∘，
∴∠5+∠6+∠1=148∘，
∴∠MBC+∠NCB=2∠5+∠6+∠1=296∘，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=180∘−∠MBC+180∘−∠NCB=360∘−∠MBC+∠NCB=64∘，
∴∠A=180∘−∠ABC+∠ACB=180∘−2∠DBC+∠DCB=52∘，
故答案为：52°．
17.【答案】(1)解：12−2−π−10+−32=4−1+9=12；
(2)解：m3⋅2m−−2m22+m5÷m
=2m4−4m4+m4
=−m4

【解析】【分析】(1)根据负整指数幂，乘方以及零指数幂求解即可；
(2)根据幂的乘方，同底数幂的乘法和除法求解即可．
18.【答案】(1)解：∵ax=5，
∴ax2=52，即a2x=25，
∴a2x+y=a2x⋅ay=25×6=150；
(2)解：∵ax=5，ay=6，
∴ax3=53，ay2=62，即a3x=125，a2y=36，
∴a3x−2y=a3x÷a2y=12536．

【解析】【分析】(1)先求出a2x=25，再根据a2x+y=a2x⋅ay进行求解即可；
(2)先求出a3x=125，a2y=36，再根据a3x−2y=a3x÷a2y进行求解即可．
19.【答案】(1)解：∵43=64，
∴4,64=3；
∵−20=1，
∴−2,1=0，
∵−3−3=−127，
∴−3,−127=−3．
故答案为：3；0；−3．
(2)解：设5,3=m，5,7=n，5,21=k，
则5m=3，5n=7，5k=21，
∵5m⋅5n=3×7=21，
∴5m⋅5n=5k，
∴5m+n=5k，
∴m+n=k，
即5,3+5,7=5,21．

【解析】【分析】(1)根据题干给出的信息进行解答即可；
(2)利用题干给出的信息进行计算即可．
20.【答案】(1)解：如图：直线PC、PE即为所求．
(2)解：由点的直线的定义可知：线段PE的长度是点P到直线AB的距离，线段AE的长度是点A到直线PE的距离．
故答案为：AB,AE．
(3)解：三角形PAB的面积是：6×6−12×6×1−12×4×5−12×6×2=17．

【解析】【分析】(1)直接在方格纸上画出平行线和垂线即可；
(2)根据点到直线的距离解答即可；
(3)采用割补法进行解答即可．
21.【答案】(1)证明：∵∠GFH+∠BHC=180∘，∠BHC=∠FHD，
∴∠FHD+∠GFH=180∘，
∴FG//BD，
∴∠1=∠2．
(2)解：∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠CBD=12∠ABC=40∘，
∵∠1=∠2，
∴∠1=40∘，
，
．

【解析】【分析】(1)根据题意和对顶角相等得到∠FHD+∠GFH=180∘，根据平行线的性质和判定即可证得．
(2)根据角平分线的性质求出∠2=40∘，由(1)∠1=40∘，根据平角的定义即可求解．
22.【答案】(1)∵AD为边BC上的中线，
∴S▵ADC=12S▵ABC=15，
∵AE为边BC上的高，
∴12×DC×AE=15，
∴CD=5．
(2)∵∠C=66∘,∠B=36∘
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=78∘，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=39∘，
，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90∘，
∴∠DAE=90∘−∠ADC=15∘

【解析】【分析】本题考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质．
(1)利用三角形中线定义及三角形面积求出CD长；
(2)利用三角形内角和先求∠BAC，再用外角性质和直角三角形性质求出∠DAE．
23.【答案】(1)解：∵22=2×2=4,12−2=1122=114=4，
∴22=12−2，
∵342=34×34,43−2=1432=143×43=34×34，
∴342=43−2；
(2)解：353=53−3；
∵353=35×35×35,53−3=1533=153×53×53=35×35×35，
∴353=53−3；
(3)解：−34−3×323÷12−2
=−433×323÷22
=−43×323÷4
=(−2)3÷4
=−8÷4
=−2

【解析】【分析】(1)观察计算过程即可写出相应的发现；
(2)利用题干中的方法解答即可得出353与53−3的大小关系；
(3)利用以上的解题规律进行运算即可．
24.【答案】(1)解：∵∠B=∠C=70∘，
，
∵∠ADE=∠AED=85∘，
，
．
(2)∠BAD=2∠CDE，理由如下：
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠ADE=∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE，
∵∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠CDE．

【解析】【分析】(1)根据∠B=∠C=70∘，∠ADE=∠AED=85∘可得∠BAC、∠DAE，进而即可求解；
(2)由∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠ADE=∠AED=∠C+∠CDE，即可证明；
25.【答案】(1)①证明：∵PD//BC，
∴∠DPE=∠PEB，∠PDE=∠DEC，
∵∠C=∠DPE，
∴∠C=∠PEB，
∴∠C+∠DEC+∠CDE=180∘，∠PEB+∠PED+∠DEC=180∘，
∴∠CDE=∠PED，
∴PE//AC；
②解：∠C=12∠1+∠2，理由如下：
由折叠的性质可知∠PDE=∠CDE，∠PED=∠CED，
∴∠1=180∘−2∠CDE，∠2=180∘−2∠CED，
∴∠1+∠2=180∘−2∠CDE+180∘−2∠CED=360∘−2∠CDE+∠CED，
∴∠CDE+∠CED=180∘−12∠1+∠2，
∵∠C+∠CDE+∠CED=180∘，
∴∠C=180∘−∠CDE+∠CED=180∘−180∘−12∠1+∠2=12∠1+∠2，
故答案为∠C=12∠1+∠2；
(2)①解：2∠C+∠1=90∘，理由如下：
∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90∘，
∴∠EFC=90∘−∠C，
∵∠P+∠1=∠EFC，
∴∠P+∠1=90∘−∠C，
由折叠的性质可知：∠P=∠C，
∴2∠C+∠1=90∘，
故答案为2∠C+∠1=90∘；
②解：∵AP//BC，
∴∠PAC=∠C，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90∘，
∴∠EFC=90∘−∠C，
∵∠P+∠1=∠EFC，
∴∠P+∠1=90∘−∠C，
由折叠的性质可知：∠P=∠C，
∴2∠C+∠1=90∘，
∵∠PAC=4∠1，
∴2∠PAC+∠1=2×4∠1+∠1=9∠1=90∘，
∴∠1=10∘，
∴∠C=∠P=∠PAC=40∘，
由折叠的性质可知：∠PED=∠CED，
，
，
故答案为85∘；

(3)解：∵PE⊥AC，垂足为F，
∴∠C+∠FEC=∠C+2∠FED=90∘，
∴∠FED=45∘−12∠C，
∴∠CDE=90∘+∠FED=90∘+45∘−12∠C=135∘−12∠C，
∵∠C=α∘，
∴∠CDE=135∘−12∠C=135∘−12α，
故答案为135∘−12α．


【解析】【分析】(1)①根据平行线的性质可知∠C=∠PEB，再根据三角形的内角和定理即可解答；②根据折叠的性质及三角形的外角的性质即可解答．
(2)①根据垂直的定义及三角形的外角的性质即可解答；②根据平行线的性质及三角形的外角的性质即可解答；
(3)根据折叠的性质及三角形外角的性质即可解答．
26.【答案】(1)解：∵∠A=80∘．
∴∠ABC+∠ACB=100∘，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
；
(2)∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=12∠MBC+∠NCB，
=12360∘−∠ABC−∠ACB，
=12180∘+∠A，
=90∘+∠A，
∴∠Q=180∘−90∘+12∠A=90∘−12∠A；
(3)延长BC至F，

∵CQ为▵ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是▵ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A；
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ，
=12∠ABC+12∠MBC，
=12∠ABC+∠A+∠ACB=90∘．
如果▵BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90∘，则∠E=45∘，∠A=2∠E=90∘；
②∠EBQ=2∠Q=90∘，则∠Q=45∘，∠E=45∘，∠A=2∠E=90∘；
③∠Q=2∠E，则90∘−12∠A=∠A，解得∠A=60∘；
④∠E=2∠Q，则12∠A=290∘−12∠A，解得∠A=120∘．
综上所述，∠A的度数是90∘或60∘或120∘．

【解析】【分析】(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
(2)根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
(3)在▵BQE中，由于∠Q=90∘−12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ=90∘，所以如果▵BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90∘；②∠EBQ=2∠Q=90∘；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．
27.【答案】(1)解：由三角形外角的性质可得∠ABN=90∘+∠OAB，
由题意可得：∠OAB+∠OBA=90∘，
∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，
∴∠BAD=12∠OAB，∠CBN=12∠ABN，
∴∠DBO=∠CBN=1290∘+∠OAB，
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=1290∘+∠OAB+∠OBA，
故答案为：45∘
(2)①由三角形外角的性质可得∠ABN=α+∠OAB，
由题意可得：∠OAB+∠OBA=180∘−α，
∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，
∴∠BAD=12∠OAB，∠CBN=12∠ABN，
∴∠DBO=∠CBN=12α+∠OAB，
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=12α+∠OAB+∠OBA，
∴∠D=180∘−∠DBA−∠BAD=180∘−12α+∠OAB−∠OBA−12∠OAB=12α，
故答案为：12α；
②是，理由如下：
由三角形外角的性质可得∠ABN=α+∠OAB，
由题意可得：∠OAB+∠OBA=180∘−α，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠CBN=12∠ABN，
∴∠DBO=∠CBN=12α+∠OAB，
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=12α+∠OAB+∠OBA，
∴∠BAD=180∘−∠D−∠DBA
=180∘−12α+∠OAB−∠OBA−12α，
=∠OAB+∠OBA−12∠OAB−∠OBA
=12∠OAB，
∴AE是▵OAB的角平分线；
(3)∠D=1−1m∠O，理由如下：
由三角形外角的性质可得∠ABN=∠O+∠OAB，
由题意可得：∠OAB+∠OBA=180∘−∠O，
∴∠DBO=∠NBC=1m∠ABN=1m∠O+∠OAB，
∴∠DBA=1m∠O+∠OAB+∠OBA，
∵∠DAO=1m∠BAO，
∴∠BAD=∠BAO−∠DAO=∠BAO−1m∠BAO，
由三角形内角和定理可得：
∠D=180∘−∠DBA−∠BAD
=180∘−1m∠O+∠OAB−∠OBA−∠BAO−1m∠BAO
=1−1m∠O，
即∠D=1−1m∠O．

【解析】【分析】(1)利用三角形外角的性质可得∠ABN=90∘+∠OAB，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；
(2)①利用三角形外角的性质可得∠ABN=∠MON+∠OAB，在根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；②根据三角形内角和的性质以及角平分线的定义，得出∠BAD=12∠OAB，即可求解；
(3)利用三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可．