2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区草桥中学七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区草桥中学七年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列长度的三条线段，能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  若则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图所示，分别以边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  设为正整数，若能被整除，则能被下列哪个数整除(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知直线、被直线所截，，是平面内任意一点点不在直线、、上，设，下列各式：，，，，的度数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  用科学记算法表示： ______ ．

10.  若，则______．

11.  若一个多边形的每一个外角都等于，则它的边数为______ ．

12.  一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是______．

13.  如图，为中延长线上一点，，若，，则 ______

14.  如图所示，在中，是边上一点，，，，则______．

15.  如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为，则的面积为______ ．

16.  如图，于，是上一点，，，平分，平分，则与之间的数量关系为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
；
；
．

18.  本小题分
根据已知求值．
已知，求的值．
已知，，求的值．
已知，求的值．

19.  本小题分
如图，，，
求证：；
若是的平分线，，求的度数．

 

20.  本小题分
如果，那么我们规定例如：因为，所以．
根据上述规定，填空： ______ ， ______ ；
记，，试说明：．

21.  本小题分
如图，已知长方形中，，，点是的中点，点从点出发在上以每秒的速度向点运动，运动时间设为秒假定
当秒时，求阴影部分即三角形的面积；
用含的式子表示阴影部分的面积；
过点作交于点，过点作交于点，请直接写出在点运动过程中，和的数量关系．

22.  本小题分
如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
若，，则 ______ ， ______ ；
若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由；
若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______ ．

23.  本小题分
如图，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图的数学模型：，，，分别交、于点、、的角平分线交于点，为线段上一动点不与、重合，连接交于点．

当时，求．
在线段上任意移动时，求，，之间的关系．
在的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项运算法则进行计算判断，根据幂的乘方运算法则进行计算判断，根据同底数幂相乘的运算法则进行计算判断，根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算判断．
本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：、，不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、，能组成三角形，本选项符合题意；
C、，不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、，不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：．
根据三角形的三边关系判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：若，则，
．
故选B．
根据任何非实数的次幂的意义分析．
本题较简单，只要熟知任何非实数的次幂等于即可．

4.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故选：．
直接利用负整数指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质和零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

5.【答案】 

【解析】解：时，木条与平行，
要使木条与平行，木条旋转的度数至少是．
故选：．
根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，然后用减去即可得到木条旋转的度数．
本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后的同位角的度数是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：边形的外角和，
图中阴影部分的面积之和，
故选：．
求出边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，能求出阴影部分的圆心角的度数和是解此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：能被整除，
为正整数，即，


，
是的倍数，
故选：．
要确定能被几整除，只要对其进行分解，看其中是否含有多少的倍数即可；由于是的倍数，在对进行变形时可以添项；然后对其分解因式可得，据此分析即可解决问题．
此题考查的是数的整除性，能够对代数式进行正确变形是解决此题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，由，可得，
，
．

如图，过作平行线，则由，可得，，
．

当平分，平分时，
，即，
又，
；
如图，由，可得，
，
．

如图，由，可得，
．

当点在的下方时，同理可得或．
综上所述，的度数可能为，，，，．
故选：．
根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等．

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

10.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：．
故答案为：．
将变形为，由得出，再求出即可．
本题考查了幂的乘方．能够正确求出是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，
这个多边形的边数是：．
故答案是：．
由一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，即可求得这个多边形的边数．
此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于是关键．

12.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
当三边是，，时，能构成三角形，则周长是；
当三边是，，时，能构成三角形，则周长是．
所以等腰三角形的周长为或．
故答案为或．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质，可以得到，根据平角的定义和，，可以得到的度数，从而可以得到的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
，
，，，
，
，
，

，
．
通过与的关系以及内角和定理解出，即的大小，进而可求．
熟练掌握三角形内角和定理及外角的性质是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

是中点，，
，
又，
，
设，则，
，
，
，
：：，
：：，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据中点求出，根据，得到，设，求出，得到：：，可得：：，从而求出值，根据可得结果．
本题考查的是三角形的面积，根据题意得出：：是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：延长，交于，如图，

，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
故答案为：．
延长，交于，根据三角形外角的性质，平行线的性质即可得到，从而求得，进而即可求得与之间的数量关系．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

17.【答案】解：

；


；




；



． 

【解析】先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
先算同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，再合并同类项即可；
利用积的乘方的法则进行运算即可；
利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

18.【答案】解：

；

，，
；

，
，
则． 

【解析】利用幂的乘方和同底数幂的乘法整理得出的数值即可；
利用同底数幂的除法，改为除法算式计算即可；
利用幂的乘方和同底数幂的乘法整理，进一步整体代入求得数值即可．
此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题．

19.【答案】证明：，
，
，
，
；
，，
，
是的平分线，
，
，
． 

【解析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出是解题的关键．
根据平行线的性质和判定证明即可；
根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．

20.【答案】   

【解析】解：，；
故答案为：，；
，，，
，，，
，
，即，
．
认真读懂题意，利用新定义的运算法则计算；
利用新定义计算并证明．
本题考查了有理数的乘方的新定义，解题的关键是认真读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题．

21.【答案】解：长方形中，，，点是的中点，
，
当秒时，，
，



；
由题意得：，，


，
即阴影部分的面积为；
四边形是长方形，
，，，
，，
、、，
、分别等于，的边上的高，、分别等于、的边上的高，
，
同理：，
，
即，
． 

【解析】当秒时，求出的长，得出的长，再由长方形的面积减去个三角形的面积即可；
用含的式子表示和的长，再由长方形的面积减去个三角形的面积即可；
求出，同理，则，即可解决问题．
本题是三角形综合题，考查了三角形面积公式、长方形的性质、平行线的性质以及面积法等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形面积公式和长方形的性质是解题的关键．

22.【答案】    或或或 

【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
；
又，
，
；
故答案为：，；
、的度数不会发生变化．
理由：由得：，，
；
；
设，则，
平分，平分，
，，
，，
因为中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
综上可知或或或．
故答案为：或或或．
先利用内角和求出，再利用角平分线的性质和平行线的性质求出和，再利用内角和求解；
仿照的格式求解；
分类讨论求解．
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，分类讨论思想等知识；解题关键是掌握三角形内角和定理和角平分线的性质．

23.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
即；
，
，
，
；
由知，，，
，
如图，当时，，

，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，

，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，

，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，设与相交于点，

，
，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，

，
此时是旋转了，
此时，；
当的其中一边与的某一边平行时，为或或或或． 

【解析】由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案；
由得到，由即可得到结论；
分五种情况画图求解即可．
此题属于三角形综合题，考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键．