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2023-2024学年江苏省苏州市吴江实验初中教育集团七年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴江实验初中教育集团七年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成.以下可以通过平移节水标志得到的图形是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. (a2)3=a6B. (3a)2=6a2C. a5+a5=2a10D. a2⋅a3=a6
3.流感病毒的直径约为0.00000072m，其中0.00000072用科学记数法可表示为( )
A. 7.2×107B. 7.2×10−8C. 7.2×10−7D. 0.72×10−8
4.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. (2ab2)2=2a2b4C. a6÷a3=a2D. (−a2)3=−a6
5.如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量∠2=105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为( )
A. 45°B. 75°C. 105°D. 135°
6.已知一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别等于4cm和9cm，则第三边的长可能是( )
A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 13cm
7.如图，把长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EBF=α，则∠1的度数为( )
A. 90°−12α
B. 90°−α
C. 120°−α
D. 120°−12α
8.如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1=40°，∠C=65°，则∠F的度数为( )
A. 50°
B. 35°
C. 25°
D. 15°
9.若P=(x−3)(x−4)，Q=(x−2)(x−5)，则P与Q的大小关系是( )
A. P>QB. P10.如图，已知AB//DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA=46°，∠ACD=56°，则∠CDF的度数为( )
A. 22°
B. 33°
C. 44°
D. 55°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算(π−3)0=______．
12.如图，a、b是木工师傅用角尺在工件上画出的与工件边缘垂直的两条垂线.这两条垂线平行的理由是 ______．
13.计算：(−512)2023×(125)2023= ______．
14.已知am+n=6，an=2(m、n是正整数)，则am=______．
15.解方程：9x+1−32x=72，x=______．
16.定义a※b=(a−1)b，例如4※3=(4−1)×3=9.计算x※(x+1)=______．
17.图①是一盏护眼台灯，图②是其侧面示意图，已知AB//DE，∠B=76°，∠C=62°，则∠CDE= ______°.
18.如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为32，则四边形ADEF的面积为______．
三、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
计算：
(1)32+|−2|；
(2)8−23÷(3.14−π)0；
(3)−2a⋅(3b)2⋅(−4ab)；
(4)−2a2⋅(12ab+b2)−5a(a2b−ab2)
20.(本小题6分)
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示.将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．
(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；
(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；
(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是______；
(4)△DEF的面积为______．
21.(本小题6分)
在四边形ABCD中，AB//CD，∠A=∠C，判断AD与BC是否平行，并说明理由．
22.(本小题6分)
如图，已知∠1+∠4=180°，∠3=∠B，试证明DE//BC.完成以下解答过程中的空缺部分：
解：∵∠1+∠4=180°(已知)
∠1=∠2(______)，
∴ ______=180°(等量代换)．
∴EG//AB (______).
∴∠B=∠EGC (______).
∵∠3=∠B (已知)；
∴∠3=∠EGC (______).
∴ ______(内错角相等，两直线平行)．
23.(本小题6分)
在幂的运算中规定：若ax=ay(a>0且a≠1，x、y是正整数)，则x=y.利用上面结论解答下列问题：
(1)若9x=36，求x的值；
(2)若3x+2−3x+1=18，求x的值．
24.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠1与∠2互余，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F.∠A与∠C有怎样的数量关系？为什么？
25.(本小题6分)
在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的边数．
26.(本小题8分)
规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)；如果ac=b，那么(��,��)=��.例如：因为23=8，所以(2,8)=3．
(1)根据上述规定，填空：(3,9)= ______，(______，16)=2，(−2,−8)= ______；
(2)有同学在研究这种运算时发现一个现象；(3n,4n)=(3,4)，他给出了如下的证明：
设(3n,4n)=x，
∴(3n)x=4n．
即(3x)n=4n．
∵3x>0，
∴3x=4．
即(3,4)=x．
∴(3n,4n)=(3,4)．
①若(4,5)=a，(4,6)=b，(4,30)=c，请你尝试运用上述这种方法证明a+b=c．
②猜想[(x−1)n,(y+1)n]+[(x−1)n,(y−2)n]=( ______，______)(结果化成最简形式)
27.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
(1)若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数；
(2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并证明．
28.(本小题10分)
【探究】
(1)如图1，∠ADC=120°，∠BCD=130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______°；
(2)如图2，∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；(用α、β表示)
(3)如图3，∠ADC=α，∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将(2)中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图，可以通过平移节水标志得到的图形是．
故选：A．
根据平移的性质：平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，即可解答．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、(a2)3=a6，故A符合题意；
B、(3a)2=9a2，故B不符合题意；
C、a5+a5=2a5，故C不符合题意；
D、a2⋅a3=a5，故D不符合题意；
故选：A．
根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.00000072=7.2×10−7．
故选：C．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(2ab2)2=4a2b4，故B不符合题意；
C、a6÷a3=a3，故C不符合题意；
D、(−a2)3=−a6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】B
【解析】解：如图，∵∠2=105°，
∴∠3=∠2=105°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3=180°，
∴∠1=180°−105°=75°．
故选：B．
先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，
6.【答案】C
【解析】解：设第三边长为x cm，
则由三角形三边关系定理得9−4∵一个三角形的周长为偶数，
∴x=7或9或11．
∴只有9cm符合题意．
故选：C．
已知三角形的两边长分别为4cm、9cm，根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；即可求第三边长的范围．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵长方形纸条ABCD沿EF折叠，
∴∠DEF=∠BEF，AD//BC，
∴∠1=∠DEF，∠EBF=∠AEB=α，
∴2∠DEF=180°−α，
∴∠1=∠DEF=90°−12α，
故选：A．
根据翻折的性质和平行线的性质解答即可．
此题考查翻折问题，关键是根据翻折前后对应角相等解答．
8.【答案】D
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠DAC，
∵∠1=40°，
∴∠DAC=40°，
∵∠C=65°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=180°−80°−65°=35°，
∴∠EDF=∠B+∠1=35°+40°=75°，
∵EF⊥BC，
∴∠F=90°−∠EDF=90°−75°=15°．
故选：D．
根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．
本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】解：∵P=(x−3)(x−4)=x2−7x+12，
Q=(x−2)(x−5)=x2−7x+10，
∴P−Q=(x2−7x+12)−(x2−7x+10)=2>0，
∴P>Q，
故选：A．
利用多项式乘多项式的法则分别计算P，Q的值，再将两式的值相减即可得出结论．
本题主要考查了多项式乘多项式，利用比较差的大小解答是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点C作CN//AB，过点E作EM//AB，
∵FD//AB，CN//AB，EM//AB，
∴AB//CN//EM//FD
∴∠BAC=∠NCA，∠NCD=∠FDC，∠FDE=∠DEM，∠MEA=∠EAB．
∴∠DEA=∠FDE+∠EAB，
∠ACD=∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC=2∠FDE=2∠EDC，∠BAE=2∠BAC=2∠EAC，
∴56°=∠BAC+2∠FDE①，
46°=∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3(∠BAC+∠FDE)=102°，
∴∠BAC+∠FDE=34°③．
①−③，得∠FDE=22°．
∴∠CDF=2∠FDE=44°．
故选：C．
过点C作CN//AB，过点E作EM//AB，易证∠DEA与∠FDE、∠EAB，∠ACD与∠BAC、∠FDC间关系．再由角平分线的性质及角的和差关系计算得结论．
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及角的和差关系．根据平行线的性质得到∠DEA=∠FDE+∠EAB，∠ACD=∠BAC+∠FDC是解决本题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：(π−3)0=1，
故答案为：1．
根据零指数幂的性质即可得出答案．
本题主要考查了零指数幂的性质，比较简单．
12.【答案】同位角相等，两条直线平行
【解析】解：
∵a⊥AB，b⊥AB，
∴∠MAC=90°，∠NBD=90°，
∴∠MAC=∠NBD，
∴a//b(同位角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两条直线平行．
利用同位角相等，两条直线平行作答．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：(−512)2023×(125)2023
=(−512×125)2023
=(−1)2023
=−1，
故答案为：−1．
根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算进行计算即可求出答案．
本题考查的是同底数幂的乘法法则和积的乘方的逆运算．解题过程中需要注意的是一个负数数的奇次幂依然等于这个负数是易错点．
14.【答案】3
【解析】解：∵am+n=6=am⋅an，an=2(m、n是正整数)，
∴am=62=3，
故答案为：3．
根据同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂乘法的计算方法是正确解答的关键．
15.【答案】1
【解析】解：9x+1−32x=72，
32x×9−32x=72，
32x×(9−1)=72，
32x=9，
32x=32，
∴2x=2，
∴x=1；
故答案为：1．
根据同底数幂的乘法的逆用、提公因式法可进行求解方程．
本题主要考查同底数幂乘法的逆用及提公因式法，熟练掌握同底数幂乘法的逆用及提公因式法是解题的关键．
16.【答案】x2−1
【解析】解：∵a※b=(a−1)b，
∴x※(x+1)=(x−1)(x+1)=x2−1，
故答案为：x2−1．
根据新定义直接计算即可．
本题考查新定义运算，解题的关键是读懂题意，掌握平方差公式．
17.【答案】138
【解析】解：延长ED交BC于F，
∵AB//DE，
∴∠DFC=∠B=76°，
∵∠C=62°，
∴∠EDC=∠C+∠DFC=76°+62°=138°，
故答案为：138．
根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
考查了平行线的性质，牢记平行线的性质是解题的关键．
18.【答案】12
【解析】解：∵点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，
∴S△ABD=S△CBD，S△ABF=S△ADF，S△BDE=S△CDE，S△BEF=S△DEF，
∴S△ADF=12S△ABD=12×12S△ABC=14×32=8，
S△DEF=12S△BDE=12×12S△BCD=14×12S△ABC=18×32=4，
∴S四边形ADEF=S△ADF+S△DEF=8+4=12．
故答案为：12．
由三角形的中线得S△ABD=S△CBD，S△ABF=S△ADF，S△BDE=S△CDE，S△BEF=S△DEF，再求出S△ADF=8，S△DEF=4，即可得出答案．
本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=9+2
=11；
(2)原式=8−8÷1
=8−8
=0；
(3)原式=−2a⋅9b2⋅(−4ab)
=72a2b3；
(4)原式=−a3b−2a2b2−(5a3b−5a2b2)
=−a3b−2a2b2−5a3b+5a2b2
=−6a3b+3a2b2．
【解析】(1)根据乘方的运算法则、绝对值的代数意义计算即可；
(2)原式先计算乘方和零指数幂，再进行除法运算，最后进行加法运算即可；
(3)先计算乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可；
(4)原式先根据单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算、实数的运算、零指数幂．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
20.【答案】CD//AE，CD=AE 7.5
【解析】解：(1)如图，△EFD即为所求；
(2)如图，线段CH即为所求；
(3)CD//AE．
故答案为：CD//AE；
(4)△DEF的面积=6×4−12×3×6−12×3×1−12×3×4=7.5．
故答案为：7.5．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点E，F即可；
(2)根据三角形的高的定义画出图形即可；
(3)利用平移变换的性质判断即可；
(4)利用割补法求解即可．
本题考查作图−平移变换，三角形的高，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
21.【答案】解：AD//BC，理由如下：
∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD//BC．
【解析】由平行线的性质可得∠A+∠D=180°，从而可求得∠C+∠D=180°，即可判定AD//BC．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
22.【答案】对顶角相等 ∠2+∠4 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 DE//BC
【解析】解：∵∠1+∠4=180°(已知)，
∠1=∠2(对顶角相等)，
∴∠2+∠4=180°(等量代换)．
∴EG//AB (同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠B=∠EGC (两直线平行，同位角相等)．
∵∠3=∠B (已知)；
∴∠3=∠EGC (等量代换)．
∴DE//BC(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：对顶角相等；∠2+∠4；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；DE//BC．
根据等量代换得出∠2+∠4=180°，进而利用平行线的判定和性质解答即可．
本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的性质和判定是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)∵9x=36，
∴(32)x=36，
∴32x=36，
∴2x=6，
解得x=3．
(2)∵3x+2−3x+1=18，
∴32⋅3x−3⋅3x=18，
∴6×3x=18，
∴3x=3，
解得x=1．
【解析】(1)根据9x=36，得(32)x=36即32x=36得2x=6，计算即可．
(2)根据3x+2−3x+1=18，得32⋅3x−3⋅3x=18，故6×3x=18，3x=3，计算即可．本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24.【答案】解：∠A+∠C=180°，理由如下：
∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠1，
∴∠ABC+∠ADC=2(∠1+∠2)=2×90°=180°，
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴∠A+∠C=180°．
【解析】先求出∠1+∠2=90°，再求出∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠1，即可求出∠ABC+∠ADC=2(∠1+∠2)=2×90°=180°，最后可以求出∠A+∠C=180°．
本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义、角平分线的定义．弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．
25.【答案】解：设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，
由题意，得(3α+20°)+α=180°，
解得α=40°，
即多边形的每个外角为40°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的外角个数=360÷4=9，
∴多边形的边数=9．
【解析】设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，运用方程求解比较简便．
26.【答案】2 ±4 3 (x−1) (y2−y−2)
【解析】解：(1)∵32=9，∴(3,9)=2；
∵(±4)2=16，∴(±4,16)=2，
∵(−2)3=8，∴(−2,−8)=3，
故答案为：2；±4；3；
(2)①证明：∵(4,5)=a，(4,6)=b，(4,30)=c，
∴4a=5，4b=6，4c=30，
∴4a×4b=30=4c，
即4a+b=4c，
∴a+b=c；
②∵(3n,4n)=(3,4)，
∴[(x−1)n,(y+1)n]+[(x−1)n,(y−2)n]=[(x−1),(y+1)]+[(x−1),(y−2)]=[(x−1),(y+1)(y−2)]=[(x−1),(y2−y−2)]．
故答案为：(x−1)，(y2−y−2)．
(1)根据规定的两数之间的运算法则解答；
(2)①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；
②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．
本题考查的是新定义的理解和掌握，同底数幂的乘法以及整式的混合运算，掌握新运算是解本题的关键．
27.【答案】解：(1)∵∠B=30°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=35°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；
(2)∠E=12(∠ACB−∠B)．
设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=12∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=(180−n−m)°，
∴∠BAD=12(180−n−m)°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+12(180−n−m)°=90°+12n°−12m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°−(90°+12n°−12m°)=12(m−n)°=12(∠ACB−∠B)．
【解析】(1)首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
(2)根据第(1)小题的思路即可推导这些角之间的关系．
此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．
28.【答案】(1)35；
(2) 12α+12β−90°；
(3)若AG//BH，则α+β=180°．
证明：如图3．
若AG//BH，则∠GAB=∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB=2∠GAB，∠CBE=2∠HBE．
∴∠DAB=∠CBE．
∴AD//BC．
∴∠DAB+∠DCB=α+β=180°．
【挑战】如图
∠F=90°−12α−12β．
【解析】解：(1)如图1．
∵BF平分∠CBE，CF平分∠DAB，
∴∠FBE=12∠CBE，∠FAB=12∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°−∠D−∠DCB
=360°−120°−130°=110°．
又∵∠F+∠EAB=∠FBE，
∴∠F=∠FBE−∠FAB=12∠CBE−12∠DAB
=12(∠CBE−∠DAB)=12(180°−∠ABC−∠DAB)
=12×(180°−110°)=35°．
故答案为35°．
(2)如图2．
由(1)得：∠AFB=12(180°−∠ABC−∠DAB)，∠DAB+∠ABC=360°−∠D−∠DCB．
∴∠AFB=12(180°−360°+∠D+∠DCB)=12∠D+12∠DCB−90°=12α+12β−90°．
故答案为12α+12β−90°．
(3)见答案；
【挑战】如图．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM=12∠DAB，∠NBE=12∠CBE．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°−∠D−BCD=360°−α−β．
∴∠DAB+180°−∠CBE=360°−α−β．
∴∠DAB−∠CBE=180°−α−β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF=∠NBE．
又∵∠F+∠ABF=∠MAB，
∴∠F=∠MAB−∠ABF．
∴∠F=12∠DAB−∠NBE=12∠DAB−12∠CBE
=12(∠DAB−∠CBE)=12(180°−α−β)
=90°−12α−12β．
利用三角形外角的性质，列出∠F=∠FBE−∠FAB.再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F=∠FBE−∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB．
本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
1.如图，国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成.以下可以通过平移节水标志得到的图形是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. (a2)3=a6B. (3a)2=6a2C. a5+a5=2a10D. a2⋅a3=a6
3.流感病毒的直径约为0.00000072m，其中0.00000072用科学记数法可表示为( )
A. 7.2×107B. 7.2×10−8C. 7.2×10−7D. 0.72×10−8
4.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. (2ab2)2=2a2b4C. a6÷a3=a2D. (−a2)3=−a6
5.如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量∠2=105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为( )
A. 45°B. 75°C. 105°D. 135°
6.已知一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别等于4cm和9cm，则第三边的长可能是( )
A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 13cm
7.如图，把长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EBF=α，则∠1的度数为( )
A. 90°−12α
B. 90°−α
C. 120°−α
D. 120°−12α
8.如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1=40°，∠C=65°，则∠F的度数为( )
A. 50°
B. 35°
C. 25°
D. 15°
9.若P=(x−3)(x−4)，Q=(x−2)(x−5)，则P与Q的大小关系是( )
A. P>QB. P
A. 22°
B. 33°
C. 44°
D. 55°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算(π−3)0=______．
12.如图，a、b是木工师傅用角尺在工件上画出的与工件边缘垂直的两条垂线.这两条垂线平行的理由是 ______．
13.计算：(−512)2023×(125)2023= ______．
14.已知am+n=6，an=2(m、n是正整数)，则am=______．
15.解方程：9x+1−32x=72，x=______．
16.定义a※b=(a−1)b，例如4※3=(4−1)×3=9.计算x※(x+1)=______．
17.图①是一盏护眼台灯，图②是其侧面示意图，已知AB//DE，∠B=76°，∠C=62°，则∠CDE= ______°.
18.如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为32，则四边形ADEF的面积为______．
三、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
计算：
(1)32+|−2|；
(2)8−23÷(3.14−π)0；
(3)−2a⋅(3b)2⋅(−4ab)；
(4)−2a2⋅(12ab+b2)−5a(a2b−ab2)
20.(本小题6分)
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示.将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．
(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；
(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；
(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是______；
(4)△DEF的面积为______．
21.(本小题6分)
在四边形ABCD中，AB//CD，∠A=∠C，判断AD与BC是否平行，并说明理由．
22.(本小题6分)
如图，已知∠1+∠4=180°，∠3=∠B，试证明DE//BC.完成以下解答过程中的空缺部分：
解：∵∠1+∠4=180°(已知)
∠1=∠2(______)，
∴ ______=180°(等量代换)．
∴EG//AB (______).
∴∠B=∠EGC (______).
∵∠3=∠B (已知)；
∴∠3=∠EGC (______).
∴ ______(内错角相等，两直线平行)．
23.(本小题6分)
在幂的运算中规定：若ax=ay(a>0且a≠1，x、y是正整数)，则x=y.利用上面结论解答下列问题：
(1)若9x=36，求x的值；
(2)若3x+2−3x+1=18，求x的值．
24.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠1与∠2互余，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F.∠A与∠C有怎样的数量关系？为什么？
25.(本小题6分)
在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的边数．
26.(本小题8分)
规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)；如果ac=b，那么(��,��)=��.例如：因为23=8，所以(2,8)=3．
(1)根据上述规定，填空：(3,9)= ______，(______，16)=2，(−2,−8)= ______；
(2)有同学在研究这种运算时发现一个现象；(3n,4n)=(3,4)，他给出了如下的证明：
设(3n,4n)=x，
∴(3n)x=4n．
即(3x)n=4n．
∵3x>0，
∴3x=4．
即(3,4)=x．
∴(3n,4n)=(3,4)．
①若(4,5)=a，(4,6)=b，(4,30)=c，请你尝试运用上述这种方法证明a+b=c．
②猜想[(x−1)n,(y+1)n]+[(x−1)n,(y−2)n]=( ______，______)(结果化成最简形式)
27.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
(1)若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数；
(2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并证明．
28.(本小题10分)
【探究】
(1)如图1，∠ADC=120°，∠BCD=130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______°；
(2)如图2，∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；(用α、β表示)
(3)如图3，∠ADC=α，∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将(2)中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图，可以通过平移节水标志得到的图形是．
故选：A．
根据平移的性质：平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，即可解答．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、(a2)3=a6，故A符合题意；
B、(3a)2=9a2，故B不符合题意；
C、a5+a5=2a5，故C不符合题意；
D、a2⋅a3=a5，故D不符合题意；
故选：A．
根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.00000072=7.2×10−7．
故选：C．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(2ab2)2=4a2b4，故B不符合题意；
C、a6÷a3=a3，故C不符合题意；
D、(−a2)3=−a6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】B
【解析】解：如图，∵∠2=105°，
∴∠3=∠2=105°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3=180°，
∴∠1=180°−105°=75°．
故选：B．
先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，
6.【答案】C
【解析】解：设第三边长为x cm，
则由三角形三边关系定理得9−4
∴x=7或9或11．
∴只有9cm符合题意．
故选：C．
已知三角形的两边长分别为4cm、9cm，根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；即可求第三边长的范围．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵长方形纸条ABCD沿EF折叠，
∴∠DEF=∠BEF，AD//BC，
∴∠1=∠DEF，∠EBF=∠AEB=α，
∴2∠DEF=180°−α，
∴∠1=∠DEF=90°−12α，
故选：A．
根据翻折的性质和平行线的性质解答即可．
此题考查翻折问题，关键是根据翻折前后对应角相等解答．
8.【答案】D
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠DAC，
∵∠1=40°，
∴∠DAC=40°，
∵∠C=65°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=180°−80°−65°=35°，
∴∠EDF=∠B+∠1=35°+40°=75°，
∵EF⊥BC，
∴∠F=90°−∠EDF=90°−75°=15°．
故选：D．
根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．
本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】解：∵P=(x−3)(x−4)=x2−7x+12，
Q=(x−2)(x−5)=x2−7x+10，
∴P−Q=(x2−7x+12)−(x2−7x+10)=2>0，
∴P>Q，
故选：A．
利用多项式乘多项式的法则分别计算P，Q的值，再将两式的值相减即可得出结论．
本题主要考查了多项式乘多项式，利用比较差的大小解答是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点C作CN//AB，过点E作EM//AB，
∵FD//AB，CN//AB，EM//AB，
∴AB//CN//EM//FD
∴∠BAC=∠NCA，∠NCD=∠FDC，∠FDE=∠DEM，∠MEA=∠EAB．
∴∠DEA=∠FDE+∠EAB，
∠ACD=∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC=2∠FDE=2∠EDC，∠BAE=2∠BAC=2∠EAC，
∴56°=∠BAC+2∠FDE①，
46°=∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3(∠BAC+∠FDE)=102°，
∴∠BAC+∠FDE=34°③．
①−③，得∠FDE=22°．
∴∠CDF=2∠FDE=44°．
故选：C．
过点C作CN//AB，过点E作EM//AB，易证∠DEA与∠FDE、∠EAB，∠ACD与∠BAC、∠FDC间关系．再由角平分线的性质及角的和差关系计算得结论．
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及角的和差关系．根据平行线的性质得到∠DEA=∠FDE+∠EAB，∠ACD=∠BAC+∠FDC是解决本题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：(π−3)0=1，
故答案为：1．
根据零指数幂的性质即可得出答案．
本题主要考查了零指数幂的性质，比较简单．
12.【答案】同位角相等，两条直线平行
【解析】解：
∵a⊥AB，b⊥AB，
∴∠MAC=90°，∠NBD=90°，
∴∠MAC=∠NBD，
∴a//b(同位角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两条直线平行．
利用同位角相等，两条直线平行作答．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：(−512)2023×(125)2023
=(−512×125)2023
=(−1)2023
=−1，
故答案为：−1．
根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算进行计算即可求出答案．
本题考查的是同底数幂的乘法法则和积的乘方的逆运算．解题过程中需要注意的是一个负数数的奇次幂依然等于这个负数是易错点．
14.【答案】3
【解析】解：∵am+n=6=am⋅an，an=2(m、n是正整数)，
∴am=62=3，
故答案为：3．
根据同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂乘法的计算方法是正确解答的关键．
15.【答案】1
【解析】解：9x+1−32x=72，
32x×9−32x=72，
32x×(9−1)=72，
32x=9，
32x=32，
∴2x=2，
∴x=1；
故答案为：1．
根据同底数幂的乘法的逆用、提公因式法可进行求解方程．
本题主要考查同底数幂乘法的逆用及提公因式法，熟练掌握同底数幂乘法的逆用及提公因式法是解题的关键．
16.【答案】x2−1
【解析】解：∵a※b=(a−1)b，
∴x※(x+1)=(x−1)(x+1)=x2−1，
故答案为：x2−1．
根据新定义直接计算即可．
本题考查新定义运算，解题的关键是读懂题意，掌握平方差公式．
17.【答案】138
【解析】解：延长ED交BC于F，
∵AB//DE，
∴∠DFC=∠B=76°，
∵∠C=62°，
∴∠EDC=∠C+∠DFC=76°+62°=138°，
故答案为：138．
根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
考查了平行线的性质，牢记平行线的性质是解题的关键．
18.【答案】12
【解析】解：∵点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，
∴S△ABD=S△CBD，S△ABF=S△ADF，S△BDE=S△CDE，S△BEF=S△DEF，
∴S△ADF=12S△ABD=12×12S△ABC=14×32=8，
S△DEF=12S△BDE=12×12S△BCD=14×12S△ABC=18×32=4，
∴S四边形ADEF=S△ADF+S△DEF=8+4=12．
故答案为：12．
由三角形的中线得S△ABD=S△CBD，S△ABF=S△ADF，S△BDE=S△CDE，S△BEF=S△DEF，再求出S△ADF=8，S△DEF=4，即可得出答案．
本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=9+2
=11；
(2)原式=8−8÷1
=8−8
=0；
(3)原式=−2a⋅9b2⋅(−4ab)
=72a2b3；
(4)原式=−a3b−2a2b2−(5a3b−5a2b2)
=−a3b−2a2b2−5a3b+5a2b2
=−6a3b+3a2b2．
【解析】(1)根据乘方的运算法则、绝对值的代数意义计算即可；
(2)原式先计算乘方和零指数幂，再进行除法运算，最后进行加法运算即可；
(3)先计算乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可；
(4)原式先根据单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算、实数的运算、零指数幂．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
20.【答案】CD//AE，CD=AE 7.5
【解析】解：(1)如图，△EFD即为所求；
(2)如图，线段CH即为所求；
(3)CD//AE．
故答案为：CD//AE；
(4)△DEF的面积=6×4−12×3×6−12×3×1−12×3×4=7.5．
故答案为：7.5．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点E，F即可；
(2)根据三角形的高的定义画出图形即可；
(3)利用平移变换的性质判断即可；
(4)利用割补法求解即可．
本题考查作图−平移变换，三角形的高，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
21.【答案】解：AD//BC，理由如下：
∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD//BC．
【解析】由平行线的性质可得∠A+∠D=180°，从而可求得∠C+∠D=180°，即可判定AD//BC．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
22.【答案】对顶角相等 ∠2+∠4 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 DE//BC
【解析】解：∵∠1+∠4=180°(已知)，
∠1=∠2(对顶角相等)，
∴∠2+∠4=180°(等量代换)．
∴EG//AB (同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠B=∠EGC (两直线平行，同位角相等)．
∵∠3=∠B (已知)；
∴∠3=∠EGC (等量代换)．
∴DE//BC(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：对顶角相等；∠2+∠4；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；DE//BC．
根据等量代换得出∠2+∠4=180°，进而利用平行线的判定和性质解答即可．
本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的性质和判定是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)∵9x=36，
∴(32)x=36，
∴32x=36，
∴2x=6，
解得x=3．
(2)∵3x+2−3x+1=18，
∴32⋅3x−3⋅3x=18，
∴6×3x=18，
∴3x=3，
解得x=1．
【解析】(1)根据9x=36，得(32)x=36即32x=36得2x=6，计算即可．
(2)根据3x+2−3x+1=18，得32⋅3x−3⋅3x=18，故6×3x=18，3x=3，计算即可．本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24.【答案】解：∠A+∠C=180°，理由如下：
∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠1，
∴∠ABC+∠ADC=2(∠1+∠2)=2×90°=180°，
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴∠A+∠C=180°．
【解析】先求出∠1+∠2=90°，再求出∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠1，即可求出∠ABC+∠ADC=2(∠1+∠2)=2×90°=180°，最后可以求出∠A+∠C=180°．
本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义、角平分线的定义．弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．
25.【答案】解：设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，
由题意，得(3α+20°)+α=180°，
解得α=40°，
即多边形的每个外角为40°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的外角个数=360÷4=9，
∴多边形的边数=9．
【解析】设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，运用方程求解比较简便．
26.【答案】2 ±4 3 (x−1) (y2−y−2)
【解析】解：(1)∵32=9，∴(3,9)=2；
∵(±4)2=16，∴(±4,16)=2，
∵(−2)3=8，∴(−2,−8)=3，
故答案为：2；±4；3；
(2)①证明：∵(4,5)=a，(4,6)=b，(4,30)=c，
∴4a=5，4b=6，4c=30，
∴4a×4b=30=4c，
即4a+b=4c，
∴a+b=c；
②∵(3n,4n)=(3,4)，
∴[(x−1)n,(y+1)n]+[(x−1)n,(y−2)n]=[(x−1),(y+1)]+[(x−1),(y−2)]=[(x−1),(y+1)(y−2)]=[(x−1),(y2−y−2)]．
故答案为：(x−1)，(y2−y−2)．
(1)根据规定的两数之间的运算法则解答；
(2)①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；
②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．
本题考查的是新定义的理解和掌握，同底数幂的乘法以及整式的混合运算，掌握新运算是解本题的关键．
27.【答案】解：(1)∵∠B=30°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=35°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；
(2)∠E=12(∠ACB−∠B)．
设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=12∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=(180−n−m)°，
∴∠BAD=12(180−n−m)°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+12(180−n−m)°=90°+12n°−12m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°−(90°+12n°−12m°)=12(m−n)°=12(∠ACB−∠B)．
【解析】(1)首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
(2)根据第(1)小题的思路即可推导这些角之间的关系．
此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．
28.【答案】(1)35；
(2) 12α+12β−90°；
(3)若AG//BH，则α+β=180°．
证明：如图3．
若AG//BH，则∠GAB=∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB=2∠GAB，∠CBE=2∠HBE．
∴∠DAB=∠CBE．
∴AD//BC．
∴∠DAB+∠DCB=α+β=180°．
【挑战】如图
∠F=90°−12α−12β．
【解析】解：(1)如图1．
∵BF平分∠CBE，CF平分∠DAB，
∴∠FBE=12∠CBE，∠FAB=12∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°−∠D−∠DCB
=360°−120°−130°=110°．
又∵∠F+∠EAB=∠FBE，
∴∠F=∠FBE−∠FAB=12∠CBE−12∠DAB
=12(∠CBE−∠DAB)=12(180°−∠ABC−∠DAB)
=12×(180°−110°)=35°．
故答案为35°．
(2)如图2．
由(1)得：∠AFB=12(180°−∠ABC−∠DAB)，∠DAB+∠ABC=360°−∠D−∠DCB．
∴∠AFB=12(180°−360°+∠D+∠DCB)=12∠D+12∠DCB−90°=12α+12β−90°．
故答案为12α+12β−90°．
(3)见答案；
【挑战】如图．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM=12∠DAB，∠NBE=12∠CBE．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°−∠D−BCD=360°−α−β．
∴∠DAB+180°−∠CBE=360°−α−β．
∴∠DAB−∠CBE=180°−α−β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF=∠NBE．
又∵∠F+∠ABF=∠MAB，
∴∠F=∠MAB−∠ABF．
∴∠F=12∠DAB−∠NBE=12∠DAB−12∠CBE
=12(∠DAB−∠CBE)=12(180°−α−β)
=90°−12α−12β．
利用三角形外角的性质，列出∠F=∠FBE−∠FAB.再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F=∠FBE−∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB．
本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
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