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2022-2023学年河南省郑州市高新区东枫外国语、枫杨外国语联考八年级（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省郑州市高新区东枫外国语、枫杨外国语联考八年级（下）月考数学试卷（6月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. x(a−b)=ax−bxB. x2−1+y2=(x−1)(x+1)+y2
C. x2−1=(x+1)(x−1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c
3.如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC长( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
4.如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC=5，AB=9，则EF的长为( )
A. 2B. 2.4C. 3D. 3.5
5.点A、B、C、D在同一平面内，从(1)AB//CD，(2)AB=CD，(3)BC//AD，(4)BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有种．( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.下列分式变形正确的是( )
A. a2b2=abB. 2a2b=abC. 2a+14b=a+12bD. a+2b+2=ab
7.若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是( )
A. x>−2B. x<1C. x>−2且x≠1D. x>1
8.若关于x的分式方程xx+4−1x+4=mx+4有增根，则m的值为( )
A. 1B. −4C. −5D. −3
9.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动.设运动时间为t s，当以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为( )
A. 2B. 133C. 2或133D. 2或143
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且∠EDF=90°，则下列说法：
①AE=CF；
②△DEF是等腰直角三角形；
③△CEF周长的最小值是2 2+4；
④四边形DECF的面积是一个定值；
其中正确的序号是( )
A. ①③④B. ①②C. ②③D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是______边形．
12.如图，直线l1：y=x+1和直线l2：y=mx+n相交于P(2,a)，则关于x的不等式x+1≤mx+n解集为______．
13.小明在用反证法解答“已知△ABC中，AB=AC，求证∠B<90°这道题时，写出了下面的四个推理步骤：
①又因为∠A>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B<90°；
③假设∠B≥90°；
④由AB=AC，得∠B=∠C，所以∠C≥90°；
请写出这四个步骤正确的顺序______．
14.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，又知AE=6，AF=9，∠EAF=60°，则▱ABCD的周长是______．
15.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α(0°
<α<180°)得到AC′，连接CC′，BC′.当△CBC′是等腰三角形(不含等腰直角三角形)时，α=______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解：
(1)9x2−1；
(2)−2ax2+8axy−8ay2．
17.(本小题8分)
解不等式组，并把解集表示在数轴上．2x−7<3(x−1)43x+3≥1−23x．
18.(本小题8分)
解分式方程：xx+1−2x−13x+3=1．
19.(本小题9分)
先化简：a2+2a+1a2−a÷(1+2a−1)，然后从−1，0，1，2这四个数中选一个合适的数代入求值．
20.(本小题9分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,2)．
(1)以点C为旋转中心，将△ABC旋转180°后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(0,−1)，请画出△A2B2C2．
(3)若将△A1B1C1绕点P旋转可得到△A2B2C2，则点P的坐标为
21.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E.连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．
(1)求证：四边形BFDG是平行四边形．
(2)若∠DAB=60°，AD=2，直接写出四边形BFDG的面积．
22.(本小题11分)
为庆祝五一劳动节，扮靛城市环境，某市计划购买两种花卉对中心广场进行美化.已知用600元购买A种花卉的盆数与用900元购买B种花卉的盆数相等，且B种花卉的单价比A种花卉的单价多3元．
(1)A，B两种花卉每盆各多少元？
(2)计划购买A，B两种花卉共2000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
23.(本小题12分)
已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=α，点D是边AC上一点(点D不与点A，C重合)，连接BD，将BD绕着点D顺时针旋转α，得到DE，连接CE．
(1)①如图1，当α=90°，点D是AC的中点时，请猜想：CE与AD数量关系是______；
②如图2，当α=90°，点D是AC边上任意一点时，①中的结论是否依然成立？说明理由．
(2)如图3，若α=60°，AC=4，直接写出△DEC的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握两者的定义是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；
C、x2−1=(x+1)(x−1)，正确；
D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．
故选：C．
根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵ED为△ABC的边AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∵△BCE的周长为8，
∴CE+BE+BC=8，
∴AE+BE+BC=8，
∴AB+BC=8，
∵AB=5，
∴BC=8−5=3，
故选：D．
根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，从而可得△BCE的周长=AB+BC=8，然后进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：延长CE交AB于G，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠GAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=∠AEG=90°，
在△AEC与△AEG中，
∠CAE=∠GAEAE=AE∠AEC=∠AEG，
∴△AEC≌△AEG(ASA)，
∴CE=GE，AG=AC=5，
∴BG=AB−AG=4，
∵F是BC的中点，
∴CF=BF，
∴EF=12BG=2，
故选：A．
延长CE交AB于G，根据角平分线的定义得到∠CAE=∠GAE，根据垂直的定义得到∠AEC=∠AEG=90°，根据全等三角形的性质得到CE=GE，AG=AC=5，求得BG=AB−AG=4，根据三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(1)、(2)，能使四边形ABCD是平行四边形；
∵AB//CD，BC//AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(1)、(3)，能使四边形ABCD是平行四边形；
∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(2)、(4)，能使四边形ABCD是平行四边形；
∵BC//AD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(3)、(4)，能使四边形ABCD是平行四边形；
∵由AB//CD，BC=AD不能确定四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(1)、(4)不能使四边形ABCD是平行四边形；
∵由AB=CD，BC//AD不能确定四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(2)、(3)不能使四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．
由AB//CD，AB=CD，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，故选择(1)、(2)，能使四边形ABCD是平行四边形；由AB//CD，BC//AD，可根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，故选择(1)、(3)，能使四边形ABCD是平行四边形；由AB=CD，BC=AD，可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，故选择(2)、(4)，能使四边形ABCD是平行四边形；由BC//AD，BC=AD，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，故选择(3)、(4)，能使四边形ABCD是平行四边形；再说明由AB//CD，BC=AD或AB=CD，BC//AD不能确定四边形ABCD是平行四边形，可知选择(1)、(4)或选择(2)、(3)不能使四边形ABCD是平行四边形，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的定义和判定定理的应用，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据分式的基本性质作答．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项，且扩大(缩小)的倍数不能为0．
7.【答案】C
【解析】解：原式=x+2(x−1)2，
当x≠1时，(x−1)2>0，
当x+2>0时，分式的值为正数，
∴x>−2且x≠1．
故选：C．
根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案．
本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：将原分式方程化简得：x−1=m，
解得：x=1+m，
∵分式方程有增根，
∴x+4=0，
解得：x=−4，
∴1+m=−4，
解得：m=−5．
故选：C．
将原分式方程化成整式方程，令x+4=0，解得x=−4，然后代入化简后的方程即可．
本题主要考查了分式方程的增根，熟知分式方程的增根使得最简公分母等于0是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC=8，
①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，
依题意得EQ=PD，
则：8−2t=6−t，
解得：t=2；
②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，
依题意得EQ=PD，
则：2t−8=6−t，
解得：t=143；
∴当运动时间t为2秒或143秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故选：D．
分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案．
此题考查平行四边形的判定，解一元一次方程，解答本题的关键在于掌握判定定理．
10.【答案】D
【解析】解：连接CD，作DG⊥AC于点G，
∵AC=BC=4，点D为AB的中点，
∴AD=BD，CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=12AB，∠A=∠B=45°，∠ACD=∠DCF=12∠ACB=45°，
∴DH=AH=CH=12AC=2，∠A=∠DCF，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF=90°−∠CDE，
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDFAD=CD∠A=∠DCF，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正确，②正确；
∵DE≥DH，
∴DE≥2，
∴DE的最小值是2，
∵EF= DE2+DF2= 2DE2= 2DE，
∴当DE最小=2时，EF最小=2 2，
∵CF+CE=AE+CE=AC=4，
∴EF+CF+CE的最小值是2 2+4，即△CEF周长的最小值是2 2+4，
故③正确；
∵S△ABC=12AC⋅BC=12×4×4=8，AD=BD，
∴S△ACD=S△BCD=12S△ABC=4，
∴S四边形DECF=S△CDF+S△CDE=S△ADE+S△CDE=S△ACD=4，
∴四边形DECF的面积是一个定值，
故④正确，
故选：D．
连接CD，作DG⊥AC于点G，由AC=BC=4，点D为AB的中点，得AD=BD，CD⊥AB，则∠ADC=90°，而∠ACB=90°，所以CD=AD=12AB，∠A=∠B=45°，∠ACD=∠DCF=45°，则DH=AH=CH=2，∠A=∠DCF，因为∠EDF=90°，所以∠ADE=∠CDF=90°−∠CDE，可证明△ADE≌△CDF，得AE=CF，DE=DF，可判断①正确，②正确；由DE≥DH，得DE≥2，求得DE的最小值是2，则EF最小=2 2，即可求得EF+CF+CE的最小值是2 2+4，可判断③正确；可求得S△ACD=S△BCD=12S△ABC=4，则S四边形DECF=S△ACD=4，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】八
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，(n−2)×180°=360°×3，
解得n=8，
则这个多边形的边数为8．
故答案为：八．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理和外角和定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是内角与外角的计算，多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，多边形的外角和等于360度．
12.【答案】x≤2
【解析】解：∵直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(2,a)，
∴观察图象可知：关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为x≤2．
故答案为：x≤2．
观察函数图象得到在点P的左边，直线l1：y=x+1都在直线l2：y=mx+n的下方，据此求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式，根据函数图象比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，利用数形结合的思想是解题的关键．
13.【答案】③④①②
【解析】解：假设∠B≥90°，
由AB=AC，得∠B=∠C，所以∠C≥90°，
又因为∠A>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以∠B<90°，
故这四个步骤正确的顺序是③④①②，
故答案为：③④①②．
根据反证法的一般步骤解答即可．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
14.【答案】20 3
【解析】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=∠AEC=∠AFD=∠AFC=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠C=360°−∠AEC−∠AFC−∠EAF=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴∠B=∠D=180°−∠C=60°，
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴BE=12AB，DF=12AD，
∵AE= AB2−BE2= AB2−(12AB)2= 32AB=6，
∴CD=AB=4 3，
∵AF= AD2−DF2= AD2−(12AD)2= 32AD=9，
∴BC=AD=6 3，
∴AB+CD+AD+BC=2(AB+CD)=2×(4 3+6 3)=20 3，
∴▱ABCD的周长是20 3，
故答案为：20 3．
由∠AEC=∠AFC=90°，∠EAF=60°，求得∠C=120°，则∠B=∠D=60°，所以∠BAE=∠DAF=30°，则BE=12AB，DF=12AD，可推导出AE= 32AB=6，则CD=AB=4 3，再推导出AF= 32AD=9，则BC=AD=6 3，即可求得▱ABCD的周长是20 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、四边形的内角和等于360°、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明∠B=∠D=60°是解题的关键．
15.【答案】30°或60°或150°
【解析】解：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，
∵CC′=BC′，C′D⊥BC，
∴CD=DB=12BC，
∵∠ACB=∠C′EC=∠C′DC=90°，
∴四边形CDC′E是矩形，
∴C′E=CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
由旋转得：AC′=AC，
∴C′E=12AC′，
∵∠AEC′=90°，
∴∠C′AC=30°，
即α=30°；
当CC′=BC时，如图2，
由旋转得：AC′=AC，
∵CC′=BC，AC=BC，
∴AC=AC′=CC′，
∴△ACC′是等边三角形，
∴∠CAC′=60°，
即α=60°；
当BC=BC′时，如图3，
由旋转得：AC′=AC，
∵BC=BC′=AC，
∴AC=BC=BC′=AC′，
∴四边形ACBC′是菱形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBC′是正方形，
∴∠CAC′=90°，
即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；
当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，
过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，
则∠AED=∠CDC′=∠ACB=90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∴AE=CD，∠CAE=90°，
∵CC′=BC′，C′D⊥BC，
∴CD=12BC，
由旋转得AC′=AC，
又∵AC=BC，
∴AE=12AC′，
∵∠AEC′=90°，
∴∠AC′E=30°，
∴∠C′AE=60°，
∴∠CAC′=90°+60°=150°，
即α=150°；
综上所述，α=30°或60°或150°．
分四种情况：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，可得C′E=12AC′，得出∠C′AC=30°，即α=30°；当CC′=BC时，如图2，可证得△ACC′是等边三角形，得出∠CAC′=60°，即α=60°；当BC=BC′时，如图3，可得出∠CAC′=90°，即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，得出AE=12AC′，∠AC′E=30°，进而求得∠CAC′=90°+60°=150°，即α=150°．
本题考查了等腰直角三角形性质，等腰三角形性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，掌握特殊三角形的性质，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)原式=(3x+1)(3x−1)；
(2)原式=−2a(x2−4xy+4y2)
=−2a(x−2y)2．
【解析】(1)根据平方差公式进行因式分解即可；
(2)先提公因式−2a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
17.【答案】解：2x−7<3(x−1)①43x+3≥1−23x②
解不等式①，得：x>−4，
解不等式②，得：x≥−1，
∴不等式组的解集为：x≥−1，
在数轴上表示为：
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到；不等式(组)的解集在数轴上表示的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式(组)的解集是解题的关键．
18.【答案】解：方程两边都乘3(x+1)，得
3x−2x+1=3x+3，
解得x=−1．
经检验x=−1不是原方程的解，是增根．
∴原方程无解．
【解析】本题的最简公分母是3(x+1).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
19.【答案】解：原式=(a+1)2a(a−1)÷(a−1a−1+2a−1)
=(a+1)2a(a−1)÷a+1a−1
=(a+1)2a(a−1)⋅a−1a+1
=a+1a，
由题意得：a≠0和±1，
当a=2时，原式=2+12=32．
【解析】根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作．
(3)△A1B1C1绕点P旋转可得到△A2B2C2，则点P点坐标为(−1,0)．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)根据点A和A2的坐标特征确定平移的方向和距离，利用次平移规律写出点B2、C2的坐标，然后描点即可；、
(3)连接A1A2、C1C2、B1B2，它们都经过点(−1,0)，从而得到旋转中心点P．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
21.【答案】(1)证明：∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC，
∴∠DAF=∠E，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=BA，
∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
在△ADF和△ECF中，
∠DAF=∠CEF∠DFA=∠CFEDF=CF，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴AF=EF，
又∵BE=BA，
∴BF⊥AE，
∵DG⊥AE，
∴DG//BF，
∵DF//BG，
∴四边形BFDG是平行四边形；
(2)解：∵∠DAB=60°，AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAE=30°，
∵DG⊥AE，AD=2，
∴DH=12AD=12×2=1，∠AHD=∠AHG=90°，
∴AH= AD2−DH2= 22−12= 3，
∠ADH=90°−∠DAH=90°−30°=60°，
∠AGH=90°−∠GAH=90°−30°=60°，
∴∠ADH=∠AGH=60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴DG=AD=2，
∵AB//DC，
∴∠DFA=∠BAE=30°，
∴∠DAF=∠DFA=30°，
∴DA=DF，
又∵DG⊥AE，
∴FH=AH= 3，
∴四边形BFDG的面积为：DG⋅FH=2 3，
即四边形BFDG的面积为2 3．
【解析】(1)根据角平分线的定义可得∠DAF=∠BAE，由平行四边形的性质得到AD//BC，AB//DC，由平行线的性质和等角对等边推出BE=BA，然后证明△ADF≌△ECF(AAS)，继而得出AF=EF，根据等腰三角形三线合一性质推出BF⊥AE，从而得出DG//BF，即可得证；
(2)根据30°角的直角三角形可得DH=1，根据勾股定理可得AH= 3，证明△ADG为等边三角形，可得DG=AD=2，再根据等腰三角形三线合一性质可得FH=AH= 3，最后根据平行四边形的面积公式即可得出结论．
本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，平行四边形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A种花卉每盆x元，则B种花卉每盆(x+3)元．
根据题意，得600x=900x+3，解得x=6．
经检验，x=6是原分式方程的解，
则x+3=6+3=9(元)，
∴A、B两种花卉每盆各6元和9元．
(2)设购买A种花卉a盆，则购买B种花卉(2000−a)盆，
∵A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，
∴a≤13(2000−a)，解得a≤500，
∴1≤a≤500，且a为正整数．
根据题意，购买这批花卉总费用w=6a+9(2000−a)=−3a+18000，
∵−3<0，
∴w随a的增大而减小，
∵1≤a≤500，且a为正整数，
∴当a=500时，w取最小值，此时w=−3×500+18000=16500，
即购买A种花卉500盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是16500元．
【解析】(1)设A种花卉每盆x元，则B种花卉每盆(x+3)元，列分式方程并求解即可；
(2)设购买A种花卉a盆，则购买B种花卉(2000−a)盆，根据题意求出a的取值范围，并将购买这批花卉总费用w表示为a的一次函数，根据a的系数判断w随a的增减情况，由a的取值范围确定当a取何值时w取最小值，将a代入函数关系式求出w的最小值即可．
本题考查一次函数及分式方程的应用，熟练掌握分式方程的解法及判断一次函数的增减性是解题的关键．
23.【答案】CE= 2AD
【解析】解：(1)①延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，如图所示：
则∠DFE=90°，
∵α=90°，
∴∠A=∠BDE=∠DFE=90°，
∴∠ABD+∠ADB=∠ADB+∠EDF=90°，
∴∠ABD=∠EDF，
根据旋转可知，BD=DE，
∴△ABD≌△FDE(AAS)，
∴AB=DF，EF=AD，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴AD+DC=DC+CF，
∴AD=CF，
∴AD=CF=EF，
∵∠CFE=90°，
∴CE= CF2+EF2= AD2+AD2= 2AD．
故答案为：CE= 2AD；
②成立；理由如下：
延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，如图所示：
则∠DFE=90°，
∵α=90°，
∴∠A=∠BDE=∠DFE=90°，
∴∠ABD+∠ADB=∠ADB+∠EDF=90°，
∴∠ABD=∠EDF，
根据旋转可知，BD=DE，
∴△ABD≌△FDE(AAS)，
∴AB=DF，EF=AD，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴AD+DC=DC+CF，
∴AD=CF，
∴AD=CF=EF，
∵∠CFE=90°，
∴CE= CF2+EF2= AD2+AD2= 2AD．
(2)连接BE，延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，如图所示：
∵α=60°，
∴∠A=∠BDE=60°，
∵AB=AC，BD=DE，
∴△ABC、△BDE都是等边三角形，
∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE，∠BCE=∠BAC=60°，
∴∠ECF=180°−∠BCE−∠ACB=60°，
∴∠CEF=90°−60°=30°，
∴CF=12CE，
∴EF= CE2−CF2= 32CE，
设AD=CE=x(0∴S△CDE=12CD⋅EF
=12(4−x)⋅ 32x
=− 34x2+ 3x
=− 34(x−4x+4)+ 3
=− 34(x−2)2+ 3，
∵(x−2)2≥0，
∴− 34(x−2)2≤0，
∴当x=2时，− 34(x−2)2+ 3最大，且最大值为 3，
∴△DEC的面积的最大值为 3．
(1)①延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，证明△ABD≌△FDE，得出AB=DF，EF=AD，证明DF=AC，得出AD+DC=DC+CF，即AD=CF，得出AD=CF=EF，根据勾股定理得出CE= CF2+EF2= AD2+AD2= 2AD．
②延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，证明△ABD≌△FDE，得出AB=DF，EF=AD，证明DF=AC，得出AD+DC=DC+CF，即AD=CF，得出AD=CF=EF，根据勾股定理得出CE= CF2+EF2= AD2+AD2= 2AD；
(2)连接BE，延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，证明△ABC、△BDE都是等边三角形，得出BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，证明△ABD≌△CBE，得出AD=CE，∠BCE=∠BAC=60°，求出∠ECF=180°−∠BCE−∠ACB=60°，得出∠CEF=90°−60°=30°，根据勾股定理得出EF= CE2−CF2= 32CE，设AD=CE=x(0本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形面积的计算，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明三角形全等．
1.如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. x(a−b)=ax−bxB. x2−1+y2=(x−1)(x+1)+y2
C. x2−1=(x+1)(x−1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c
3.如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC长( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
4.如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC=5，AB=9，则EF的长为( )
A. 2B. 2.4C. 3D. 3.5
5.点A、B、C、D在同一平面内，从(1)AB//CD，(2)AB=CD，(3)BC//AD，(4)BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有种．( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.下列分式变形正确的是( )
A. a2b2=abB. 2a2b=abC. 2a+14b=a+12bD. a+2b+2=ab
7.若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是( )
A. x>−2B. x<1C. x>−2且x≠1D. x>1
8.若关于x的分式方程xx+4−1x+4=mx+4有增根，则m的值为( )
A. 1B. −4C. −5D. −3
9.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动.设运动时间为t s，当以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为( )
A. 2B. 133C. 2或133D. 2或143
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且∠EDF=90°，则下列说法：
①AE=CF；
②△DEF是等腰直角三角形；
③△CEF周长的最小值是2 2+4；
④四边形DECF的面积是一个定值；
其中正确的序号是( )
A. ①③④B. ①②C. ②③D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是______边形．
12.如图，直线l1：y=x+1和直线l2：y=mx+n相交于P(2,a)，则关于x的不等式x+1≤mx+n解集为______．
13.小明在用反证法解答“已知△ABC中，AB=AC，求证∠B<90°这道题时，写出了下面的四个推理步骤：
①又因为∠A>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B<90°；
③假设∠B≥90°；
④由AB=AC，得∠B=∠C，所以∠C≥90°；
请写出这四个步骤正确的顺序______．
14.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，又知AE=6，AF=9，∠EAF=60°，则▱ABCD的周长是______．
15.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α(0°
<α<180°)得到AC′，连接CC′，BC′.当△CBC′是等腰三角形(不含等腰直角三角形)时，α=______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解：
(1)9x2−1；
(2)−2ax2+8axy−8ay2．
17.(本小题8分)
解不等式组，并把解集表示在数轴上．2x−7<3(x−1)43x+3≥1−23x．
18.(本小题8分)
解分式方程：xx+1−2x−13x+3=1．
19.(本小题9分)
先化简：a2+2a+1a2−a÷(1+2a−1)，然后从−1，0，1，2这四个数中选一个合适的数代入求值．
20.(本小题9分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,2)．
(1)以点C为旋转中心，将△ABC旋转180°后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(0,−1)，请画出△A2B2C2．
(3)若将△A1B1C1绕点P旋转可得到△A2B2C2，则点P的坐标为
21.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E.连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．
(1)求证：四边形BFDG是平行四边形．
(2)若∠DAB=60°，AD=2，直接写出四边形BFDG的面积．
22.(本小题11分)
为庆祝五一劳动节，扮靛城市环境，某市计划购买两种花卉对中心广场进行美化.已知用600元购买A种花卉的盆数与用900元购买B种花卉的盆数相等，且B种花卉的单价比A种花卉的单价多3元．
(1)A，B两种花卉每盆各多少元？
(2)计划购买A，B两种花卉共2000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
23.(本小题12分)
已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=α，点D是边AC上一点(点D不与点A，C重合)，连接BD，将BD绕着点D顺时针旋转α，得到DE，连接CE．
(1)①如图1，当α=90°，点D是AC的中点时，请猜想：CE与AD数量关系是______；
②如图2，当α=90°，点D是AC边上任意一点时，①中的结论是否依然成立？说明理由．
(2)如图3，若α=60°，AC=4，直接写出△DEC的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握两者的定义是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；
C、x2−1=(x+1)(x−1)，正确；
D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．
故选：C．
根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵ED为△ABC的边AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∵△BCE的周长为8，
∴CE+BE+BC=8，
∴AE+BE+BC=8，
∴AB+BC=8，
∵AB=5，
∴BC=8−5=3，
故选：D．
根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，从而可得△BCE的周长=AB+BC=8，然后进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：延长CE交AB于G，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠GAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=∠AEG=90°，
在△AEC与△AEG中，
∠CAE=∠GAEAE=AE∠AEC=∠AEG，
∴△AEC≌△AEG(ASA)，
∴CE=GE，AG=AC=5，
∴BG=AB−AG=4，
∵F是BC的中点，
∴CF=BF，
∴EF=12BG=2，
故选：A．
延长CE交AB于G，根据角平分线的定义得到∠CAE=∠GAE，根据垂直的定义得到∠AEC=∠AEG=90°，根据全等三角形的性质得到CE=GE，AG=AC=5，求得BG=AB−AG=4，根据三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(1)、(2)，能使四边形ABCD是平行四边形；
∵AB//CD，BC//AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(1)、(3)，能使四边形ABCD是平行四边形；
∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(2)、(4)，能使四边形ABCD是平行四边形；
∵BC//AD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(3)、(4)，能使四边形ABCD是平行四边形；
∵由AB//CD，BC=AD不能确定四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(1)、(4)不能使四边形ABCD是平行四边形；
∵由AB=CD，BC//AD不能确定四边形ABCD是平行四边形，
∴选择(2)、(3)不能使四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．
由AB//CD，AB=CD，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，故选择(1)、(2)，能使四边形ABCD是平行四边形；由AB//CD，BC//AD，可根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，故选择(1)、(3)，能使四边形ABCD是平行四边形；由AB=CD，BC=AD，可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，故选择(2)、(4)，能使四边形ABCD是平行四边形；由BC//AD，BC=AD，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，故选择(3)、(4)，能使四边形ABCD是平行四边形；再说明由AB//CD，BC=AD或AB=CD，BC//AD不能确定四边形ABCD是平行四边形，可知选择(1)、(4)或选择(2)、(3)不能使四边形ABCD是平行四边形，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的定义和判定定理的应用，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据分式的基本性质作答．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项，且扩大(缩小)的倍数不能为0．
7.【答案】C
【解析】解：原式=x+2(x−1)2，
当x≠1时，(x−1)2>0，
当x+2>0时，分式的值为正数，
∴x>−2且x≠1．
故选：C．
根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案．
本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：将原分式方程化简得：x−1=m，
解得：x=1+m，
∵分式方程有增根，
∴x+4=0，
解得：x=−4，
∴1+m=−4，
解得：m=−5．
故选：C．
将原分式方程化成整式方程，令x+4=0，解得x=−4，然后代入化简后的方程即可．
本题主要考查了分式方程的增根，熟知分式方程的增根使得最简公分母等于0是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC=8，
①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，
依题意得EQ=PD，
则：8−2t=6−t，
解得：t=2；
②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，
依题意得EQ=PD，
则：2t−8=6−t，
解得：t=143；
∴当运动时间t为2秒或143秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故选：D．
分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案．
此题考查平行四边形的判定，解一元一次方程，解答本题的关键在于掌握判定定理．
10.【答案】D
【解析】解：连接CD，作DG⊥AC于点G，
∵AC=BC=4，点D为AB的中点，
∴AD=BD，CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=12AB，∠A=∠B=45°，∠ACD=∠DCF=12∠ACB=45°，
∴DH=AH=CH=12AC=2，∠A=∠DCF，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF=90°−∠CDE，
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDFAD=CD∠A=∠DCF，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正确，②正确；
∵DE≥DH，
∴DE≥2，
∴DE的最小值是2，
∵EF= DE2+DF2= 2DE2= 2DE，
∴当DE最小=2时，EF最小=2 2，
∵CF+CE=AE+CE=AC=4，
∴EF+CF+CE的最小值是2 2+4，即△CEF周长的最小值是2 2+4，
故③正确；
∵S△ABC=12AC⋅BC=12×4×4=8，AD=BD，
∴S△ACD=S△BCD=12S△ABC=4，
∴S四边形DECF=S△CDF+S△CDE=S△ADE+S△CDE=S△ACD=4，
∴四边形DECF的面积是一个定值，
故④正确，
故选：D．
连接CD，作DG⊥AC于点G，由AC=BC=4，点D为AB的中点，得AD=BD，CD⊥AB，则∠ADC=90°，而∠ACB=90°，所以CD=AD=12AB，∠A=∠B=45°，∠ACD=∠DCF=45°，则DH=AH=CH=2，∠A=∠DCF，因为∠EDF=90°，所以∠ADE=∠CDF=90°−∠CDE，可证明△ADE≌△CDF，得AE=CF，DE=DF，可判断①正确，②正确；由DE≥DH，得DE≥2，求得DE的最小值是2，则EF最小=2 2，即可求得EF+CF+CE的最小值是2 2+4，可判断③正确；可求得S△ACD=S△BCD=12S△ABC=4，则S四边形DECF=S△ACD=4，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】八
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，(n−2)×180°=360°×3，
解得n=8，
则这个多边形的边数为8．
故答案为：八．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理和外角和定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是内角与外角的计算，多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，多边形的外角和等于360度．
12.【答案】x≤2
【解析】解：∵直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(2,a)，
∴观察图象可知：关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为x≤2．
故答案为：x≤2．
观察函数图象得到在点P的左边，直线l1：y=x+1都在直线l2：y=mx+n的下方，据此求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式，根据函数图象比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，利用数形结合的思想是解题的关键．
13.【答案】③④①②
【解析】解：假设∠B≥90°，
由AB=AC，得∠B=∠C，所以∠C≥90°，
又因为∠A>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以∠B<90°，
故这四个步骤正确的顺序是③④①②，
故答案为：③④①②．
根据反证法的一般步骤解答即可．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
14.【答案】20 3
【解析】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=∠AEC=∠AFD=∠AFC=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠C=360°−∠AEC−∠AFC−∠EAF=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴∠B=∠D=180°−∠C=60°，
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴BE=12AB，DF=12AD，
∵AE= AB2−BE2= AB2−(12AB)2= 32AB=6，
∴CD=AB=4 3，
∵AF= AD2−DF2= AD2−(12AD)2= 32AD=9，
∴BC=AD=6 3，
∴AB+CD+AD+BC=2(AB+CD)=2×(4 3+6 3)=20 3，
∴▱ABCD的周长是20 3，
故答案为：20 3．
由∠AEC=∠AFC=90°，∠EAF=60°，求得∠C=120°，则∠B=∠D=60°，所以∠BAE=∠DAF=30°，则BE=12AB，DF=12AD，可推导出AE= 32AB=6，则CD=AB=4 3，再推导出AF= 32AD=9，则BC=AD=6 3，即可求得▱ABCD的周长是20 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、四边形的内角和等于360°、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明∠B=∠D=60°是解题的关键．
15.【答案】30°或60°或150°
【解析】解：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，
∵CC′=BC′，C′D⊥BC，
∴CD=DB=12BC，
∵∠ACB=∠C′EC=∠C′DC=90°，
∴四边形CDC′E是矩形，
∴C′E=CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
由旋转得：AC′=AC，
∴C′E=12AC′，
∵∠AEC′=90°，
∴∠C′AC=30°，
即α=30°；
当CC′=BC时，如图2，
由旋转得：AC′=AC，
∵CC′=BC，AC=BC，
∴AC=AC′=CC′，
∴△ACC′是等边三角形，
∴∠CAC′=60°，
即α=60°；
当BC=BC′时，如图3，
由旋转得：AC′=AC，
∵BC=BC′=AC，
∴AC=BC=BC′=AC′，
∴四边形ACBC′是菱形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBC′是正方形，
∴∠CAC′=90°，
即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；
当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，
过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，
则∠AED=∠CDC′=∠ACB=90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∴AE=CD，∠CAE=90°，
∵CC′=BC′，C′D⊥BC，
∴CD=12BC，
由旋转得AC′=AC，
又∵AC=BC，
∴AE=12AC′，
∵∠AEC′=90°，
∴∠AC′E=30°，
∴∠C′AE=60°，
∴∠CAC′=90°+60°=150°，
即α=150°；
综上所述，α=30°或60°或150°．
分四种情况：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，可得C′E=12AC′，得出∠C′AC=30°，即α=30°；当CC′=BC时，如图2，可证得△ACC′是等边三角形，得出∠CAC′=60°，即α=60°；当BC=BC′时，如图3，可得出∠CAC′=90°，即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，得出AE=12AC′，∠AC′E=30°，进而求得∠CAC′=90°+60°=150°，即α=150°．
本题考查了等腰直角三角形性质，等腰三角形性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，掌握特殊三角形的性质，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)原式=(3x+1)(3x−1)；
(2)原式=−2a(x2−4xy+4y2)
=−2a(x−2y)2．
【解析】(1)根据平方差公式进行因式分解即可；
(2)先提公因式−2a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
17.【答案】解：2x−7<3(x−1)①43x+3≥1−23x②
解不等式①，得：x>−4，
解不等式②，得：x≥−1，
∴不等式组的解集为：x≥−1，
在数轴上表示为：
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到；不等式(组)的解集在数轴上表示的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式(组)的解集是解题的关键．
18.【答案】解：方程两边都乘3(x+1)，得
3x−2x+1=3x+3，
解得x=−1．
经检验x=−1不是原方程的解，是增根．
∴原方程无解．
【解析】本题的最简公分母是3(x+1).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
19.【答案】解：原式=(a+1)2a(a−1)÷(a−1a−1+2a−1)
=(a+1)2a(a−1)÷a+1a−1
=(a+1)2a(a−1)⋅a−1a+1
=a+1a，
由题意得：a≠0和±1，
当a=2时，原式=2+12=32．
【解析】根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作．
(3)△A1B1C1绕点P旋转可得到△A2B2C2，则点P点坐标为(−1,0)．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)根据点A和A2的坐标特征确定平移的方向和距离，利用次平移规律写出点B2、C2的坐标，然后描点即可；、
(3)连接A1A2、C1C2、B1B2，它们都经过点(−1,0)，从而得到旋转中心点P．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
21.【答案】(1)证明：∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC，
∴∠DAF=∠E，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=BA，
∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
在△ADF和△ECF中，
∠DAF=∠CEF∠DFA=∠CFEDF=CF，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴AF=EF，
又∵BE=BA，
∴BF⊥AE，
∵DG⊥AE，
∴DG//BF，
∵DF//BG，
∴四边形BFDG是平行四边形；
(2)解：∵∠DAB=60°，AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAE=30°，
∵DG⊥AE，AD=2，
∴DH=12AD=12×2=1，∠AHD=∠AHG=90°，
∴AH= AD2−DH2= 22−12= 3，
∠ADH=90°−∠DAH=90°−30°=60°，
∠AGH=90°−∠GAH=90°−30°=60°，
∴∠ADH=∠AGH=60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴DG=AD=2，
∵AB//DC，
∴∠DFA=∠BAE=30°，
∴∠DAF=∠DFA=30°，
∴DA=DF，
又∵DG⊥AE，
∴FH=AH= 3，
∴四边形BFDG的面积为：DG⋅FH=2 3，
即四边形BFDG的面积为2 3．
【解析】(1)根据角平分线的定义可得∠DAF=∠BAE，由平行四边形的性质得到AD//BC，AB//DC，由平行线的性质和等角对等边推出BE=BA，然后证明△ADF≌△ECF(AAS)，继而得出AF=EF，根据等腰三角形三线合一性质推出BF⊥AE，从而得出DG//BF，即可得证；
(2)根据30°角的直角三角形可得DH=1，根据勾股定理可得AH= 3，证明△ADG为等边三角形，可得DG=AD=2，再根据等腰三角形三线合一性质可得FH=AH= 3，最后根据平行四边形的面积公式即可得出结论．
本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，平行四边形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A种花卉每盆x元，则B种花卉每盆(x+3)元．
根据题意，得600x=900x+3，解得x=6．
经检验，x=6是原分式方程的解，
则x+3=6+3=9(元)，
∴A、B两种花卉每盆各6元和9元．
(2)设购买A种花卉a盆，则购买B种花卉(2000−a)盆，
∵A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，
∴a≤13(2000−a)，解得a≤500，
∴1≤a≤500，且a为正整数．
根据题意，购买这批花卉总费用w=6a+9(2000−a)=−3a+18000，
∵−3<0，
∴w随a的增大而减小，
∵1≤a≤500，且a为正整数，
∴当a=500时，w取最小值，此时w=−3×500+18000=16500，
即购买A种花卉500盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是16500元．
【解析】(1)设A种花卉每盆x元，则B种花卉每盆(x+3)元，列分式方程并求解即可；
(2)设购买A种花卉a盆，则购买B种花卉(2000−a)盆，根据题意求出a的取值范围，并将购买这批花卉总费用w表示为a的一次函数，根据a的系数判断w随a的增减情况，由a的取值范围确定当a取何值时w取最小值，将a代入函数关系式求出w的最小值即可．
本题考查一次函数及分式方程的应用，熟练掌握分式方程的解法及判断一次函数的增减性是解题的关键．
23.【答案】CE= 2AD
【解析】解：(1)①延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，如图所示：
则∠DFE=90°，
∵α=90°，
∴∠A=∠BDE=∠DFE=90°，
∴∠ABD+∠ADB=∠ADB+∠EDF=90°，
∴∠ABD=∠EDF，
根据旋转可知，BD=DE，
∴△ABD≌△FDE(AAS)，
∴AB=DF，EF=AD，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴AD+DC=DC+CF，
∴AD=CF，
∴AD=CF=EF，
∵∠CFE=90°，
∴CE= CF2+EF2= AD2+AD2= 2AD．
故答案为：CE= 2AD；
②成立；理由如下：
延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，如图所示：
则∠DFE=90°，
∵α=90°，
∴∠A=∠BDE=∠DFE=90°，
∴∠ABD+∠ADB=∠ADB+∠EDF=90°，
∴∠ABD=∠EDF，
根据旋转可知，BD=DE，
∴△ABD≌△FDE(AAS)，
∴AB=DF，EF=AD，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴AD+DC=DC+CF，
∴AD=CF，
∴AD=CF=EF，
∵∠CFE=90°，
∴CE= CF2+EF2= AD2+AD2= 2AD．
(2)连接BE，延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，如图所示：
∵α=60°，
∴∠A=∠BDE=60°，
∵AB=AC，BD=DE，
∴△ABC、△BDE都是等边三角形，
∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE，∠BCE=∠BAC=60°，
∴∠ECF=180°−∠BCE−∠ACB=60°，
∴∠CEF=90°−60°=30°，
∴CF=12CE，
∴EF= CE2−CF2= 32CE，
设AD=CE=x(0
=12(4−x)⋅ 32x
=− 34x2+ 3x
=− 34(x−4x+4)+ 3
=− 34(x−2)2+ 3，
∵(x−2)2≥0，
∴− 34(x−2)2≤0，
∴当x=2时，− 34(x−2)2+ 3最大，且最大值为 3，
∴△DEC的面积的最大值为 3．
(1)①延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，证明△ABD≌△FDE，得出AB=DF，EF=AD，证明DF=AC，得出AD+DC=DC+CF，即AD=CF，得出AD=CF=EF，根据勾股定理得出CE= CF2+EF2= AD2+AD2= 2AD．
②延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，证明△ABD≌△FDE，得出AB=DF，EF=AD，证明DF=AC，得出AD+DC=DC+CF，即AD=CF，得出AD=CF=EF，根据勾股定理得出CE= CF2+EF2= AD2+AD2= 2AD；
(2)连接BE，延长AC，过点E作EF⊥AC于点F，证明△ABC、△BDE都是等边三角形，得出BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，证明△ABD≌△CBE，得出AD=CE，∠BCE=∠BAC=60°，求出∠ECF=180°−∠BCE−∠ACB=60°，得出∠CEF=90°−60°=30°，根据勾股定理得出EF= CE2−CF2= 32CE，设AD=CE=x(0
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