2022-2023学年河南省郑州市中牟县枫杨外国语八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省郑州市中牟县枫杨外国语八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列关系式中，哪些是一元一次不等式(    )
，，，，，．

A.  B.  C.  D.

3.  已知，下列式子不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，把一个含角的直角三角板放在一个直尺上，直角边，，斜边与直尺的两边分别交于点，，和已知是等边三角形，，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在边长为的小正方形网格中，为上任一点，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列命题：同旁内角互补，两直线平行；若，则；锐角与钝角互为补角；相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线”他这样做的依据是(    )

A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点

8.  若不等式组的解是，则下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，是上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，则下列结论正确的是(    )
；；是等边三角形；若，．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  将点向上平移个单位到点，且点在轴上，那么点坐标为______ ．

12.  若多项式分解因式的结果为，则的值为______．

13.  在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______ ．

14.  若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是______ ．

15.  如图，，，，，点和点从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当点运动到 ______ ，与全等．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
因式分解：；
解不等式：．

17.  本小题分
解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
 

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标；
将绕点按顺时针方向旋转得到，作出．

19.  本小题分
如图，点是中一点，于点，于点，连接，．
求证：平分；
若，，求的面积．

20.  本小题分
在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：

完成下列任务：
例题中第二步到第三步运用了因式分解的______ ；填序号
提取公因式；
平方差公式；
两数和的完全平方公式；
两数差的完全平方公式；
请你模仿以上例题分解因式：．

21.  本小题分
为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元．
求、两种品牌足球的单价各多少元？
根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的足球个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，种品牌的足球单价优惠元，种品牌的足球单价打折如果此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？

22.  本小题分
定义运算：当时，；当时，如：；；根据该定义运算完成下列问题：
______ ，当时， ______ ．
若，求的取值范围；
如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
【问题探究】
如图，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请直接写出和的数量关系．
【深入探究】
如图，锐角中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接、，试猜想与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
如图，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求的长；
【解决问题】
如图，在四边形中，，，，，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是一元一次不等式；
是一元一次不等式；
中含有两个未知数，不是一元一次不等式；
是等式，不是一元一次不等式；
中不是整式，因此不是一元一次不等式；
中未知数的指数是，不是，所以不是一元一次不等式；
综上分析可知，一元一次不等式有，故B正确．
故选：．
根据一元一次不等式的定义逐项判断即可．
本题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是，未知数的系数不为，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；
C、，
，
；故C成立，不符合题意；
D、，，
，故D不成立，符合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质即可进行解答．
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式性质：不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质：不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：过点作于，
，

是等边三角形，，
，
又，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据是等边三角形和，可推出，过点作，从而求得．
本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直接三角形，熟练掌握有关的性质和判定是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：与是直角三角形，，，
，，
．
故选：．
先根据勾股定理用，表示出，用，表示出，再把，代入进行计算即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
【解答】
解：同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题；
若，则的逆命题是若，则是真命题；
锐角与钝角互为补角的逆命题是互补的角是锐角与钝角，是假命题；
相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，点到射线的距离是直尺的宽度，点到射线的距离也是直尺的宽度，
点到射线，的距离相等，
点在的平分线上在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
故选：．
由题意可知，点到射线，的距离相等，则点在的平分线上，即可得出答案．
本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为，
．
故选：．
根据不等式组取解集的方法确定出所求即可．
此题考查了不等式的解集，不等式组取解集的方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
 

9.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长




，
故选：．
利用角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，
符合题意；
，，
，，
，
符合题意；
，，但不能判定是等边三角形，
不符合题意；
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
不符合题意；
故选：．
由，，得出，可判断；由可证明，可判断；可证明是等腰三角形但不能证明是等边三角形，可判定；由，可求出，进而得出，继而证出，可判断；即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将点向上平移个单位长度得到点，
，即，
点在轴上，
，
解得：，
点的坐标为．
故答案为：．
根据上下平移时横坐标不变，纵坐标上移加、下移减，可得点，再根据轴上的点纵坐标为可得，算出的值，可得点的坐标．
本题主要考查了坐标系中点的平移，解题的关键是掌握平移时点的坐标的变化规律“横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减”．
 

12.【答案】 

【解析】解：


所以，，
则．
故答案为：．
利用整式的乘法计算，按二次项、一次项、常数项整理，与多项式对应，得出、的值代入即可．
此题考查利用整式的计算方法，计算出的代数式与因式分解前代数式比较，得出结论，进一步解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图象可知，关于的不等式的解集为，
故答案为：．
根据两个一次函数的图象交点横坐标为，进一步可得不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
又不等式组有四个整数解，即，，，，
，
解得：．
故答案为：．
先解不等式组，求得不等式组的解集含字母，然后根据不等式组有个整数解得到，从而可求得的范围．
本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．
 

15.【答案】或 

【解析】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．
分两种情况：当时；当时；由“”证明和全等即可得出结果．
解：，
，
．
分两种情况：
当时，
在和中，

≌；
当时，
在和中，

≌；
综上所述：当点运动到或时，与全等．
故答案为：或．
 

16.【答案】解：

；
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化，得． 

【解析】先提，然后利用完全平方公式分解因式即可；
先去分母，再去括号、移项，然后合并后把的系数化为即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：灵活运用因式分解得方法是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式．
 

17.【答案】解：，
由得，，
由得，，
故不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．
 

18.【答案】解：由和可知其平移规律为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，如图所示即为所求，点，；
如图：即为所求．
 

【解析】根据平移前后点坐标和的坐标可画出图形，进而得到坐标即可；
将三角形三个顶点分别绕点顺时针旋转得到对应点，连接即可．
本题考查了旋转变换和平移变换，结合旋转的角度和图形的特殊性求出旋转后的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
．
，，
平分．
即是的平分线．
解：，，，
．
，
是等边三角形，
的面积，
，
，
的面积，
的面积的面积的面积． 

【解析】根据等角对等边得，再由角平分线的性质的逆定理可得结论；
由含角的直角三角形的性质和三角形的面积可得答案．
此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的性质解答．
 

20.【答案】 

【解析】解：例题中第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式，
故答案为：；

设，
原式



．
根据因式分解的公式法，即可求解；
设，将原式转化为，得到；再将代入，即可求解．
本题考查因式分解的知识，解题的关键是能够读懂题目给出的例子，并结合所学知识进行解决问题．
 

21.【答案】解：设种品牌足球的单价是元，种品牌足球的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：种品牌足球的单价是元，种品牌足球的单价是元；
设购买个种品牌的足球，则购买个种品牌的足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，
共有种购买方案，
方案：购买个种品牌的足球，个种品牌的足球，总费用为元；
方案：购买个种品牌的足球，个种品牌的足球，总费用为元．
，
为了节约资金，学校应选择购买方案，即购买个种品牌的足球，个种品牌的足球． 

【解析】设种品牌足球的单价是元，种品牌足球的单价是元，根据“购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共需元，种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个种品牌的足球，则购买个种品牌的足球，根据“此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，可得出共有种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

22.【答案】   

【解析】解：根据定义，得，
当时，，
故答案为：，；

，
，
解得；

，
根据图象，可得的取值范围：．
根据的定义，即可求解；
根据图象，结合的定义即可．
本题是两直线相交问题，考查了新定义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，能够求得交点坐标并理解新定义的含义是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：结论：，
理由如下：，
，即，
在和中，
，
≌，
；

结论：．
理由是：，
，即，
在和中，
，
≌，
；

在的上方作等腰直角，使得，，连接．

，

是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，，
≌，
，
；

如图中，在是上方作等边，

，，
是等边三角形，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
的最大值为． 

【解析】首先根据等式的性质证明，则根据即可证明≌，根据全等三角形的性质即可证明．
首先根据等式的性质证明，则根据即可证明≌，根据全等三角形的性质即可证明；
在的上方作等腰直角，使得，，连接，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，得出；
如图中，在是上方作等边，证明，求出的取值范围，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．