2022-2023学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在学习图形变化的简单应用这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角

3. 把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为，请问这个多边形原来的边数为(    )

A.  B.  C.  D. 以上都有可能

4. 为响应国家传统文化进校园的号召，某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生．某文具超市为让利给学校，经过两次降价，每支毕加索笔单价由元降为元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程得(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知关于的方程的解是正整数，且为整数，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，，为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以，为顶点的格点矩形共可以画出(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10. 如图，正方形的边长为，为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，连接、，下列结论：；；；；其中在确结论有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 对于非零的两个实数，，规定，那么将进行分解因式的结果为______ ．
12. 已知关于的不等式组无实数解，则的取值范围是______．
13. 已知∽，和是它们的对应角平分线，若：：，的周长为，则的周长是______．
14. 如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则 ______ ．

15. 如图，矩形中，点、分别是边和的中点，沿过点的直线折叠矩形使点落在线段上的点处，折痕交边于点，交线段于点，若长为，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
17. 本小题分
    先化简，然后从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
18. 本小题分
    如图，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是，其顶点叫做格点，的顶点都在格点上，，，三点的坐标分别为，，．
    将向右平移个单位长度，得到，画出；不写作法，写出结论，其中点、、的对应点分别为、、
    以点为对称中心，画出的中心对称图形；不写作法，写出结论，其中点、、的对应点分别为、、
    直接填空：在问的平移过程中，扫过的图形面积为______面积单位．

19. 本小题分
    已知：关于的一元二次方程．
    证明无论取何值时方程总有两个实数根．
    中，，、的长是这个方程的两个实数根，求为何值时，是等腰三角形？
20. 本小题分
    已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．
    四边形的形状是______ ；
    证明你的结论．
    当、满足______ 时，四边形是菱形．
    当、满足______ 时，四边形是矩形．
    当、满足______ 时，四边形是正方形．

21. 本小题分
    某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买件种奖品和件种奖品共需元；购买件种奖品和件种奖品共需元．
    求，两种奖品的单价各是多少元？
    学校准备购买，两种奖品共件，奖品的数量不少于奖品数量的，且购买总费用不超过元．设购买种奖品件，购买总费用为元，求与的函数关系式；当购买种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？
22. 本小题分
    【感知】如图在中，点为边延长线上的点，若，过点作交延长线于点若，求的长．
    
    【探究】如图，在中，点是边上的点，点为边的中点，连接、交于点，若，小明尝试探究的值在图中小明过点作交于点，易证∽，则，从而得到的值为______ ，易证∽，则，从而得到的值为______ ，从而得到的值为______ ．
    【应用】如图，在中，点是边上的点，为边延长线上的点，连接，延长，交于点若，，且的面积为，则的面积为______ ．
23. 本小题分
    在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段连接交轴于点．
    求点的坐标；
    为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标．
    点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查中心对称图形，轴对称图形的知识，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选A．
根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
本题考查了正方形和矩形的性质，熟记性质并正确区分是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设多边形截去一个角的边数为，
则，
解得，
截去一个角后边上可以增加，不变，减少，
原多边形的边数是或或．
故选：．
先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加，不变，减少讨论得解．
本题考查了多边形的内角和公式，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况．
 

4.【答案】 

【解析】解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：．
故选：．
设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，找出降价后的价格与原价之间的关系为：降价后原价降价率是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的解法．由解为正整数、为整数确定的值是解决本题的关键．本题易错，只考虑解为正整数，而忽略时分式无意义．
解给出的分式方程，用含的代数式表示再根据解为正整数、为整数求出的值．
【解答】
解：方程去分母，得，
即，
，
因为原分式方程的解为正整数，且．
所以、、、、、、、，
又因为为整数，
所以或．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出的长度．首先根据菱形的性质求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，进而得到点的坐标．
【解答】
解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，
，
，
，
点的坐标是．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线交于点，
，
，是角平分线，
，
，，
，
根据勾股定理，得，
的周长，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得的长，进一步即可求出的周长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
将沿翻折至，
，，
，
，
，，，
，，
，，
．
故选：．
根据平行四边形的性质得，，可证出，，根据翻折可得，，进而可得，从而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理即可得的长．
本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含，角的直角三角形三边关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：
以为对角线的格点矩形有个，
以为边的格点矩形有个，
以，为顶点的格点矩形共可以画出个，
故选：．
画出以，为顶点的格点矩形，即可求解．
本题考查了矩形的判定，画出以，为顶点的格点矩形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，故正确；
如图，延长，交于点，过点作于，

点是中点，
，
，
，
又，
≌，
，
，
又，
，
，故正确；
≌，
，，
，
，
，
，
，
，故错误；
点不是的中点，
，
，
，
，
，故错误；
，
，
，
，
，
，故正确；
故选：．
由“”可证≌，可得，故正确；延长，交于点，由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可证，故正确；利用勾股定理可求的长，由面积法可求，故错误；由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，故错误；分别求出，的长，可得，故正确；即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组无实数解，
，
解得，
故答案为：．
先解出各个不等式，再根据原不等式组无实数解列出关于的不等式，即可解得答案．
本题考查解不等式组，解题的关键是掌握取不等式公共解集的方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：∽，和是它们的对应角平分线，：：，
与的相似比为：，
，
的周长为，
，
解得：．
故答案为：．
根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比求解即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：延长、交于，

是的中点，是的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中
，
≌，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得：经检验，符合题意，
故答案为：．
延长、交于，根据已知条件得出，，根据平行四边形的性质得出，，根据全等三角形的判定得出≌，根据全等三角形的性质得出，求出，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．
本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由折叠而成，
≌，
，，，
是的中点，
，
，，
，
，
在中，
，
，
，
是的外角，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
先根据由折叠而成可知≌，故，，，由于是的中点可知故，所以，故，在中，由直角三角形的性质可得出的长，再由三角形外角的性质即可得出，故可得出是等边三角形，故可得出结论．
本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，即，
解得：，
经检验，是原方程的解；
，
，
，即，
，
，． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
利用配方法解方程．
本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能正确配方是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
或时，原式无意义，
只能取或，
当时，原式当时，原式 

【解析】小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到的取值，代入求值即可．
本题考查了分式的化简求值，把整式看成分母是的分数，进行通分是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
，
由平移知，扫过的面积为平行四边形的面积，
故答案为：．
根据平移的性质，可画出；
根据中心对称的性质，可画出；
根据平移的性质知，扫过的面积为平行四边形的面积，从而解决问题．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，图形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
无论取何值时方程总有两个实数根．
解：方程的解为：
，即，，
、是方程的两个实数根，
，
，
当，或时，是等腰三角形，
或，
故当为或时，是等腰三角形． 

【解析】表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；
由得到，分与两种情况求出的值即可．
此题考查了根与系数的关系，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】平行四边形      ， 

【解析】解：结论：四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
连接，，
四边形中，、、、分别为、、、的中点，
，，
，
同理：，
四边形是平行四边形．

当时，四边形是矩形．
由得：四边形是平行四边形，
，，
，

四边形是矩形．
故答案为：．
当时，四边形是菱形．
，，
，
四边形是菱形；
故答案为：．
当且时，四边形是正方形．
时，四边形是矩形，时，四边形是菱形，
四边形是正方形．
故答案为：，．
猜想：四边形是平行四边形．
连接，，根据两组对边分别平的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形．
根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
根据有一个角是直角，邻边相等的平行四边形是正方形证明即可．
本题考查中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定等知识，熟记各定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：设的单价为元，的单价为元，根据题意得：
，
．
的单价元，的单价元．
设购买奖品个，则购买奖品为个，
由题意可知，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为元．
购买种奖品件时，购买总费用最少；总费用最少是元． 

【解析】设种奖品的单价是元，种奖品的单价是元，根据“钱数种奖品单价数量种奖品单价数量”可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
设购买种奖品件，则购买种奖品件，根据购买费用不超过元，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围，再结合数量关系即可得出与之间的函数关系，根据一次函数的性质既可以解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】     

【解析】解：【感知】如图中，

，
∽，
，

．

【探究】如图中，过点作交于．

，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，，则，
，
．
故答案为：，，．

【应用】如图中，连接，作交于．

，
，
，
，
设，，则，，
，
，，，
，，
，，
，
．
故答案为：
【感知】由，推出∽，可得，由此求出即可．
【探究】点作交于点，易证∽，则，从而得到的值为，易证∽，则，从而得到的值为，从而得到的值为．
【应用】如图中，连接，作交于想办法证明：：，求出的面积，即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定，平行线等分线段定理，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用此时解决问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】解：令，则，
，
令，则，
，
，，
过点作轴于，
，，
，
，
由旋转得，
≌，
，，
，
点的坐标为；
作点关于轴的对称点，连接延长交轴于点，则点就是所求的最大值点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
，，，
可求直线的解析式为，直线的解析式为，
，
设，，
以为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】过点作轴于，证明≌，可得，，即可求点坐标；
作点关于轴的对称点，连接延长交轴于点，则点就是所求的最大值点，用待定系数法求出直线的解析式即可求点坐标；
分别求出求直线的解析式为，直线的解析式为，则，设，，分三种情况讨论：以为平行四边形的对角线时，可得；当为平行四边形的对角线时，可得；当为平行四边形的对角线时，可得．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．