2022年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校中考数学模拟试卷（含解析）

2022年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校中考数学模拟试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 教育部消息，届高校毕业生规模预计万人，同比增加万，规模和增量均创历史新高．数据万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，是等边三角形，两个锐角都是的三角尺的一条直角边在上，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，三角形的边在轴的正半轴上，点是原点，点的坐标为，把三角形沿轴向右平移个单位长度，得到三角形，连接，，若三角形的面积为，则图中阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D.

8. 年月日，河南南阳免费开放“诸葛书屋”，推动全民读书风潮．九班借此开展书籍共享活动．甲对乙说：“若你的藏书给我本，我的藏书数量是你藏书数量的倍”，乙对甲说：“若你的藏书给我本，你我藏书的数量就相同了”设甲藏书本，乙藏书本，根据题意可列方程组为

A.  B.
C.  D.

9. 在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，顶点，，连接按照下列方法作图：以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点；做射线交于，则点的横坐标为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，菱形的边长为，，点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点停止；点同时从点出发，以的速度沿运动，到达点停止．设点运动时，的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象是

A.  B.
C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 写出一个比大且比小的无理数是______．
12. 不等式组的最大整数解为______．
13. 甲袋中装有红、白两球，乙袋中装有两个红球和一个白球，两袋的球除颜色不同外其他都相同，如果分别从两个袋中各摸一球，则从两个袋中摸出的球都是白球的概率是______ ．
14. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，则点到直线的最短距离是______．
15. 如图，在边长为的正方形中，点为边上的一动点，点为边上一定点，且，将沿着直线对折，若点的对应点恰巧落在正方形的对角线上，则的长度为______．
    
     

三．计算题（本题共1小题，共9分）

16. 解方程：．
    化简：
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共7小题，共66分）

17. 随着年全国两会的隆重召开，中学生对时事新闻的关注空前高涨，某校为了解中学生对时事新闻的关注情况，组织全校九年级学生开展“时事新闻大比拼”比赛，随机抽取九年级的名学生的成绩满分为分整理统计如下：
    收集数据：名学生的成绩满分为分统计如下单位；分：
    ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
    整理数据：按如下分组整理样本数据并补全表格：

分析数据：补充完成下面的统计分析表：

得出结论
若全校九年级有名学生，请估计全校九年级有多少学生成绩达到分及以上；
若八年级的平均数为分，中位数为分，方差为，请你分别从平均数，中位数和方差三个方面做出评价，你认为哪个年级的成绩较好？






 

18. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于，两点，交反比例函数图象于，两点．
    求直线的表达式；
    点是线段上一点，若，求点的坐标；
    请你根据图象直接写出不等式的解集．

19. 如图，分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架与支架所成的角，点、、在同一条直线上，支架段的长为米，段的长为米，篮板底部水平支架的长为米，篮板顶端到地面的距离为米．
    求篮板底部支架与支架所成的角的度数．
    求底座的长结果精确到米；参考数据：，，，，

20. 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为万元件．
    如图，设第个生产周期设备售价万元件，与之间的关系用图中的函数图象表示．求关于的函数解析式写出的范围．
    设第个生产周期生产并销售的设备为件，与满足关系式在的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？利润收入成本

21. 如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且．
    请判断直线是否是的切线，并说明理由；
    若，，求弦的长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知二次函数与轴交于，两点其中在的左侧，且．
    抛物线的对称轴是______；
    求点和点坐标；
    点坐标为，若抛物线与线段恰有一个交点，求的取值范围．

23. 问题发现
    如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，连接，交的延长线于点．
    填空：的值为______，的度数为______．
    类比探究
    如图，在矩形和矩形中，，连接，，的延长线和的延长线交于点请求出的值及的度数．
    拓展延伸
    在的条件下，将矩形绕点在平面内自由旋转，，所在直线交于点若，请直接写出的最大值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的绝对值是；
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；
本题考查了绝对值的定义．注意一个正数的绝对值是它本身，的算术平方根是；负数的绝对值等于它的相反数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
根据等边三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据单项式除以单项式可以判断；根据完全平方公式可以判断；根据积的乘方可以判断；根据平方差公式可以判断．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
 

6.【答案】
 

【解析】点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，
故选：．
根据函数值直接求出对应的的值，比较大小即可．
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：点的坐标为，把三角形沿轴向右平移个单位长度，
，，
图中阴影部分与三角形等高，三角形的面积为，
图中阴影部分的面积为．
故选：．
根据平移的性质和等高的三角形面积比等于底边的比即可求解．
考查了坐标与图形变化平移，三角形的面积，关键是得到三角形和图中阴影部分的底．
 

8.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
设甲藏书本，乙藏书本，根据“若乙的藏书给甲本，甲的藏书数量是乙藏书数量的倍”和“若甲的藏书给乙本，甲乙藏书的数量就相同了”
考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到两个等量关系并列出方程，难度不大．
 

9.【答案】
 

【解析】解：过点作于，如图，
由作法得平分，
，
矩形的顶点的坐标为，点坐标为，
，，
在中，，
在和中，
，
≌，
，
，
设，则，，
在中，，解得，
即，
点的横坐标为．
故选：．
过点作于，如图，根据基本作图得到平分，则利用角平分线的性质得到，接着根据勾股定理计算出，通过证明≌得到，所以，设，则，，利用勾股定理得到，解方程得到，从而得到点的横坐标．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了矩形的性质和坐标与图形性质．
 

10.【答案】
 

【解析】解：点从点到点的过程中，，故选项A、D错误，
当点从到的过程中，，
当点从到的过程中，，
故选项B错误，选项C正确．
故选：．
根据题意可以分别得到各段与的函数解析式，从而可以解答本题．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，写出各段的函数解析式，明确函数的图象，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】如等答案不唯一
 

【解析】解：由题意可得，，并且是无理数．
故答案为：如等答案不唯一．
根据这个数即要比大且比小又是无理数，解答出即可．
本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

12.【答案】
 

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
则不等式组的最大整数解为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大的整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集是解本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，从两个袋中摸出的球都是白球的结果有个，
从两个袋中摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有个等可能的结果，从两个袋中摸出的球都是白球的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】
 

【解析】解：过作于，如图：

矩形中，，，
，，，
，，
，
，，
沿折叠，点落在点处，
在以为圆心，为半径的弧上，
当落在上时，到直线的距离最短，最短距离是，
在中，，
点到直线的最短距离是．
故答案为：．
过作于，根据矩形中，，，可得，，又，即得，，根据沿折叠，点落在点处，知在以为圆心，为半径的弧上，故当落在上时，到直线的距离最短，最短距离是，在中，，即得点到直线的最短距离是．
本题考查矩形中的翻折变换，解题的关键是掌握折叠的性质，理解的轨迹是在以为圆心，为半径的弧．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：当落在上时，过作于，过作于，如图：

，正方形为，
，，，
与是等腰直角三角形，
设，则，
沿着直线对折，若点的对应点，
，，，，
，
在中，，
在中，，
，，
∽，
，即，
解得；
当落在上时，如图：

，
，
同理，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：或．
分两种情况：当落在上时，过作于，过作于，由，正方形为，可得，，，设，则，，，，，，在中，，在中，，根据∽，即有，解得；当落在上时，四边形是正方形，．
本题考查正方形中的翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握翻折的性质，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
原式

．
 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义计算，即可得到结果．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

17.【答案】   
 

【解析】解：整理数据：补全表格如下

分析数据：补充完成下面的统计分析表：

得出结论
估计全校九年级成绩达到分及以上的学生人数为人；
从平均数看，八年级和九年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；
从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，所以八年级高分的人数多于九年级高分人数，八年级的成绩较好；
从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，所以八年级的成绩比九年级的成绩稳定，八年级的成绩较好；
综上可知，八年级的成绩较好．
整理数据：根据已知数据按分组计数可得，再根据中位数的概念可补全统计分析表；
得出结论：总人数乘以样本中成绩达到分及以上的学生人数所占比例；
分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．
考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．
 

18.【答案】解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入得，解得，
，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
设，
当时，，则，
，
，解得，
点坐标为；
结合图象得当或时，，
不等式的解集为或．
 

【解析】先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定，然后利用待定系数法求直线的解析式；
设，先确定，再利用三角形面积公式，利用面积和差列方程，然后解方程求出即可得到点坐标．
利用函数图象，写出反比例函数图象在直线下方所对应的自变量的范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求反比例函数解析式．
 

19.【答案】解：由题意可得：，
则；

延长交的延长线于，过作于，
，
，
在中，
，，
，
米，
米，
米，
在中，
，
米，
答：底座的长米．
 

【解析】根据锐角三角函数即可求出结果；
延长交的延长线于，过作于，，可得，然后根据锐角三角函数，米，进而可得底座的长．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：由图可知，当时，，
当时，是关于的一次函数，设，
则
解得：
，
关于的函数解析式为．
设第个生产周期工厂创造的利润为万元，
当时，，
由一次函数的性质可知，当时，万元；
当时，


，
当时，万元．
综上所述，工厂第个生产周期创造的利润最大，最大是万元．
 

【解析】分别得出当时和当时，关于的函数解析式即可得出答案；
设第个生产周期工厂创造的利润为万元，当时，可得出关于的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；当时，可得出关于的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取中较大的最大值即可．
本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
 

21.【答案】解：直线是的切线，
理由如下：如图，连接，

为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
又是半径，
直线是的切线；
过点作于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
 

【解析】如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得结论；
由勾股定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长．
本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
 

22.【答案】
 

【解析】解：二次函数，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：；
抛物线对称轴为直线，
A、是抛物线与轴的交点，且，
点坐标，点坐标；
把点坐标代入，得：，
即，
，
抛物线顶点坐标为，
，，
线段的解析式为，
若与线段恰有一个交点，
当时，
线段恰过抛物线顶点，

，即；
当时，

，
解得：；
当时，

，即，
综上：或或．
由求出对称轴即可；
由，两点是抛物线与轴的交点，以及，对称轴可以求出两点坐标；
先求出线段的解析式，再根据抛物线与线段恰有一个交点，分和两种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求抛物线的对称轴与坐标轴的交点以及顶点坐标．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，
，，，，，
，，
∽，
，，
，
故答案为：，；
在矩形和矩形中，，
，，，，
，
∽，
，，
；
，
点，点，点，点四点共圆，
如图，

，，
是直径，，
点是以为直径的圆上一点，
当是直径时，有最大值为．
通过证明∽，可得，，可求解；
通过证明∽，可得，，可求解；
先证点，点，点，点四点共圆，则当是直径时，有最大值为．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．