2023-2024学年河南省郑州外国语中学八年级（上）月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州外国语中学八年级（上）月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列实数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.在中，，，的对边分别是，，，下列条件不能判定为直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

3.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.下列说法正确的是(    )

A. 一定没有平方根 B. 立方根等于它本身的数是，
C. 的平方根是 D. 的算术平方根是

5.如图，在数轴上点表示的数为，在点的右侧作一个长为，宽为的长方形，将对角线绕点逆时针旋转，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处，则点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为和，高为，将一支长为的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的长度最少为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

8.九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，对进行如下操作：，即对进行次操作后变为，对整数进行次操作后变为，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.比较大小：______填“”“”“”．

12.若有意义，则的取值范围是            ．

13.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向横向、竖向或者是斜着的方向上连成五子者为胜如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图观察棋盘，以点为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点若黑子的坐标为，为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为______ 的位置处．

14.如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”当，时，阴影部分的面积为______ ．

15.如图，长方形中，，，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，为______．

三、解答题（本大题共6小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
计算：；
计算：．

17.本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．

18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
画出；
判断的形状是______ 三角形填“锐角、直角、钝角”；
作关于轴的对称图形，并写出点的坐标为______ ；
已知点是轴上一点，若，则点坐标是______ ．

19.本小题分
消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．
求处与地面的距离．
完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？

 

20.本小题分
我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值．

21.本小题分
如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为连结．

当秒时，求的长度结果保留根号；
当为等腰三角形时，求的值；
过点作于点在点的运动过程中，当为何值时，能使？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是有理数，故此选项不符合题意；
故选：．
根据有理数、无理数的定义逐一判断即可．
本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．

2.【答案】 

【解析】解：、，，能判定为直角三角形，不符合题意；
B、，能判定为直角三角形，不符合题意；
C、，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D、：：：：，那么、、，不是直角三角形，符合题意；
故选：．
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

4.【答案】 

【解析】解：、当时，有平方根，故错误，不符合题意；
B、立方根等于它本身的数为：，，，故错误，不符合题意；
C、的平方根是，正确，符合题意；
D、负数没有平方根，故错误，不符合题意；
故选：．
根据算术平方根，平方根和立方根的定义，逐一判断即可．
本题考查算术平方根，平方根和立方根的知识，解题的关键是掌握算术平方根，平方根和立方根的定义．

5.【答案】 

【解析】解：，
所以点表示的数为：，
故选：．
先根据勾股定理求出，再根据向左就用减法求解．
本题考查了实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：由题意知：笔筒底面对角长为，
笔筒的对角线长：，
签字笔长，
签字笔露在笔筒外面的最短长度是：．
故选：．
长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：由图可知：，
，，
原式
．
故选：．
先根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出的取值范围是解答此题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，
在中，，即．
故选：．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，连接，
，
．
，，，
，
是直角三角形，
，
．
故选：．
过点作，连接，根据平行线的性质得出根据勾股定理求出，，，那么，根据勾股定理的逆定理得出，进而求出的度数．
本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：，，，
对只需进行次操作后变为，
，，，
只需进行次操作后变为的所有正整数中，最大的是，
的最大值为．
故选：．
由的定义为不大于的最大整数，进行次操作后变为，进行次操作后变为，据此可得出的最大值．
本题本题考查了估算无理数的大小，的定义，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：因为
所以，即
所以，
所以．
故答案为：．
此题主要考查了实数的大小比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．

12.【答案】 

【解析】【分析】
直接根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
【解答】
解：由题意得，，
．
故答案为：．

13.【答案】或 

【解析】解：根据题意得，白子的坐标为；
因为白方已把三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即或，
故答案为：或．
根据五子连棋的规则，白方已把三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，据此即可确定点的坐标．
本题考查了点的坐标的确定及生活中的棋类常识，正确理解题意和识图是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
以为直径的半圆的面积，
以为直径的半圆的面积，
以为直径的半圆的面积，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出的长，再分别求出以为直径的半圆的面积与以为直径的半圆的面积以及以为直径的半圆的面积与的面积，即可求解．
本题考查了勾股定理，半圆面积的计算，正确得出阴影部分面积的计算方法是解题的关键．

15.【答案】或 

【解析】解：如图，

折叠，
≌，
，
，
、、三点共线，
又∽，，
≌，
，
，
；
如图，

，
，
在和中，
，
≌，
，
．
综上所知，或．
故答案为或
分两种情况：点在线段上，点为延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．
此题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．

16.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】先计算二次根式的值，再按照顺序进行计算即可；
先计算二次根式的值和去绝对值负号，再再按照顺序进行计算即可．
本题考查实数的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．

17.【答案】解：，，
，，
；
，，
，
． 

【解析】根据分式减法法则求出，根据分式的乘法法则求出，把原式提公因式后，代入计算即可；
根据平方差公式把原式变形，代入计算，得到答案．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．

18.【答案】直角    或 

【解析】解：如图所示：
，，，
，
是直角三角形，
故答案为：直角；
点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
点是轴上一点，且，
又轴，
点到的距离等于，
点坐标为或．
故答案为：或．
根据各点坐标画出即可；根据勾股定理逆定理可判断的形状；
根据关于轴对称的点坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出点坐标；
根据点是轴上一点，且，轴，可知点到的距离等于，即可求出点坐标．
本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积，关于轴对称的点坐标，熟练掌握这些知识是解题的关键．

19.【答案】解：在中，
米，米，
米，
米．
答：处与地面的距离是米；
在中，
米，米，
，
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 

【解析】先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

20.【答案】解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下：
因为，，，
所以，，这三个数是“完美组合数”；
因为，
所以分两种情况讨论：
当时，，
所以；
当时，，
所以不符合题意，舍；
综上，的值是． 

【解析】对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
分两种情况讨论：当时，当时，分别计算即可．
本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．

21.【答案】解：根据题意，得，，，
在中，根据勾股定理，得．
答：的长为．
在中，，，
根据勾股定理，得，
若，则 ，解得；
若，则，，解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，的值为或或．
，，，，，
，点在的平分线上，
，平分，
， 
．
若在点的左侧，，，
，
解得：，
若在点的右侧，，；
，
解得：，
答：当为或时，． 

【解析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．
根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．