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人教版七年级下册8.1 二元一次方程组课后测评
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这是一份人教版七年级下册8.1 二元一次方程组课后测评，文件包含必刷基础题第8章《二元一次方程组》章节复习巩固原卷版docx、必刷基础题第8章《二元一次方程组》章节复习巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
章节复习巩固
一、选择题
1．下列方程：①x+y=1；②2x- =1；③x2+y2=1；④5（x+y）=7（x-y）；⑤x2=1；⑥x+ =4，其中是二元一次方程的是（ ）
A．①B．①③C．①②④D．①②④⑥
【答案】C
【完整解答】解： ①x+y=1是二元一次方程；②2x-=1，是二元一次方程；③x2+y2=1，是二元二次方程；④5（x+y）=7（x-y），化简得12y-2x=0，是二元一次方程；⑤x2=1是一元二次方程；⑥x+ =4， 是一元一次方程；
综上， ①②④ 是二元一次方程.
故答案为：C.
【思路引导】如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，根据定义分别判断即可.
2．下列方程组中，不属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【完整解答】解：A、 是二元一次方程组，不符合题意；
B、 是二元一次方程组，不符合题意；
C、 是二元一次方程组，不符合题意；
D、 是三元一次方程组， 不属于二元一次方程组，符合题意.
故答案为：D.
【思路引导】 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次 ，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，根据定义分别判断即可.
3．解三元一次方程组 ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+②B．①-②C．①+③D．②-③
【答案】A
【完整解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数，
∴①+② 消去z，
得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
故答案为：A.
【思路引导】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
4．下列以 为解的二元一次方程组是（ ）
A．3x+z=52x+3y=7B．3x+z=-52x-3y=7
C．3x+z=52x-3y=7D．3x+z=-52x-3y=-7
【答案】C
【完整解答】解：A、3x+z=3×2+（-1）=5， 2x+3y=2×2+（-3）=-1≠7，错误；
B、3x+z=3×2+（-1）=5≠-5， 2x+3y=2×2+（-3）=-1≠7，错误；
C、3x+z=3×2+（-1）=5， 2x-3y=2×2-（-3）=7，正确；
D、3x+z=3×2+（-1）=5≠-5， 2x+3y=2×2-（-3）=7≠-7，错误；
故答案为：C.
【思路引导】把x、y的值分别代入各方程组进行验证，即可作答.
5．下列说法中正确的是（ ）
A．方程3x-4y=1只有两个解，这两个解分别是 x=1y=12 和
B．方程3x-4y=1中，x,y可以取任何数值
C． 是方程3x-4y=1的一个解
D．方程3x-4y=1可能无解
【答案】C
【完整解答】解：A、二元一次方程有无数个解，错误；
B、 每个二元一次方程都有无数个解，但不代表x，y可以取任何数值，错误；
C、∵3×3-4×2=1，∴是方程3x-4y=1的一个解，正确；
D、 方程3x-4y=1有无数个解，错误；
故答案为：C.
【思路引导】每个二元一次方程都有无数个解，但不代表x，y可以取任何数值；判断一组值是否是二元一次方程的解，把x和y的值代入原方程验证即可.
6．（2022七下·浙江）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=1,z+x=6B．x+y=3,xy=12
C．x+y=6,1x+y=4D．x=y+13,-2x=y+13
【答案】D
【完整解答】解：A、 x+y=1,z+x=6此方程组是三元一次方程组，故A不符合题意；
B、 x+y=3,xy=12此方程组是二元二次方程组，故B不符合题意；
C、 x+y=6,1x+y=4，此方程组不是二元一次方程组，故C不符合题意；
D、 x=y+13,-2x=y+13此方程组是二元一次方程组，故D符合题意；
故答案为：D.
【思路引导】利用二元一次方程组的定义：方程组中一共含有两个未知数，且未知数的系数是1次的整式方程，对各选项逐一判断.
7．（2022七下·浙江）两位同学在解同一个方程组时，甲同学由 ax+by=9,x+cy=11 正确地解出 x=5,y=3, 乙同学因看错了 而解得 x=-1,y=-6 那么a，b，c的正确的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【完整解答】解：∵ 甲同学由 ax+by=9,x+cy=11 正确地解出 x=5,y=3,
∴5a+3b=9①5+3c=11②
由②得：c=2；
∵ 乙同学因看错了 而解得 x=-1,y=-6
∴-a-6b=9③
由②③组成方程组
5a+3b=9-a-6b=9
解之：a=3b=-2
∴a=-2，b=3，c=2.
故答案为：A.
【思路引导】利用已知条件可知 x=5y=3 是方程组中两个方程的解，可求出c的值；而 x=-1,y=-6
是方程组中第一个方程的解，代入可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可求解.
8．（2020七上·岳西期末）若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解：∵方程组的解为，
∴方程组的解，
∴；
故答案为：B．
【思路引导】先求出方程组的解，再求解即可。
9．在解二元一次方程组 时，若①-②可直接消去未知数y，则 和 （ ）
A．互为倒数B．大小相等C．都等于0D．互为相反数
【答案】B
【完整解答】解： ①-② 得：4x+()y=0，
由题意得： =0，
∴.
故答案为：B.
【思路引导】先用 ①减去②时，由题意得y项系数为0，依此列式计算即可.
10．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟的方程组形式表述出来，就是 在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
把x=3代入，得 ，
由③得，y=5，
把y=5代入④得，12+5a=27，
∴a=3，
故答案为：C
【思路引导】由题意可知，图2中，第一个方程x的系数为23，y的系数为1，相加之和为11；第二个方程x的系数为4，y的系数设为a，相加之和为27，把x=3代入方程组中，解关于y，a的二元一次方程组，即可解答 .
二、填空题
11．在y= x-4中，如果x=6，那么y= ；如果y=-2，那么x= .
【答案】0；3
【完整解答】解：当x=6时，y= ×6-4 =0，
当y=-2时，-2= x-4，
解得：x=3.
故答案为：0，3.
【思路引导】根据题意，分别把x=6和y=-2代入原方程计算，即可解答.
12．（2021七下·怀化期末）已知 是方程 的解，则 = .
【答案】3
【完整解答】解：把 代入方程3x-ay=6得：3+a=6，
∴a=3，
故答案为：3.
【思路引导】根据方程解的定义把 代入方程3x-ay=6，得出关于a的方程，解方程求出a的值，即可得出答案.
13．（2021七下·潜江期末）已知 是方程 的解，则 = .
【答案】1
【完整解答】解：将x＝2，y＝1代入方程得：6－4－2a＝0，
解得：a＝1，
故答案为：1.
【思路引导】由题意将x＝2，y＝1代入方程可得关于a的方程，解方程可求解.
14．（2021七下·乾安期中）若 是二元一次方程，则 ．
【答案】
【完整解答】解：∵ 是二元一次方程，
∴3m-3=1且n-1=1，
解得 且 ，
∴ ，
故答案为： ．
【思路引导】根据二元一次方程的定义列出方程求解出m、n的值，再代入计算即可。
15．（2021七下·慈溪期中）已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其部分值如下表所示，则p的值是 .
【答案】15
【完整解答】解：由题意，
得2m﹣3n＝5，2（m+2）﹣3（n﹣2）＝p，
∴2m+4﹣3n+6＝p，
即p＝（2m﹣3n）+4+6＝5+4+6＝15.
故答案为：15.
【思路引导】由题意把表格中的两组值代入方程整理即可求解.
16．（2022七下·浙江）已知关于x，y的方程组 x+3y=4-a,x-y=3a, 给出下列结论:①x=5,y=-1 是方程组的一个解;②当 时，x，y的值互为相反数③a=1时，方程组的解也是方程 的解;④ 和 之间的数量关系是 .其中正确的是 (填序号)
【答案】①②③
【完整解答】原方程组为 x+3y=4-a,①x-y=3a,②
由①-②得 ，
∴ ，
∴ .
假如 ，那么 .故①正确.
当 时， 的值互为相反数.故②正确.
当 时， ，方程组的解也是方程 的解.故③正确.
由原方程组中第一个方程可得， ，代入第二个方程中可得 ，化简后可得 .故④错误，综上所述，正确的是①②③.
故答案为：①②③.
【思路引导】先求出方程组的解，再假如x=5代入，可求出y的值，可对①作出判断；将a=-2代入方程组，解方程组求出x，y的值，可对②作出判断；将a=1代入方程组，可求出x+y的值。可对③作出判断；利用加减消元法，消去方程组中的a，可得到x，y之间的数量关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
17．（2022七下·浙江）在一本书上写着方程组 的解是 其中 的值被墨渍盖住了，不过仍能求出 .
【答案】-1
【完整解答】解：∵ 方程组 的解是
∴
解之：.
故答案为：-1.
【思路引导】将x=0.5代入方程组，可得到关于p，y的方程，解方程组求出p，y的值.
18．为了保护环境，某校环保小组成员小明收集废电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总质量为460克；第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总质量为240克，则1号电池每节重为 克，5号电池每节重为 克.
【答案】90；20
【完整解答】设1号电池每节重x g，5号电池每节重y g，列方程组得
解得
故答案为90，20.
【思路引导】设1号电池每节重x g，5号电池每节重y g，根据“总质量=1号电池的数量×每节重+ 5号电池 的数量×每节重”，列出方程组求解即可.
19．如图所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 .两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是 cm.
【答案】80
【完整解答】解：设两根铁棒长度为x、y，
由题意得：，
解得：，
∴水深为：120×=80cm.
故答案为：80.
【思路引导】设两根铁棒长度为x、y，根据“ 两根铁棒长度之和为220cm及水深不变 ”建立关于x、y的方程组求解，即可解答.
20．小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，则★= .
【答案】-2
【完整解答】解：把x=5代人2x-y=12，得2×5-y=12，解得y=-2，∴★为-2.
故答案为：-2.
【思路引导】根据题意，把x=5代人方程2x-y=12中，得出一个关于y的一元一次方程求解，即可解答.
三、解答题
21．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸ ．
【答案】解：（2）、（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；（3）该方程组中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组．
【思路引导】两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程合在一起，叫做二元一次方程组，据此判断即可.
22．已知方程 ，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．
【答案】解：经验算是方程 x+3y=5的解，再写一个方程x－y=3
【思路引导】本题是开放题，答案不唯一，注意方程组的解的定义．
23．已知下列五对数值：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
①哪几对数值是方程 x﹣y=6的解？②哪几对数值是方程2x+31y=﹣11的解？
② 指出方程组 的解．
【答案】解：①当 时，左边=﹣4+10=6=右边，是方程的解；
当 时，左边=6=右边．故是方程的解；
当 时，左边=5+1=6=右边，故是方程的解；
同理，（4）（5）不是方程的解．
故答案是：（1）（2）（3）；
③ 与①相同可以得到（3）（5）；
③ ．
【思路引导】①把每组数据代入方程进行判断即可；②把每组数据代入方程进行判断即可；③在①②中的公共解就是方程组的解．
24．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组 第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题．
【答案】解：设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n，
∵ 是方程组的解，
∴2×2+m×1=3n×2+1=3 ，
解得 ．
∴原来的方程组为
【思路引导】将原方程组看做关于未知系数的方程组来解答即可．
25．光明中学八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．已知37座客车租金为每辆700元，49座客车为每辆1200元，问：
（1）49座和37座两种客车各租了多少辆？
（2）若租用同种客车，要使每位师生都有座位，应该怎么租用才合算？
【答案】（1）解：49座客车租了x辆，37座客车租了y辆，根据题意可得：
，
解得： ，
答：49座客车租了8辆，37座客车租了2辆；
（2）解：∵466÷49≈9.5，
∴租49座客车10辆，
∴租金为：1200×10=12000(元)，
∵466÷37≈12.6，
∴租37座客车13辆，
∴租金为：700×13=9100(元)，
答：租用37辆客车更合算；
【思路引导】（1）直接利用两种客车共10辆，八年级师生共466人准备参加社会实践活动，分别得出等式求出答案；（2）分别得出租用两种所需费用进而得出答案．
26．（2022七下·浙江）某地建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m2，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表:
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？(甲，乙两种型号都需租用)
【答案】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需工台，y台.
依题意，得 解得
答:甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台.
（2）解：设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机.
依题意，得60m+80n=540，化简，得3m+4n=27，
则3m=27-4n.
方程的正整数解为 或
当 时，支付租金为
元 元)，超出限邾，不符合要求;当 时，支付租金为
元 元)，符合要求.
答:有一种租用方案，即租用1台甲型挖掘机和6台乙型挖掘机.
【思路引导】（1）抓住关键已知条件：用甲、乙两种型号的挖掘机共8台；计划每小时挖掘土石方540m2；包含了两个等量关系，再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解即可.
（2）设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机，根据题意可得到关于m，n的方程，用含n的代数式表示出m，求出此方程的正整数解；然后根据每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，可得到符合题意的租用方案.
27．某物流公司现有31吨货物运往某地，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，使每辆车都装满货物，恰好一次运完.已知每种型号车的载重量和租金如下表：
（1）请你帮该物流公司设计租车方案；
（2）请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
【答案】（1）解：∵根据题意，得3a+4b=31，∴a=
∵a,b为正整数，∴ 或 或
∴有3种租车方案：①A型车9辆，B型车1辆；②A型车5辆B型车4辆；③A型车1辆，B型车7辆.
（2）解：方案①需租金：9×1000+1200=10200（元）
方案②需租金：5×1000+4×1200=9800（元）
方案③需租金：1×1000+7×1200=9400（元）
∵10200>9800>9400，
∴最省钱的方案是租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为9400元.
【思路引导】(1)根据总运量为31吨建立关于a、b的二元一次方程，结合a、b为正整数，找出符合条件的方案即可；
(2)根据(1)的方案，分别计算三种方案的租金，再比较租金的大小，即可得出最省钱的方案.
28．（2021七上·淮北月考）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲，乙，丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如下表所示．(假设每辆车均满载)
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆可将全部物资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆?
（3）若用甲、乙，丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆?此时总运费为多少元?
【答案】（1）4
（2）解：设需要甲型车x辆，乙型车y辆，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：需要甲型车8辆，乙型车10辆；
（3）解：设需要甲型车a辆，乙型车b辆，则需要丙型车辆，
由题意得：，
整理得：，
则，
均为正整数，
只能等于5，
∴a=4-2×55=2，，
此时总运费为2×450+5×600+7×700=8800（元），
答：需要甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车7辆，此时总运费为8800元．
【完整解答】解：（1）(120-8×5-5×8)÷10，
，
，
（辆），
即安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车4辆可将全部物资－次运完，
故答案为：4；
【思路引导】（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出答案；
（2）设需要甲型车x辆，乙型车y辆，根据需运费9600元，列出方程组，求解即可；
（3）设需要甲型车a辆，乙型车b辆，则需要丙型车辆，列出等式，再根据均为正整数，求出a、b的值，从而得出答案。
29． 2021年下半年，新冠疫情在全球新一波蔓延，接种新冠疫苗是当前抗击疫情最有效的手段.某县注射的疫苗有两种，一种是2针剂的灭活疫苗，另种是3针剂的重组蛋白疫苗.某校120名教职工全部完成其中一种疫苗的注射，共注射了325针，注射2针剂和3针剂疫苗的教职工各有多少人?
【答案】解：设注射2针剂疫苗的教职工有x人，注射3针剂疫苗的教职工有y人.
依题意得
解得
答：注射2针剂疫苗的教职工有35人，注射3针剂疫苗的教职工有85人.
【思路引导】设注射2针剂疫苗的教职工有x人，注射3针剂疫苗的教职工有y人，根据“总人数为120人”和"该校120名教职工全部完成其中一种疫苗的注射，共注射了325针”，即可得出关于x, y的二元一次方程组求解，即可得出结果.
30．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得
,解得 .
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
【思路引导】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，根据“共耕种51公顷土地”可得方程x+y+z=51，根据“总资金67万元”可得方程x+y+2z=67，根据“共300名职工”可得方程4x+8y+5z=300，联立求解即可. x
m
m+2
y
n
n﹣2
t
5
p
租金(单位:元/台·时)
挖掘土石方量(单位:m3/台·时)
甲型挖掘机
100
60
乙型挖掘机
120
80
车型
A
B
载重量（吨/辆）
3
4
租金（元/辆）
1000
1200
车型
甲
乙
丙
运载量(吨/辆)
5
8
10
运费(元/辆)
450
600
700
农作物品种
每公顷所需劳动力
每公顷所需投入的设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
章节复习巩固
一、选择题
1．下列方程：①x+y=1；②2x- =1；③x2+y2=1；④5（x+y）=7（x-y）；⑤x2=1；⑥x+ =4，其中是二元一次方程的是（ ）
A．①B．①③C．①②④D．①②④⑥
【答案】C
【完整解答】解： ①x+y=1是二元一次方程；②2x-=1，是二元一次方程；③x2+y2=1，是二元二次方程；④5（x+y）=7（x-y），化简得12y-2x=0，是二元一次方程；⑤x2=1是一元二次方程；⑥x+ =4， 是一元一次方程；
综上， ①②④ 是二元一次方程.
故答案为：C.
【思路引导】如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，根据定义分别判断即可.
2．下列方程组中，不属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【完整解答】解：A、 是二元一次方程组，不符合题意；
B、 是二元一次方程组，不符合题意；
C、 是二元一次方程组，不符合题意；
D、 是三元一次方程组， 不属于二元一次方程组，符合题意.
故答案为：D.
【思路引导】 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次 ，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，根据定义分别判断即可.
3．解三元一次方程组 ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+②B．①-②C．①+③D．②-③
【答案】A
【完整解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数，
∴①+② 消去z，
得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
故答案为：A.
【思路引导】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
4．下列以 为解的二元一次方程组是（ ）
A．3x+z=52x+3y=7B．3x+z=-52x-3y=7
C．3x+z=52x-3y=7D．3x+z=-52x-3y=-7
【答案】C
【完整解答】解：A、3x+z=3×2+（-1）=5， 2x+3y=2×2+（-3）=-1≠7，错误；
B、3x+z=3×2+（-1）=5≠-5， 2x+3y=2×2+（-3）=-1≠7，错误；
C、3x+z=3×2+（-1）=5， 2x-3y=2×2-（-3）=7，正确；
D、3x+z=3×2+（-1）=5≠-5， 2x+3y=2×2-（-3）=7≠-7，错误；
故答案为：C.
【思路引导】把x、y的值分别代入各方程组进行验证，即可作答.
5．下列说法中正确的是（ ）
A．方程3x-4y=1只有两个解，这两个解分别是 x=1y=12 和
B．方程3x-4y=1中，x,y可以取任何数值
C． 是方程3x-4y=1的一个解
D．方程3x-4y=1可能无解
【答案】C
【完整解答】解：A、二元一次方程有无数个解，错误；
B、 每个二元一次方程都有无数个解，但不代表x，y可以取任何数值，错误；
C、∵3×3-4×2=1，∴是方程3x-4y=1的一个解，正确；
D、 方程3x-4y=1有无数个解，错误；
故答案为：C.
【思路引导】每个二元一次方程都有无数个解，但不代表x，y可以取任何数值；判断一组值是否是二元一次方程的解，把x和y的值代入原方程验证即可.
6．（2022七下·浙江）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=1,z+x=6B．x+y=3,xy=12
C．x+y=6,1x+y=4D．x=y+13,-2x=y+13
【答案】D
【完整解答】解：A、 x+y=1,z+x=6此方程组是三元一次方程组，故A不符合题意；
B、 x+y=3,xy=12此方程组是二元二次方程组，故B不符合题意；
C、 x+y=6,1x+y=4，此方程组不是二元一次方程组，故C不符合题意；
D、 x=y+13,-2x=y+13此方程组是二元一次方程组，故D符合题意；
故答案为：D.
【思路引导】利用二元一次方程组的定义：方程组中一共含有两个未知数，且未知数的系数是1次的整式方程，对各选项逐一判断.
7．（2022七下·浙江）两位同学在解同一个方程组时，甲同学由 ax+by=9,x+cy=11 正确地解出 x=5,y=3, 乙同学因看错了 而解得 x=-1,y=-6 那么a，b，c的正确的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【完整解答】解：∵ 甲同学由 ax+by=9,x+cy=11 正确地解出 x=5,y=3,
∴5a+3b=9①5+3c=11②
由②得：c=2；
∵ 乙同学因看错了 而解得 x=-1,y=-6
∴-a-6b=9③
由②③组成方程组
5a+3b=9-a-6b=9
解之：a=3b=-2
∴a=-2，b=3，c=2.
故答案为：A.
【思路引导】利用已知条件可知 x=5y=3 是方程组中两个方程的解，可求出c的值；而 x=-1,y=-6
是方程组中第一个方程的解，代入可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可求解.
8．（2020七上·岳西期末）若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解：∵方程组的解为，
∴方程组的解，
∴；
故答案为：B．
【思路引导】先求出方程组的解，再求解即可。
9．在解二元一次方程组 时，若①-②可直接消去未知数y，则 和 （ ）
A．互为倒数B．大小相等C．都等于0D．互为相反数
【答案】B
【完整解答】解： ①-② 得：4x+()y=0，
由题意得： =0，
∴.
故答案为：B.
【思路引导】先用 ①减去②时，由题意得y项系数为0，依此列式计算即可.
10．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟的方程组形式表述出来，就是 在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
把x=3代入，得 ，
由③得，y=5，
把y=5代入④得，12+5a=27，
∴a=3，
故答案为：C
【思路引导】由题意可知，图2中，第一个方程x的系数为23，y的系数为1，相加之和为11；第二个方程x的系数为4，y的系数设为a，相加之和为27，把x=3代入方程组中，解关于y，a的二元一次方程组，即可解答 .
二、填空题
11．在y= x-4中，如果x=6，那么y= ；如果y=-2，那么x= .
【答案】0；3
【完整解答】解：当x=6时，y= ×6-4 =0，
当y=-2时，-2= x-4，
解得：x=3.
故答案为：0，3.
【思路引导】根据题意，分别把x=6和y=-2代入原方程计算，即可解答.
12．（2021七下·怀化期末）已知 是方程 的解，则 = .
【答案】3
【完整解答】解：把 代入方程3x-ay=6得：3+a=6，
∴a=3，
故答案为：3.
【思路引导】根据方程解的定义把 代入方程3x-ay=6，得出关于a的方程，解方程求出a的值，即可得出答案.
13．（2021七下·潜江期末）已知 是方程 的解，则 = .
【答案】1
【完整解答】解：将x＝2，y＝1代入方程得：6－4－2a＝0，
解得：a＝1，
故答案为：1.
【思路引导】由题意将x＝2，y＝1代入方程可得关于a的方程，解方程可求解.
14．（2021七下·乾安期中）若 是二元一次方程，则 ．
【答案】
【完整解答】解：∵ 是二元一次方程，
∴3m-3=1且n-1=1，
解得 且 ，
∴ ，
故答案为： ．
【思路引导】根据二元一次方程的定义列出方程求解出m、n的值，再代入计算即可。
15．（2021七下·慈溪期中）已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其部分值如下表所示，则p的值是 .
【答案】15
【完整解答】解：由题意，
得2m﹣3n＝5，2（m+2）﹣3（n﹣2）＝p，
∴2m+4﹣3n+6＝p，
即p＝（2m﹣3n）+4+6＝5+4+6＝15.
故答案为：15.
【思路引导】由题意把表格中的两组值代入方程整理即可求解.
16．（2022七下·浙江）已知关于x，y的方程组 x+3y=4-a,x-y=3a, 给出下列结论:①x=5,y=-1 是方程组的一个解;②当 时，x，y的值互为相反数③a=1时，方程组的解也是方程 的解;④ 和 之间的数量关系是 .其中正确的是 (填序号)
【答案】①②③
【完整解答】原方程组为 x+3y=4-a,①x-y=3a,②
由①-②得 ，
∴ ，
∴ .
假如 ，那么 .故①正确.
当 时， 的值互为相反数.故②正确.
当 时， ，方程组的解也是方程 的解.故③正确.
由原方程组中第一个方程可得， ，代入第二个方程中可得 ，化简后可得 .故④错误，综上所述，正确的是①②③.
故答案为：①②③.
【思路引导】先求出方程组的解，再假如x=5代入，可求出y的值，可对①作出判断；将a=-2代入方程组，解方程组求出x，y的值，可对②作出判断；将a=1代入方程组，可求出x+y的值。可对③作出判断；利用加减消元法，消去方程组中的a，可得到x，y之间的数量关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
17．（2022七下·浙江）在一本书上写着方程组 的解是 其中 的值被墨渍盖住了，不过仍能求出 .
【答案】-1
【完整解答】解：∵ 方程组 的解是
∴
解之：.
故答案为：-1.
【思路引导】将x=0.5代入方程组，可得到关于p，y的方程，解方程组求出p，y的值.
18．为了保护环境，某校环保小组成员小明收集废电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总质量为460克；第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总质量为240克，则1号电池每节重为 克，5号电池每节重为 克.
【答案】90；20
【完整解答】设1号电池每节重x g，5号电池每节重y g，列方程组得
解得
故答案为90，20.
【思路引导】设1号电池每节重x g，5号电池每节重y g，根据“总质量=1号电池的数量×每节重+ 5号电池 的数量×每节重”，列出方程组求解即可.
19．如图所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 .两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是 cm.
【答案】80
【完整解答】解：设两根铁棒长度为x、y，
由题意得：，
解得：，
∴水深为：120×=80cm.
故答案为：80.
【思路引导】设两根铁棒长度为x、y，根据“ 两根铁棒长度之和为220cm及水深不变 ”建立关于x、y的方程组求解，即可解答.
20．小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，则★= .
【答案】-2
【完整解答】解：把x=5代人2x-y=12，得2×5-y=12，解得y=-2，∴★为-2.
故答案为：-2.
【思路引导】根据题意，把x=5代人方程2x-y=12中，得出一个关于y的一元一次方程求解，即可解答.
三、解答题
21．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸ ．
【答案】解：（2）、（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；（3）该方程组中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组．
【思路引导】两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程合在一起，叫做二元一次方程组，据此判断即可.
22．已知方程 ，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．
【答案】解：经验算是方程 x+3y=5的解，再写一个方程x－y=3
【思路引导】本题是开放题，答案不唯一，注意方程组的解的定义．
23．已知下列五对数值：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
①哪几对数值是方程 x﹣y=6的解？②哪几对数值是方程2x+31y=﹣11的解？
② 指出方程组 的解．
【答案】解：①当 时，左边=﹣4+10=6=右边，是方程的解；
当 时，左边=6=右边．故是方程的解；
当 时，左边=5+1=6=右边，故是方程的解；
同理，（4）（5）不是方程的解．
故答案是：（1）（2）（3）；
③ 与①相同可以得到（3）（5）；
③ ．
【思路引导】①把每组数据代入方程进行判断即可；②把每组数据代入方程进行判断即可；③在①②中的公共解就是方程组的解．
24．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组 第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题．
【答案】解：设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n，
∵ 是方程组的解，
∴2×2+m×1=3n×2+1=3 ，
解得 ．
∴原来的方程组为
【思路引导】将原方程组看做关于未知系数的方程组来解答即可．
25．光明中学八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．已知37座客车租金为每辆700元，49座客车为每辆1200元，问：
（1）49座和37座两种客车各租了多少辆？
（2）若租用同种客车，要使每位师生都有座位，应该怎么租用才合算？
【答案】（1）解：49座客车租了x辆，37座客车租了y辆，根据题意可得：
，
解得： ，
答：49座客车租了8辆，37座客车租了2辆；
（2）解：∵466÷49≈9.5，
∴租49座客车10辆，
∴租金为：1200×10=12000(元)，
∵466÷37≈12.6，
∴租37座客车13辆，
∴租金为：700×13=9100(元)，
答：租用37辆客车更合算；
【思路引导】（1）直接利用两种客车共10辆，八年级师生共466人准备参加社会实践活动，分别得出等式求出答案；（2）分别得出租用两种所需费用进而得出答案．
26．（2022七下·浙江）某地建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m2，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表:
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？(甲，乙两种型号都需租用)
【答案】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需工台，y台.
依题意，得 解得
答:甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台.
（2）解：设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机.
依题意，得60m+80n=540，化简，得3m+4n=27，
则3m=27-4n.
方程的正整数解为 或
当 时，支付租金为
元 元)，超出限邾，不符合要求;当 时，支付租金为
元 元)，符合要求.
答:有一种租用方案，即租用1台甲型挖掘机和6台乙型挖掘机.
【思路引导】（1）抓住关键已知条件：用甲、乙两种型号的挖掘机共8台；计划每小时挖掘土石方540m2；包含了两个等量关系，再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解即可.
（2）设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机，根据题意可得到关于m，n的方程，用含n的代数式表示出m，求出此方程的正整数解；然后根据每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，可得到符合题意的租用方案.
27．某物流公司现有31吨货物运往某地，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，使每辆车都装满货物，恰好一次运完.已知每种型号车的载重量和租金如下表：
（1）请你帮该物流公司设计租车方案；
（2）请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
【答案】（1）解：∵根据题意，得3a+4b=31，∴a=
∵a,b为正整数，∴ 或 或
∴有3种租车方案：①A型车9辆，B型车1辆；②A型车5辆B型车4辆；③A型车1辆，B型车7辆.
（2）解：方案①需租金：9×1000+1200=10200（元）
方案②需租金：5×1000+4×1200=9800（元）
方案③需租金：1×1000+7×1200=9400（元）
∵10200>9800>9400，
∴最省钱的方案是租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为9400元.
【思路引导】(1)根据总运量为31吨建立关于a、b的二元一次方程，结合a、b为正整数，找出符合条件的方案即可；
(2)根据(1)的方案，分别计算三种方案的租金，再比较租金的大小，即可得出最省钱的方案.
28．（2021七上·淮北月考）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲，乙，丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如下表所示．(假设每辆车均满载)
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆可将全部物资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆?
（3）若用甲、乙，丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆?此时总运费为多少元?
【答案】（1）4
（2）解：设需要甲型车x辆，乙型车y辆，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：需要甲型车8辆，乙型车10辆；
（3）解：设需要甲型车a辆，乙型车b辆，则需要丙型车辆，
由题意得：，
整理得：，
则，
均为正整数，
只能等于5，
∴a=4-2×55=2，，
此时总运费为2×450+5×600+7×700=8800（元），
答：需要甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车7辆，此时总运费为8800元．
【完整解答】解：（1）(120-8×5-5×8)÷10，
，
，
（辆），
即安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车4辆可将全部物资－次运完，
故答案为：4；
【思路引导】（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出答案；
（2）设需要甲型车x辆，乙型车y辆，根据需运费9600元，列出方程组，求解即可；
（3）设需要甲型车a辆，乙型车b辆，则需要丙型车辆，列出等式，再根据均为正整数，求出a、b的值，从而得出答案。
29． 2021年下半年，新冠疫情在全球新一波蔓延，接种新冠疫苗是当前抗击疫情最有效的手段.某县注射的疫苗有两种，一种是2针剂的灭活疫苗，另种是3针剂的重组蛋白疫苗.某校120名教职工全部完成其中一种疫苗的注射，共注射了325针，注射2针剂和3针剂疫苗的教职工各有多少人?
【答案】解：设注射2针剂疫苗的教职工有x人，注射3针剂疫苗的教职工有y人.
依题意得
解得
答：注射2针剂疫苗的教职工有35人，注射3针剂疫苗的教职工有85人.
【思路引导】设注射2针剂疫苗的教职工有x人，注射3针剂疫苗的教职工有y人，根据“总人数为120人”和"该校120名教职工全部完成其中一种疫苗的注射，共注射了325针”，即可得出关于x, y的二元一次方程组求解，即可得出结果.
30．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得
,解得 .
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
【思路引导】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，根据“共耕种51公顷土地”可得方程x+y+z=51，根据“总资金67万元”可得方程x+y+2z=67，根据“共300名职工”可得方程4x+8y+5z=300，联立求解即可. x
m
m+2
y
n
n﹣2
t
5
p
租金(单位:元/台·时)
挖掘土石方量(单位:m3/台·时)
甲型挖掘机
100
60
乙型挖掘机
120
80
车型
A
B
载重量（吨/辆）
3
4
租金（元/辆）
1000
1200
车型
甲
乙
丙
运载量(吨/辆)
5
8
10
运费(元/辆)
450
600
700
农作物品种
每公顷所需劳动力
每公顷所需投入的设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
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