第1讲 复数 （练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册）

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类型一：复数的基本概念
类型二：复数相等的充要条件
类型三：求复数的实部与虚部
类型四：复数的分类
类型五：已知复数的类型求参数
类型六：复数的模及由复数的模求参数
类型七：复数的加减运算及其几何意义
类型八：复数的乘、除运算
类型九：共轭复数
类型十：根据复数的乘除运算求参数
类型十一：复数与三角函数，集合的综合
类型十二：新定义题
类型一：复数的基本概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．若，，则的充要条件是；
D．若，则．
例题2．（2022·高一课时练习）已知复数，则______．
同类题型演练
1．（2022秋·北京·高二统考强基计划）已知（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，若，则（ ）
A．0B．C．2D．
2．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）若复数，则的虚部为______．
类型二：复数相等的充要条件
典型例题
例题1．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知（），则的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022春·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中）已知其中，则适合等式的____，_____.
同类题型演练
1．（2022春·河南驻马店·高二新蔡县第一高级中学校考阶段练习）设i为虚数单位，（a，），且，则复数z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则复数________．
3．（2022·全国·高一假期作业）若，，则______．
类型三：求复数的实部与虚部
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．10C．100D．或10
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若是纯虚数，则复数的实部与虚部的和是______________．
例题3．（2022·全国·高一假期作业）已知复数的实部大于虚部，则的取值范围为________．
同类题型演练
1．（2022·高一课时练习）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）若复数，则的虚部为______．
3．（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知复数，则复数的实部为___________.
类型四：复数的分类
典型例题
例题1．（2022春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．必要非充分条件B．充分非必要条件
C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件
例题2．（2022·四川广安·广安二中校考二模）若复数为纯虚数，则的值为（ ）
A．-1B．1C．0或1D．-1或1
例题3．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）复数实数；
（2）复数纯虚数；
例题4．（2022·全国·高三专题练习）当为何实数时，复数
（1）是虚数；
（2）是纯虚数.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知复数，，其中R，问m为何值时．
2．（2022春·吉林长春·高一统考期中）已知：复数，其中x∈R.求证：复数不可能是纯虚数.
3．（2022春·浙江·高一校联考期中）实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
类型五：已知复数的类型求参数
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A．B．且
C．且D．且
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．10C．100D．或10
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，试求实数的值或取值范围，使得分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．1B．3C．1或3D．0
2．（2023·高一课时练习）已知复数，若是纯虚数，则实数______．
3．（2023·高一课时练习）已知复数．当实数取什么值时，复数是：
(1)虚数；
(2)纯虚数．
类型六：复数的模及由复数的模求参数
典型例题
例题1．（2022春·河南南阳·高一统考期末）已知，复数，，且为纯虚数，，则（ ）
A．0B．0或-2C．1D．1或-2
例题2．（2022·高一课时练习）复数的模为，则实数________
例题3．（2022春·重庆·高一校联考期末）设复数为纯虚数，则复数的模为___________.
例题4．（2022·高一课时练习）已知复数满足，且，则______．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知是实数，方程的一个实根是（为虚数单位），则的值为_____________．
2．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知复数，则________．
3．（2022春·湖北鄂州·高一统考期末）若m为实数，复数，则|z|＝___．
类型七：复数的加减运算及其几何意义
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，，，它们在复平面上对应的点分别为，若，()，则的值是__________．
例题3．（2023·高一课时练习）已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数.
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__________
2．（2023·高一课时练习）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则__________．
3．（2022·全国·高一专题练习）化简下列复数
（1）
（2）
类型八：复数的乘、除运算
典型例题
例题1．（2023·四川内江·统考一模）复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知复数，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高三对口高考）已知复数（是虚数单位），其所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是______.
例题4．（2023·高一课时练习）______．（其中i是虚数单位）
例题5．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）若为纯虚数，则复数的虚部为__________.
同类题型演练
1．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）复数.若，则（ ）的值与a、b的值无关.
A．B．C．D．
2．（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）若，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2023·高一课时练习）若（，为虚数单位），则______．
4．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）设，为虚数单位.若，则___________.
5．（2023·高一课时练习）已知 ，且（i是虚数单位），求a，b的值．
类型九：共轭复数
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）．
A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限．
例题2．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知复数（是虚数单位），则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，为的共轭复数，则的最大值为（ ）
A．1B．4C．9D．16
例题4．（2023·高一课时练习）如果复数的实部与虚部互为相反数，那么______．
同类题型演练
1．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）若复数满足，则（ ）
A．4B．C．16D．17
3．（2023·重庆·统考一模）已知，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．
C．D．
类型十：根据复数的乘除运算求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．B．C．2D．
例题3．（2022春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考期中）已知，为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若，求实数，的值.
同类题型演练
1．（2022春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知复数，，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2022·全国·高一期末）实数满足，则_____．
3．（2022·浙江温州·三模）已知，复数（i是虚数单位），若，则___________，___________.
类型十一：复数与三角函数，集合的综合
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知集合，则下列复数：①；②；③；④，其中属于集合M的为（ ）．
A．①②；B．①③；C．①④；D．①③④．
例题2．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）化简（ ）
A．B．1C．D．
例题3．（2023·高一课时练习）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为______．
例题4．（2023·高一课时练习）复数是方程的一个根，则______．
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（ ）
A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对
2．（2023·高一课时练习）已知复数（）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·高一课时练习）已知为虚数单位，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·高一课时练习）计算下列各式，并给出几何解释．
(1)；
(2)．
类型十二：新定义题
1．（2023·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2023·全国·高三专题练习）欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Krnecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·江苏盐城·高三统考阶段练习）一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式）