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- 第3讲 平面向量的应用（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册） 试卷 2 次下载
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第2讲 平面向量基本定理及坐标表示（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册）
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这是一份第2讲 平面向量基本定理及坐标表示（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册），文件包含第2讲平面向量基本定理及坐标表示练透重点题型原卷版docx、第2讲平面向量基本定理及坐标表示练透重点题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
类型一：基底及用基底表示向量
类型二：用平面向量基本定理求参数
类型三：平面向量坐标运算
类型四：由向量线性运算解决最值和范围问题
类型五：平面向量数量积的坐标表示
类型六：向量的平行、垂直及应用
类型七：利用坐标求模
类型八：向量的夹角及与向量夹角有关的参数问题
类型九：平面向量夹角为锐角（钝角）问题
类型十：利用坐标求向量数量积的最值，范围
类型十一：利用坐标求向量的模的最值
类型十二：新定义题
类型一：基底及用基底表示向量
典型例题
例题1．（2022·高一课前预习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．与 B． 与
C． 与D． 与
例题2．（2023·湖南永州·统考二模）设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）中，是边上靠近的三等分点，则向量（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，，
（1）如图1，如果，分别是，的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2022·高一课时练习）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
类型二：用平面向量基本定理求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）中，点是的中点，点为上一点，与交于点，且，.则（ ）.
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）如图所示的矩形中，满足，为的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，点，分别满足，．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是________.
同类题型演练
1．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在中，是上一点，，是线段上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形为平行四边形，，若，则的值为_________．
类型三：平面向量坐标运算
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）设，，，若，则______．
例题2．（2023·高一课时练习）集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·高一课时练习）己知点，，，设，，，且，，
(1)求；
(2)求满足的实数的值．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，则满足的的坐标为______.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=，=，=，且=3，=-2.
（1）求3+-3;
（2）求满足=m+n的实数m，n;
（3）求M，N的坐标及的坐标.
类型四：由向量线性运算解决最值和范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）在等腰直角中，为斜边的中点，点为内一点（含边界），若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·江苏·高二假期作业）在矩形中，，，动点在以点为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知点.
(1)已知点，以为一组基底来表示；
(2)若，且点在第四象限，求的取值范围.
同类题型演练
1．（2022·高一课时练习）如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（ ）
A．满足的点必为的中点.
B．满足的点有且只有一个.
C．的最大值为3.
D．的最小值不存在.
2．（2022春·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．
类型五：平面向量数量积的坐标表示
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）是边长为的正方形，、分别是、的中点，则_____.
例题2．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）在中，，斜边，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中的值为（ ）
A．B．C．6D．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）在边长为2的正方形中，是的中点，则（ ）
A．2B．C．D．4
2．（2023·高一课时练习）已知为互相垂直的单位向量，且，，那么______．
3．（2023·全国·高三专题练习）＝（2，1），＝（2，－1），＝（0，1），则＝______；＝______.
类型六：向量的平行、垂直及应用
典型例题
例题1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知向量，，，若，则的值为（ ）
A．2B．-2C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知向量，且，则实数的值为____________．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量
(1)若求的坐标；
(2)若（5－2）⊥（＋），求与的夹角．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若，则锐角等于（ ）
A．15°B．30°
C．45°D．60°
2．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，且//，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ，若 与垂直，则λ＝（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
4．（2023·湖南长沙·统考一模）已知，，，若，则________．
类型七：利用坐标求模
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，则（ ）
A．B．2C．5D．
例题2．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）已知向量，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
2．（2023·高一课时练习）已知 ，，若，且，则实数a的值等于（ ）
A．1或2B．或1C．D．
类型八：向量的夹角及与向量夹角有关的参数问题
典型例题
例题1．（2022秋·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知平面向量，，则，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022秋·四川成都·高三统考期中）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．或D．-1
例题3．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知，，则与夹角的余弦值为________.
例题4．（2023·广西柳州·二模）已知向量，，则与的夹角为__________.
例题5．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）如图， 正方形 中， 是 中点， 是 中点， 与 交于点 ， 求 的余弦值．
同类题型演练
1．（2022秋·河北邯郸·高三统考开学考试）已知向量，且夹角的余弦值为，则（ ）
A．0B．C．0或D．
2．（2023·四川广安·统考一模）已知向量，，则向量与向量的夹角为______．
3．（2023·高一课时练习）设向量，，若与的夹角大于，则实数的取值范围为____________.
4．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知平面向量，，则平面向量与的夹角为______.
5．（2023·高一课时练习）已知，，，，求与的夹角．
类型九：平面向量夹角为锐角（钝角）问题
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知向量，，则是向量，夹角为钝角的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件D．充分不必要条件
例题2．（多选）（2022·高一单元测试）已知向量，，，若为锐角，则实数可能的取值是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;
例题4．（2022春·辽宁·高一辽师大附中校考阶段练习）已知向量，向量．
(1)求与的夹角；
(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围．
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）若分别是轴正方向上的单位向量，且，，若，的夹角为钝角，则实数m的范围为______．
2．（2023·高一课时练习）设向量，，若与的夹角大于，则实数的取值范围为____________.
3．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）向量，，若的夹角为钝角，则t的范围是________．
4．（2022·上海·高三统考学业考试）已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是___________
类型十：利用坐标求向量数量积的最值，范围
典型例题
例题1．（2023秋·北京西城·高三统考期末）在中，．为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）正方形的边长为2，以为直径的圆，若点为圆上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则的最大值为______.
例题4．（2023秋·天津河西·高三校考期末）在四边形中，已知．点是线段上的点，且，则_______．若是线段上的动点，则的最小值为_______．
同类题型演练
1．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）已知中，，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆·统考一模）在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________．
3．（2022秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）如图，在四边形中，，且是线段上的动点，且，则的最小值为__________.
4．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知M是边长为1的正的边AC上的动点，N为AB的中点，则的最大值是_____.
类型十一：利用坐标求向量的模的最值
典型例题
例题1．（2022春·广东韶关·高一校考阶段练习）已知向量，，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
例题2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知在直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
例题3．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．
同类题型演练
1．（2022春·西藏拉萨·高一校联考期末）已知向量，则的取值范围是（ ）
A．B．[0，2 ]
C．[1，2]D．
2．（2023·全国·高三专题练习）平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是___．
3．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
（1）若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；
类型十二：新定义题
1．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三校联考阶段练习）黄金分割〔〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
类型一：基底及用基底表示向量
类型二：用平面向量基本定理求参数
类型三：平面向量坐标运算
类型四：由向量线性运算解决最值和范围问题
类型五：平面向量数量积的坐标表示
类型六：向量的平行、垂直及应用
类型七：利用坐标求模
类型八：向量的夹角及与向量夹角有关的参数问题
类型九：平面向量夹角为锐角（钝角）问题
类型十：利用坐标求向量数量积的最值，范围
类型十一：利用坐标求向量的模的最值
类型十二：新定义题
类型一：基底及用基底表示向量
典型例题
例题1．（2022·高一课前预习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．与 B． 与
C． 与D． 与
例题2．（2023·湖南永州·统考二模）设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）中，是边上靠近的三等分点，则向量（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，，
（1）如图1，如果，分别是，的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2022·高一课时练习）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
类型二：用平面向量基本定理求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）中，点是的中点，点为上一点，与交于点，且，.则（ ）.
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）如图所示的矩形中，满足，为的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，点，分别满足，．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是________.
同类题型演练
1．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在中，是上一点，，是线段上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形为平行四边形，，若，则的值为_________．
类型三：平面向量坐标运算
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）设，，，若，则______．
例题2．（2023·高一课时练习）集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·高一课时练习）己知点，，，设，，，且，，
(1)求；
(2)求满足的实数的值．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，则满足的的坐标为______.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=，=，=，且=3，=-2.
（1）求3+-3;
（2）求满足=m+n的实数m，n;
（3）求M，N的坐标及的坐标.
类型四：由向量线性运算解决最值和范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）在等腰直角中，为斜边的中点，点为内一点（含边界），若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·江苏·高二假期作业）在矩形中，，，动点在以点为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知点.
(1)已知点，以为一组基底来表示；
(2)若，且点在第四象限，求的取值范围.
同类题型演练
1．（2022·高一课时练习）如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（ ）
A．满足的点必为的中点.
B．满足的点有且只有一个.
C．的最大值为3.
D．的最小值不存在.
2．（2022春·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．
类型五：平面向量数量积的坐标表示
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）是边长为的正方形，、分别是、的中点，则_____.
例题2．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）在中，，斜边，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中的值为（ ）
A．B．C．6D．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）在边长为2的正方形中，是的中点，则（ ）
A．2B．C．D．4
2．（2023·高一课时练习）已知为互相垂直的单位向量，且，，那么______．
3．（2023·全国·高三专题练习）＝（2，1），＝（2，－1），＝（0，1），则＝______；＝______.
类型六：向量的平行、垂直及应用
典型例题
例题1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知向量，，，若，则的值为（ ）
A．2B．-2C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知向量，且，则实数的值为____________．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量
(1)若求的坐标；
(2)若（5－2）⊥（＋），求与的夹角．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若，则锐角等于（ ）
A．15°B．30°
C．45°D．60°
2．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，且//，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ，若 与垂直，则λ＝（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
4．（2023·湖南长沙·统考一模）已知，，，若，则________．
类型七：利用坐标求模
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，则（ ）
A．B．2C．5D．
例题2．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）已知向量，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
2．（2023·高一课时练习）已知 ，，若，且，则实数a的值等于（ ）
A．1或2B．或1C．D．
类型八：向量的夹角及与向量夹角有关的参数问题
典型例题
例题1．（2022秋·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知平面向量，，则，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022秋·四川成都·高三统考期中）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．或D．-1
例题3．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知，，则与夹角的余弦值为________.
例题4．（2023·广西柳州·二模）已知向量，，则与的夹角为__________.
例题5．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）如图， 正方形 中， 是 中点， 是 中点， 与 交于点 ， 求 的余弦值．
同类题型演练
1．（2022秋·河北邯郸·高三统考开学考试）已知向量，且夹角的余弦值为，则（ ）
A．0B．C．0或D．
2．（2023·四川广安·统考一模）已知向量，，则向量与向量的夹角为______．
3．（2023·高一课时练习）设向量，，若与的夹角大于，则实数的取值范围为____________.
4．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知平面向量，，则平面向量与的夹角为______.
5．（2023·高一课时练习）已知，，，，求与的夹角．
类型九：平面向量夹角为锐角（钝角）问题
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知向量，，则是向量，夹角为钝角的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件D．充分不必要条件
例题2．（多选）（2022·高一单元测试）已知向量，，，若为锐角，则实数可能的取值是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;
例题4．（2022春·辽宁·高一辽师大附中校考阶段练习）已知向量，向量．
(1)求与的夹角；
(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围．
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）若分别是轴正方向上的单位向量，且，，若，的夹角为钝角，则实数m的范围为______．
2．（2023·高一课时练习）设向量，，若与的夹角大于，则实数的取值范围为____________.
3．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）向量，，若的夹角为钝角，则t的范围是________．
4．（2022·上海·高三统考学业考试）已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是___________
类型十：利用坐标求向量数量积的最值，范围
典型例题
例题1．（2023秋·北京西城·高三统考期末）在中，．为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）正方形的边长为2，以为直径的圆，若点为圆上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则的最大值为______.
例题4．（2023秋·天津河西·高三校考期末）在四边形中，已知．点是线段上的点，且，则_______．若是线段上的动点，则的最小值为_______．
同类题型演练
1．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）已知中，，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆·统考一模）在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________．
3．（2022秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）如图，在四边形中，，且是线段上的动点，且，则的最小值为__________.
4．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知M是边长为1的正的边AC上的动点，N为AB的中点，则的最大值是_____.
类型十一：利用坐标求向量的模的最值
典型例题
例题1．（2022春·广东韶关·高一校考阶段练习）已知向量，，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
例题2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知在直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
例题3．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．
同类题型演练
1．（2022春·西藏拉萨·高一校联考期末）已知向量，则的取值范围是（ ）
A．B．[0，2 ]
C．[1，2]D．
2．（2023·全国·高三专题练习）平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是___．
3．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
（1）若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；
类型十二：新定义题
1．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三校联考阶段练习）黄金分割〔〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
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