浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高一(平行班)下学期期中数学试题（解析版）

这是一份浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高一(平行班)下学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
比较大小可采用作差法比较，一般步骤是作差、变形、定号，从而得到大小关系.
【详解】，
，即，故A不正确；
，即，故B不正确；
，即，故C正确；
，即，故D不正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了不等式大小比较，作差法比较式子的大小，属于基础题.
2. 下列各函数中，最小值为的是（ ）
A. B. ，
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式的使用条件：“一正二定三相等”分别对所给选项进行判断即可.
【详解】当时，，当时，，故A不正确；
当时，，令，
则，当且仅当，即时等号成立，等号取不到，所以，故B不正确；
，由于无解，所以等号不能取得，故C不正确；
，当且仅当，即时等号成立，所以D正确.
故选：D
【点睛】本题考查基本不等式的应用，一定要注意一正，二定，三相等，缺一不可，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.
3. 等差数列中，已知，则为（ ）
A. 48B. 49C. 50D. 51
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出公差，再由通项公式列方程求得．
【详解】设数列的公差为，则，，
所以，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列基本量运算．在等差数列的五个量中，知三求二是常见题型，解题方法是基本量法．
4. 数列的前2020项的和为（ ）
A. 1010B. C. D. 2017
【答案】A
【解析】
【分析】
通项公式中出现，可把相邻两项先相加，然后再计算．
【详解】
．
故选：A．
【点睛】本题考查数列并项求和法，，在数列的项出现正负相间时，可以用并项求和法求和．
5. 已知函数的最小值为（ ）
A. 6B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
用绝对值三角不等式求得最小值．
详解】，当且仅当，即时取等号．所以．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．
6. 若不等式的解集为R，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对二次项系数进行分类讨论，分为和两种情形，结合判别式与0的关系即可得结果.
【详解】当即时，恒成立，满足题意；
当时，不等式的解为一切实数，
所以，解得，
综上可得实数的取值范围是，
故选：B.
【点睛】本题主要考查含有参数的一元二次不等式恒成立问题，正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的性质是解题的关键，属于基础题.
7. 关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出对应方程的根，比较两根大小，再结合二次函数的图象写出解集即可.
【详解】方程的两根分别为，
又，所以，故此不等式的解集为.
故选：C
【点睛】本题主要考查了含参的一元二次不等式的求解，属于基础题.
8. 坐标满足，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 6C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】
代入已知点坐标得的关系式，然后用基本不等式中“1”的代换法求得最小值．
【详解】因为坐标满足，所以，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9．
故选：A．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题方法是“1”的代换法，目的是凑配出定值．
9. 数列中，，且，则为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
由已知递推关系，求出数列的前几项，归纳出数列是周期数列，从而由周期性求得．
【详解】因为，，
所以，同理，，，，，
所以数列是周期数列，且周期为6，
所以．
故选：C．
【点睛】本题考查数列的周期性，通过递推公式求出数列的前几项，归纳出数列的性质是解决数列的一种常用方法，考查了从特殊到一般的思想方法．
10. 为数列的前n项和，，对任意大于2的正整数，有恒成立，则使得成立的正整数的最小值为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先由题设条件求出，得到：，整理得：，从而有数列是以3为首项，2为公差的等差数列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂项相消法整理可得，解出的最小值．
【详解】解：依题意知：当时有，，，，
，，即，
，即，，
又，，，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列，，
故，，，，，
由上面的式子累加可得：，，
，．
由可得：
，
整理得， 且，
解得：．所以的最小值为6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查式子的变形、构造等差数列、累加法求和及裂项相消法求和、解不等式等知识点，属于难题．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. 已知数列的，前项和为，且，则的通项为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用求出，再求出可得通项公式．
【详解】由题意时，，
又，
所以．
故答案为：
【点睛】本题考查由数列前项和求数列的通项公式，解题根据是，但要注意这个等式只针对适用，需另外计算．
12. 已知等差数列的前项和为，若，则 ．
【答案】72
【解析】
试题分析:由等差数列的通项的性质可得,所以,故应填答案.
考点：等差数列的通项的性质及前项和公式的运用．
13. 若等比数列的前项和为,且，，则____．
【答案】511
【解析】
由等比数列的性质可得： ，
即： ，解得： .
14. 已知数列满足且，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据递推公式，构造等比数列，即可求得结果.
【详解】因为，所以，即，
即数列为首项3，公比为3的等比数列，
则=，
所以．
故答案：.
【点睛】本题考查构造数列法求数列的通项公式，属基础题.
15. 不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用因式分解将，转化为，再利用穿根法求解.
【详解】因为，
所以，
解得或.
所以不等式的解集为：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查高次不等式的解法，还考查了转化求解的能力，属于中档题.
16. 不等式解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值定义用分类讨论的方法解不等式．
【详解】当时，，解得，
当时，，原不等式无解，
当时，，解得，
综上或，
故答案为：．
【点睛】本题考查解绝对值不等式，解题方法是根据绝对值定义用分类讨论方法去掉绝对值符号后求解．
17. 等差数列的前项和为，且，若，则_________.
【答案】26
【解析】
【分析】
由题意可得等差数列递减且，可得，可得结论.
【详解】等差数列中，
等差数列递减且，
，
满足的k值为,
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，得出项的正负和前项和的关系是解决问题的关键，属中档题.
三、解答题（共72分）
18. 若不等式的解集为
（1）求值
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据不等式的解集为，由1，2为方程的两根求解.
（2）由（1）得到不等式，再移项通分，然后利用分式不等式的解法求解.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以，1，2是方程的两根，
所以 ，
解得，
所以的值分别是2，6.
（2）由（1）知，
所以不等式，即为，
所以，
所以，
即，
解得，
所以不等式的解集是.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及应用以及分式不等式的解法，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
19. 为等差数列的前n项和，且，已知.
（1）求的通项公式和的最小值；
（2）设 ，求数列的前n项和.
【答案】（1），的最小值为-30；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，求得，之后求出公差，利用等差数列的通项公式求出结果，并求出，利用配方法，结合的取值求出最小值；
（2）将代入，求出，进一步求得，裂项相消求得结果.
【详解】（1）根据题意，结合等差数列的性质，可得，且，
解得，所以，
所以，
，
所以当或时，取得最小值；
（2）因为，且，
所以，即，
所以，
.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的性质，等差数列的求和公式以及最值，裂项相消法求和，属于简单题目.
20. 已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若存在，使得成立，求取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）函数，利用基本不等式求解的最小值即可；
（2）由题可得，即，求解此不等式即得取值范围.
【详解】（1），
，，
当且仅当即时，；
（2）因为存在，使得成立，
所以，即，
则，解得：，
所以取值范围为.
【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，不等式的能成立问题，考查了学生的运算求解能力，考查了转化与化归的思想.
21. 正项等比数列中，，且是和的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
（3）设，求的最小项.
【答案】（1）；（2）；（3）最小项为.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件是和的等差中项可求得公比，然后可得通项公式；
（2）利用错位相减法可求得；
（3）用作差法确定的单调性后可得最小项．
【详解】（1）设的公比为（），因为是和的等差中项，所以，即，解得（舍去），所以；
（2）由（1），
，①，
，②，
①－②得，
所以；
（3）由（1），，
所以当时，，递减，当时，，递增，
所以或时，即是数列的最小项，且．
【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求和，考查求数列的最值．其中求数列的最值，可用作差法确定数列的单调性，得出结论．
22. 已知数列的前n项和为，，，且，，成等比.
（1）求值；
（2）证明:为等比数列，并求；
（3）设，若对任意，不等式恒成立.试求取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）.
【解析】
【分析】
（1）当时，，又，，成等比，求解即得；
当时，得到，化简变形，由等比数列定义即可证明并求出；
由得，代入化简得，即，又，可得取值范围.
【详解】（1）在中
令，得即，①
又，，成等比，所以，②
则由①②解得或，
因为，所以；
（2）当时，由 ，得到，
所以，则，
又，则
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，即.
（3）由（2）得，
不等式恒成立，代入化简得，
即，又，所以.
【点睛】本题主要考查了与的关系，等比数列的证明，数列不等式的恒成立问题，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。
登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。
试卷地址：在组卷网浏览本卷
组卷网是旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。
关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。

长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。
钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期