陕西省西安中学2019-2020学年高一(平行班)下学期期中数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安中学2019-2020学年高一(平行班)下学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本题共10小题，每题4分，共40分．每题有且只有一个正确答案)
1.下列命题正确的是（ ）
A. 终边与始边重合的角是零角B. 终边与始边都相同的两个角一定相等
C. 小于的角是锐角D. 若，则是第三象限角
【答案】D
【解析】
【分析】
根据零角的定义可判断A选项错误；根据终边相同的角的概念可判断B选项；由锐角的概念可判断C选项；根据角的大小可判断终边所在的象限，确定选项D的正误.
【详解】零角是指射线绕端点没有发生旋转所成的角，终边与始边重合的角可以是，，故A选项错误；
终边与始边都相同的两个角可以相等也可以不相等，例如终边相同但不相等，故B选项错误；
锐角是指的角，所以小于的角是锐角错误，故C选项错误；
时，终边落在第三象限，所以是第三象限角，故D选项正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了零角，终边相同的角，锐角，象限角的概念，属于容易题.
2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，
高中生的近视人数为，故选B.
【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.
3.在下列区间内，函数是单调递增的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：A中，函数为减函数，B中，函数有增减两个单调区间，C中，函数是增函数，D中，函数减函数
考点：三角函数单调性
4.已知扇形的半径为1，中心角为30°，关于弧长与扇形面积正确的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据扇形的弧长公式，面积公式计算即可.
【详解】,
,
,
故选：D
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式，角度制与弧度制转化，属于容易题.
5.下列既是偶函数又是以为周期的函数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的周期排除A,C，根据诱导公式化简可知B为偶函数.
【详解】由函数解析式可知，与的周期为，故可排除，
因为，是偶函数，，是奇函数，
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角函数的周期，奇偶性，考查了诱导公式，属于中档题.
6.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数n=5x5=25,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，根据古典概型求解即可.
【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有:
，共有m=10个基本事件,
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率,
故选：D
【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于中档题.
7.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至多有一个白球”中的哪几个（ ）
A. ①③B. ②③C. ①②D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
根据互斥事件和对立事件的定义求解.
【详解】从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件有：白白，红红，黑黑，红白，红黑，白黑，共6种，
当两球都为白球时，
与两球都不是白球，不能同时发生，故互斥，同时两个事件的和不是必然事件，故不对立，故①正确；
与两球恰有一个白球；不能同时发生，故互斥，同时两个事件的和不是必然事件，故不对立，故②正确；
与两球至多有一个白球” 不能同时发生，故互斥，同时两个事件的和是必然事件，故对立，故③错误.
故选：C
【点睛】本题主要考查互斥事件，对立事件的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
8.将函数的图像上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象变换的结论可得答案.
【详解】将函数的图像上各点向右平行移动个单位长度，得到，再把横坐标缩短为原来的一半，得到，再把纵坐标伸长为原来的4倍，得到.
故选：C
【点睛】本题考查了三角函数图象的相位变换、周期变换、振幅变换，属于基础题.
9.已知，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据可得，再对式子两边平方，即可得到答案；
【详解】，，
，
，
故选：A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，求解时注意函数值的符号问题.
10.任意中，给出下列4个式子，其中为常数的是（ ）
①；
②；
③；
④；
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和性质以及诱导公式逐一判断即可求解.
【详解】对于①，，故①不正确；
对于②，，故②正确；
对于③，，
故③正确；
对于④，
，故④不一定为常数；
故选：B
【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、需熟记公式，属于基础题.
二、填空题：(本题共5小题，每题4分，共20分．)
11.在半径为1的圆O内任取一点A，则的概率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出半径为1的圆的面积，再求出半径为的圆的面积，利用即可求解
【详解】圆的面积为，对于的点构成的是半径为的圆，该圆的面积为，所以所求概率为
答案：
【点睛】本题考查利用几何概型求概率，属于基础题.
12.如果，那么角所在象限是_______.
【答案】第二象限
【解析】
【分析】
由三角函数的定义可得答案.
【详解】根据三角函数的定义，因为，所以在第一或第二象限，
由得，在第二或第四象限，所以所在的象限是第二象限.
故答案为：第二象限.
【点睛】本题考查三角函数的定义和由三角函数的正负得出角所在的象限，属于基础题.
13.已知，则______.
【答案】；
【解析】
【分析】
用诱导公式五求解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查诱导公式，掌握诱导公式是解题关键，三角函数化简求值时一般要寻找“已知角”和“未知角”之间的关系，以确定选用的公式．
14.为了科普“新型冠状病毒”相关知识，增强中学生预防意识，某中学随机抽取30名学生参加相关知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为______.(用“<”连接)
【答案】
【解析】
【分析】
分别计算中位数、众数、平均数的值，再进行大小比较；
【详解】将分数从小到大排列，中间两个数为，中位数为，
出现的次数最多，众数，
平均数，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查众数、中位数、平均数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.
15.已知函数，，若对区间上任意，都有成立，则实数的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得，在上恒成立，由此根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
∵，∴，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查含正弦、余弦的二次型函数的最值问题，考查转化与化归思想，属于中档题．
三、解答题：(本题共5小题，每题12分，共60分．)
16.化简计算：
（1）已知，计算；
（2）化简
【答案】（1）（2）0
【解析】
【分析】
（1）利用以及弦化切变形可得答案；
（2）利用诱导公式化简可得答案.
【详解】（1）
（2）.
【点睛】本题考查了平方关系式的逆用，考查了利用商数关系式弦化切，考查了诱导公式，属于基础题.
17.已知函数.
（1）写出函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）;（2）
【解析】
【分析】
(1) 令即可求出单调递增区间.
(2)求出的取值范围后，结合正弦函数的性质，即可求出函数的值域.
【详解】解：(1)令，解得：，所以函数的单调递增区间.
(2)因为，所以，
因为在先增后减，所以当时，；
因为，所以当时，
所以函数在区间上的值域为.
【点睛】本题考查了正弦型函数单调区间的求解，考查了正弦型函数值域的求解.本题的易错点是求函数的单调区间时，将不等式求错.
18.下表数据为某地区某种农产品年产量x(单位:吨)及对应销售价格y(单位:千元/吨) ．
（1）若y与x有较强线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程．
（2）若该农产品每吨的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，利用上问所求的回归方程，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大?
（参考公式：回归直线方程为，，）
【答案】（1）（2）预测当年产量为3吨时，年利润Z大
【解析】
【分析】
（1）计算出，代入到公式中可得回归直线方程；
（2）先得出年利润的函数，再运用二次函数可求得年利润的最值.
【详解】（1）由所给数据计算得，
代入公式解得，所以．
（2）因为年利润，
所以当x=3时，年利润Z取得最大值，故预测当年产量为3吨时，年利润Z大．
【点睛】本题考查回归方程的求得，以及运用回归方程，预测年利润的最值，属于中档题.
19.高老师需要用“五点法”画函数在一个周期内的图像，此时的高老师已经将部分数据填入表格，如下表：
（1）请同学们帮助高老师写出表格中的两个未知量a和b的值，并根据表格所给信息写出函数解析式（只需在答题卡的相应位置填写答案，无需写出解析过程）；
（2）将图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到图像，求距离原点O最近的对称中心.
【答案】（1），.（2）
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据可得，，列方程组求解，即可取得解析式；（2）按照三角函数变换规则求出的解析式，根据正弦函数的对称性求出的对称中心，列举出原点附近的对称中心比较即可.
【详解】（1），
由表格所给数据可知，
，所以.
（2）由题意得，
令，解之得，
即对称中心为，
当，对称中心为；当，对称中心为.
因此距离坐标原点最近的对称中心为．
【点睛】本题考查五点作图法、求正弦型函数的解析式、求变换前后的三角函数解析式、正弦型函数的对称性，属于中档题.
20.空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染.一环保人士记录了某地2020年某月10天的AQI的茎叶图如图所示.
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算)
（2）若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.
【答案】（1）12（2）
【解析】
【分析】
（1）由茎叶图数据得出样本中空气质量优良的频率，利用频率估计本月空气质量优良的天数；
（2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3
故该样本中空气质量优良频率为，估计该月空气质量优良的概率为
从而估计该月空气质量优良的天数为30×＝12.
(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a1，a2，a3，a4；
为中度污染的共1天，记为b；为重度污染的共1天，记为c.
从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，
(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15个.
其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9个.
所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为.
【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，用频率估计概率，属于中档题.
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