2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练16 利用导数研究函数的极值、最大(小)值

这是一份2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练16 利用导数研究函数的极值、最大(小)值，共8页。

课时规范练16　利用导数研究函数的极值、最大(小)值
基础巩固组
1.设x=θ是函数f(x)=3cos x+sin x的一个极值点,则tan θ=(　　)
A.-3 B.-13 C.13 D.3
2.设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的部分图象如右图所示,则(　　)

A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
B.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
C.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
D.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
3.已知函数f(x)=12sin 2x+sin x,则f(x)的最小值是(　　)
A.-332 B.332
C.-334 D.334
4.(2022全国甲,文8)当x=1时,函数f(x)=aln x+bx取得最大值-2,则f'(2)=(　　)
A.-1 B.-12
C.12 D.1
5.(2022全国乙,文11)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)
A.-π2,π2 B.-3π2,π2
C.-π2,π2+2 D.-3π2,π2+2
6.已知函数f(x)=x2-2ln x,则f(x)在[1,e]上的最大值是　　　　　. 
7.若函数f(x)=-12x2+7x+aln x在x=2处取极值,则a=　　　　　,f(x)的极大值为　　　　　. 
8.已知f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.













9.已知函数f(x)=ex-ax,a∈R,e是自然对数的底数.
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值及f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值.











综合提升组
10.关于函数f(x)=ln x+2ax(a≠0),下列判断错误的是(　　)
A.函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为(a-2)x-ay-a+4=0
B.x=2a是函数f(x)的一个极值点
C.当a=1时,f(x)≥ln 2+1
D.当a=-1时,不等式f(2x+1)-f(3x-1)>0的解集为13,2
11.(2022河南焦作二模)已知∃x∈[1,+∞)使得不等式2ex≤x2+2x+6a成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.e3−12,+∞ B.e3,e
C.-∞,e3−12 D.e33−72,+∞
12.设函数f(x)=x3-3ax2+3ax+4a3,已知f(x)的极大值与极小值之和为g(a),则g(a)的值域为　　　　　. 
创新应用组
13.(2023安徽高考冲刺卷)若函数f(x)=(x2-ax+3)·ex在R上无极值,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-2,2) B.(-23,23)
C.[-23,23] D.[-22,22]
14.已知函数f(x)=(x+a)ln x-x(a∈R).
(1)当a=0时,是否存在唯一的x0∈(0,+∞),使得f(x0)=-1.如果存在,请证明你的结论;如果不存在,请说明理由.
(2)讨论f(x)的极值点的个数.
















参考答案
课时规范练16　利用导数研究
函数的极值、最大(小)值
1.C　∵f'(x)=-3sin x+cos x,由已知可得f'(θ)=-3sin θ+cos θ=0,∴tan θ=13.
2.A　观察图象知,当x<-3时,y=xf'(x)>0,∴f'(x)<0,f(x)单调递减;当-30,f(x)单调递增;故当x=-3时,函数取得极小值为f(-3);当00,∴f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>3时,y=xf'(x)<0,∴f'(x)<0,f(x)单调递减;故当x=3时,函数取得极大值为f(3).故选A.
3.C　由题得f'(x)=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1),所以当cos x≥12时,f'(x)≥0,f(x)单调递增;当-1≤cos x<12时,f'(x)≤0,f(x)单调递减.所以f(x)取得最小值时,cos x=12,此时sin x=±32,当sin x=-32时,f(x)=sin xcos x+sin x=-343;当sin x=32时,f(x)=sin xcos x+sin x=343.所以f(x)的最小值是-334.
4.B　函数f(x)的定义域是(0,+∞).f'(x)=ax−bx2=ax-bx2,分析易知,当a=0时,不满足题意.当a>0时,若b≤0,则x>0时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无最大值,不符合题意.当b>0时,由f'(x)<0,得00,得x>ba,所以函数f(x)在区间0,ba上单调递减,在区间ba,+∞上单调递增,f(x)在区间(0,+∞)上不存在最大值,不符合题意.当a<0时,若b≥0,则 x>0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当x→+∞时,f(x)→-∞,当x→0+时,f(x)→+∞,无最大值,不符合题意.当b<0时,易知函数f(x)在区间0,ba上单调递增,在区间ba,+∞上单调递减,所以当x=ba时,f(x)存在最大值,即ba=1,f(1)=b=-2,解得a=-2,b=-2.所以f'(2)=2a-b4=-12,故选B.
5.D　函数f(x)的导数f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,x∈[0,2π].令f'(x)=0,得x=π2或x=3π2.当x∈0,π2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈π2,3π2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈3π2,2π时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故当x=π2时,函数f(x)有极大值fπ2=π2+2;当x=3π2时,函数f(x)有极小值f3π2=-3π2.又因为f(0)=2,f(2π)=2,所以函数f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-3π2,最大值为π2+2,故选D.
6.e2-2　由题意可知,
∵f(x)=x2-2ln x,x∈[1,e],
∴f'(x)=2x-2x=2x2-2x=2(x-1)(x+1)x.
当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,∴函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,
则f(x)max=f(e)=e2-2.
7.-10　452-10ln 5　f'(x)=-x+7+ax(x>0),由题意可知f'(2)=-2+7+a2=0,解得a=-10,所以f'(x)=-x+7-10x=-x2-7x+10x,当f'(x)>0时,解得25,
所以f(x)在(0,2),(5,+∞)上单调递减,在(2,5)内单调递增,故f(x)的极大值为f(5)=-252+35-10ln 5=452-10ln 5.
8.解(1)因为f(x)=2x3-mx2-12x+6,
所以f'(x)=6x2-2mx-12.
因为f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2,
所以f'(2)=6×22-2m×2-12=0,解得m=3,
此时f(x)=2x3-3x2-12x+6,f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),
令f'(x)=0,得x=-1或x=2,
令f'(x)<0,得-1 令f'(x)>0,得x<-1或x>2,
故函数f(x)在区间(-1,2)内单调递减,在区间(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知,f(x)在[-2,-1]上单调递增,在(-1,2]上单调递减,所以x=-1是函数f(x)的极大值点.
又因为f(-2)=2,f(-1)=13,f(2)=-14,所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-14,最大值为13.
9.解(1)因为f(x)=ex-ax,则f'(x)=ex-a,因为函数f(x)在x=1处取得极值,则f'(1)=e1-a=0,
即a=e,则f'(x)=ex-e,
令f'(x)=ex-e>0,则x>1,
令f'(x)=ex-e<0,则x<1,
所以函数f(x)在(1,+∞)单调递增,在(-∞,1)单调递减.
(2)因为f(x)=ex-ax,则f'(x)=ex-a,
当a≤0时,f(x)在R上单调递增,
因此f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)min=f(0)=1.
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,(ln a,+∞)上单调递增.
①当1≤ln a即a≥e时,f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=e-a;
②0 所以f(x)在[0,ln a)上单调递减,(ln a,1]上单调递增,
所以f(x)min=f(ln a)=a-aln a;
③ln a≤0即0 综上,当a≤1时,f(x)min=1;当a≥e时,f(x)min=e-a;当1 10.B　对于A选项,因为f(x)=ln x+2ax,则f'(x)=1x−2ax2,所以f(1)=2a,f'(1)=a-2a,所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-2a=a-2a(x-1),即(a-2)x-ay-a+4=0,A选项正确;对于B选项,f(x)的定义域为(0,+∞),当a<0时,对任意的x>0,f'(x)=1x−2ax2>0,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值,B选项错误;对于C选项,当a=1时,f(x)=ln x+2x,该函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x−2x2=x-2x2,当02时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增,所以f(x)≥f(2)=ln 2+1,C选项正确;对于D选项,当a=-1时,f(x)=ln x-2x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=1x+2x2>0对任意的x>0恒成立,所以函数f(x)=ln x-2x为(0,+∞)上的增函数,由f(2x+1)-f(3x-1)>0可得f(2x+1)>f(3x-1),所以2x+1>3x-1>0,解得13 11.A　条件等价于∃x∈[1,+∞)使得不等式a≥13ex-12x2-x成立,令g(x)=13ex-12x2-x,则a≥g(x)min,而g'(x)=13(ex-x-1).当x>0时,易知ex>x+1成立,所以g'(x)>0,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,因为g(1)=e3−12,所以a≥e3−12,故实数a的取值范围为e3−12,+∞.
12.(-∞,2]∪(10,+∞)　f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-6ax+3a,
设f'(x)=3x2-6ax+3a=0的两根为x1,x2,且x1 所以Δ=36a2-36a>0,解得a>1或a<0,x1+x2=2a,x1x2=a.
所以x13+x23=(x1+x2)(x12+x22-x1x2)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]=2a(4a2-3a)=8a3-6a2,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4a2-2a,
因为f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)内单调递减.
所以g(a)=f(x1)+f(x2)=x13+x23-3a(x12+x22)+3a(x1+x2)+8a3=4a3+6a2(a>1或a<0),
所以g'(a)=12a2+12a,
由g'(a)>0可得a>0或a<-1,由g'(a)<0可得-1 所以g(a)在a∈(-∞,-1)上单调递增,在a∈(-1,0)内单调递减,在a∈(1,+∞)上单调递增.
因为g(-1)=2,g(1)=10,所以g(a)的值域为(-∞,2]∪(10,+∞).
13.D　由f(x)=(x2-ax+3)·ex可得f'(x)=(2x-a)·ex+(x2-ax+3)·ex=[x2+(2-a)x+3-a]·ex,ex>0恒成立,函数y=x2+(2-a)x+3-a的图象为开口向上的抛物线.若函数f(x)=(x2-ax+3)·ex在R上无极值,则y=x2+(2-a)x+3-a≥0恒成立,所以Δ=(2-a)2-4(3-a)≤0,解得-22≤a≤22,所以实数a的取值范围为[-22,22].
14.解(1)存在.证明如下:
f(x)的定义域为(0,+∞),当a=0时,f(x)=xln x-x,f'(x)=ln x,
当01时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以x=1是f(x)的极小值点,也是f(x)的最小值点,且f(x)min=f(1)=-1,故存在唯一的x0=1,使得f(x0)=-1.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(x+a)·1x+ln x-1=a+xlnxx,令h(x)=a+xln x,则h'(x)=ln x+1,当01e时,h'(x)>0,
所以函数h(x)在0,1e内单调递减,在1e,+∞上单调递增,
所以h(x)min=h1e=a-1e.
①当a≥1e时,h(x)min≥0,所以对任意x∈(0,+∞),h(x)≥h(x)min≥0,
所以对任意x∈(0,+∞),f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)无极值点;
②当a<1e时,h(x)min=a-1e<0,若a≤0,因为当x∈0,1e时,xln x<0,所以对∀x∈0,1e,h(x)<0,
因为h(e-a+1)=a+e-a+1(-a+1)=a(1-e-a+1)+e-a+1>0,
所以存在x0∈(e-1,e-a+1),使得h(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,h(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,
所以在(0,x0)内,f'(x)<0,在(x0,+∞)上,f'(x)>0,所以f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
所以当a≤0时,f(x)有一个极小值点,无极大值点;
当0 在1e,+∞上,因为h(ea)=a+ealn ea=a(1+ea)>0,且h(x)在1e,+∞上单调递增,所以h(x)∈a-1e,+∞,所以f'(x)在0,1e,1e,+∞各有一个零点,设为x1,x2,列表如下:
x
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
极小值
单调递增↗
所以当0 综上,当a≤0时,函数f(x)有一个极值点;
当0 当a≥1e时,函数f(x)无极值点.