备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练26破解“双变量问题”的基本策略（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练26破解“双变量问题”的基本策略（附解析人教A版），共6页。试卷主要包含了已知函数f=ln x+-2a等内容，欢迎下载使用。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若∀x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2时,f(x1)-f(x2)>m(),求实数m的取值范围.
2.(2024·山东日照高三期末)已知函数f(x)=ln x+-2a(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈[e,e2],求f(x1)-f(x2)的取值范围.
3.(2024·江苏无锡高三期中)设函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1.
(1)曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与x轴平行,求实数a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)证明:若a-1.
4.(2024·江西临川高三模拟)设m为实数,函数f(x)=ln x+2mx.
(1)当m=-1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=(2m+1)x+n-2(n∈R)有两个实数根x1,x2(x1e.(注:e=2.718 28…是自然对数的底数)
课时规范练26 破解“双变量问题”的基本策略
1.解 (1)f'(x)=a-1-lnx,所以f(x)的图象在(1,f(1))处的切线斜率为a-1,由切线与直线x-y=0平行,可得a-1=1,即a=2,因此f(x)=2x+1-xlnx,f'(x)=1-lnx.
由f'(x)>0,可得00恒成立,可得2m在(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=,则h'(x)=,令h'(x)=0,可得x=e2,所以h(x)在(0,e2)内单调递减,在(e2,+∞)上单调递增,即有h(x)在x=e2处取得极小值,且为最小值,又h(e2)=-
可得2m≤-,解得m≤-,
则实数m的取值范围是(-∞,-].
2.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,x∈(0,+∞).
令f'(x)=0,得x2+(2-a)x+1=0.
当a≤2,x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>2时,方程x2+(2-a)x+1=0的Δ=a2-4a=a(a-4),
①当20;当x∈(x1,x2)时,f'(x)4时,f(x)在()内单调递减,在(0,),(,+∞)上单调递增.
(2)由(1)得,若f(x)有两个极值点x1,x2,则a>4,且x1+x2=a-2,x1x2=1,即a=x1+x2+2,x2=,
故f(x1)-f(x2)=lnx1+-2a-(lnx2+-2a)=lnx1+-lnx2-=ln=2lnx1+-x1,x1∈[e,e2],令g(x)=2lnx+-x,x∈[e,e2],当x∈(e,e2)时,g'(x)=-1=-2,同理可得f(x)在(1,a-1)内单调递减,在(0,1)和(a-1,+∞)上单调递增.
(3)证明 欲证>-1成立,即证明>0,设函数g(x)=f(x)+x=x2-ax+(a-1)lnx+x,则g'(x)=x-a++1≥2-a+1=1-(-1)2,当且仅当x=时,等号成立,由于10).令f'(x)>0,解得0