备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练32函数y=Asinωx+φ的图象及应用（附解析人教A版）

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1.(2024·山西太原模拟)将函数y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度,得到的图象对应的函数解析式是( )
A.y=sinx
B.y=sin(x-)
C.y=sin(x-)
D.y=sin(2x-)
2.(2024·青海西宁模拟)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变,再把所得图象向左平移个单位长度,得到y=cs(x-)的图象,则f(x)=( )
A.cs(2x+)B.cs(2x-)
C.cs(2x-)D.cs(2x+)
3.(2023·全国甲,理10,文12)函数y=f(x)的图象由y=cs(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
4.(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中A>0,ω>0,-<φ<0.在已知的条件下,下列选项中可以确定其值的量为( )
A.ωB.φC.D.Asin φ
5.(多选题)(2024·湖南邵阳模拟)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(x)=sin(4x-)
B.f(x)在区间[-,-]上单调递减
C.将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称
D.f(x)=在区间[0,2π]上有4个实根
6.(2024·重庆高三调研)已知某弹簧振子的位移y(单位:cm)与时间t(单位:s)满足y=Asin(ωt+φ)(ω>0),初始时将弹簧振子下压至-4 cm,然后松开,经过测量发现弹簧振子每10 s往复振动5次,则在第45 s时,弹簧振子的位移是 cm.
7.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.若函数y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值;
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.
综 合 提升练
8.(多选题)(2024·山东潍坊模拟)将函数f(x)=sin(ωx-)(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若(0,)是g(x)的一个单调递增区间,则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在()上单调递增
C.函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为
D.方程f(x)=-在[0,2π]上有5个实数根
9.(2021·全国甲,理16)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件(f(x)-f(-))(f(x)-f())>0的最小正整数x为 .
10.(2024·江苏七市模拟)将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.
(1)若ω=2,求函数y=g(x)在区间[-]上的最大值;
(2)若函数y=g(x)在区间()内没有零点,求ω的取值范围.
创 新 应用练
11.(2024·江西南昌模拟)潮汐现象是地球上的海水受太阳(作用较小)和月球的万有引力作用而产生的涨落现象.某港口具体时刻t(单位:小时)与对应水深y(单位:米)的函数关系式为y=3sint+10(0≤t≤24).某艘大型货船要进港,其相应的吃水深度(船底与水面的距离)为7米,船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的,该船于2点开始卸货(一次卸货最长时间不超过8小时),同时吃水深度以0.375米/时的速度减少,该船8小时内没有卸完货,要及时驶入深水区域,则该船第一次停止卸货的时刻为 .
课时规范练32 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
1.B 解析 将函数y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到图象对应的函数解析式为y=sin(x-),将y=sin(x-)的图象向左平移个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为y=sin((x+)-)=sin(x-).
2.B 解析 将y=cs(x-)的图象向右平移个单位长度,得到y=cs[(x-)-]=cs(x-),将y=cs(x-)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到y=cs(2x-),所以f(x)=cs(2x-).
3.C 解析 由题意知f(x)=cs[2(x+)+]=cs=-sin2x.在平面直角坐标系中画出y=-sin2x与y=x-的图象草图,如图所示.
由图可知,两函数图象有3个交点.故选C.
4.B 解析 根据图象可知,函数f(x)的图象是由y=Asinωx的图象向右平移-个单位长度得到的,由图可知f(x1)=f(x2)=0,又-<φ<0,根据“五点法”可得ωx1+φ=0,ωx2+φ=π,所以,若为已知,则可求得φ=
5.BCD 解析 由图可得T=2×()=π,又ω>0,所以ω==2,因为f()=1,所以sin(2+φ)=1,故2+φ=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,故f(x)=sin(2x-),所以A错误;因为x∈[-,-],所以2x-[-π,-],所以f(x)=sin(2x-)在区间[-,-]上单调递减,故B正确;将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=sin2x,该函数为奇函数,其图象关于原点对称,故C正确;因为x∈[0,2π],所以2x-[-],由sin(2x-)=,得2x-,解得x=或x=或x=或x=,故有4个实数根,所以D正确.故选BCD.
6.4 解析 由题意,A=4且最小正周期T==2,即=2,故ω=π,所以y=4sin(πt+φ).又4sinφ=-4,所以φ=-+2kπ,k∈Z,故y=4sin(πt-+2kπ)=-4csπt,t≥0.当t=45时,y=-4cs45π=4.
7.解 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-,数据补全如下表:
且函数f(x)的解析式为f(x)=5sin(2x-).
(2)由(1)知f(x)=5sin(2x-),
则g(x)=5sin(2x+2θ-).
函数y=sint的图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,令2x+2θ-=kπ,k∈Z,
解得x=-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)中心对称,
所以令-θ=,k∈Z,
解得θ=,k∈Z.
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值
(3)由(1)中数据作出函数f(x)在区间[]上的图象,如图所示.
8.ACD 解析 函数f(x)=sin(ωx-)(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)=sin[ω(x-)-]=sin(ωx-)的图象,所以g(x)的最小正周期为T=,又(0,)是g(x)的一个单调递增区间,所以g(0)=-1,即-=2kπ-,k∈Z,解得ω=-12k+2,k∈Z,因为0<ω<6,所以ω=2,故f(x)=sin(2x-).f(x)的最小正周期T==π,故A正确;令2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,解得kπ-x≤kπ+,k∈Z,即f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,所以f(x)在()上单调递增,故B错误;g(x)=sin(2x-)=sin(2x-)=-cs2x,所以F(x)=sin(2x-)-cs2x=sin2xcs-cs2xsin-cs2x=sin2x-cs2x=sin(2x-),所以函数F(x)的最大值为,故C正确;当x∈[0,2π]时,2x-[-],令f(x)=sin(2x-)=-,则2x-=-或2x-或2x-或2x-或2x-,即方程f(x)=-在[0,2π]上有5个实数根,故D正确.故选ACD.
9.2 解析 由图可知,f(x)的最小正周期T==π,∴ω=2.∵f=2,∴2cs=2,∴φ=-+2kπ,k∈Z.∴f(x)=2csf=f=0,f=f=2cs()=1.由(f(x)-1)(f(x)-0)>0,得f(x)<0或f(x)>1.结合图象可知,满足f(x)>1的离y轴最近的正数区间为,无整数;f(x)<0的离y轴最近的正数区间为,最小正整数x=2.
10.解 函数f(x)=sinx的图象向右平移个单位长度后得到y=sin(x-)的图象,再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=sin(ωx-)的图象.
(1)当ω=2时,g(x)=sin(2x-),
当-x时,-2x-,
因为函数y=sint在[-,-]上单调递减,在[-]上单调递增,sin(-)=-1,sin(-)=-,sin
所以-1≤sin(2x-),
所以y=g(x)在区间[-]上的最大值为
(2)g(x)=sin(ωx-),当要使g(x)在()内无零点,则k∈Z⇒4k+1≤ω≤2k+,k∈Z,ω>0,4k+1≤2k+k,
当k=0时,1;当k=-1时,-30<,
当k≤-2时,ω<0舍去.
综上,ω的取值范围为(0,]∪[1,].
11.6时 解析 令船底与海底距离为f(t),则f(t)=3sint+10-[7-0.375(t-2)],t∈[2,10],所以f(t)=3sint+,t∈[2,10],所以f'(t)=cst+,又f'(3)=>0,f'(6)=<0,f'(9)=>0,所以∃t1∈(2,6),t2∈(6,10),f'(t1)=f'(t2)=0,所以当2≤t0,当t14.5,f(6)=4.5,f(10)=6-<4.5,所以当2≤t≤6时,f(t)≥4.5;当60
π
2π
x
f(x)=Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
ωx+φ
0
π
2π
x
f(x)=Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0