2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练22 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用

课时规范练22　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用

基础巩固组

1.将函数f(x)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍,得到函数g(x)=cos 2x的图象,则f(x)是(　　)

A.周期为2π的偶函数

B.周期为2π的奇函数

C.周期为的偶函数

D.周期为的奇函数

2.将函数y=2sin2x+的图象向左平移个最小正周期后,所得图象对应的函数为(　　)

A.y=2cos2x+ B.y=-2cos2x+

C.y=-2sin2x+ D.y=2sin2x-

3.已知函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-≤θ≤的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到奇函数g(x)的图象,则f(0)=(　　)

A. B.- C. D.-

4.若将函数f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称,则函数f(x)在0,上的最大值为              (　　)

A.2 B. C.1 D.

5.(2022全国乙,理15)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　　. 

综合提升组

6.(2022陕西商洛一模)已知直线x=是函数f(x)=sinωx+(0<ω<8)图象的一条对称轴,则f(x)的最小正周期为(　　)

A. B. C.π D.2π

7.(2022安徽马鞍山三模)函数f(x)=sinωx+(ω>0)在区间[0,π]上恰有两个极小值点,则ω的取值范围为(　　)

A. B.[2,6)

C. D.

8.(2023河南开封模拟)如图为函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象,将f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的两倍,再向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=(　　)

A.cos2x+ B.cosx-

C.sin x D.-sin x

创新应用组

9.(2022江西萍乡二模)设函数y=sin2x+在区间a,a+上的最大值为M,最小值为m,则M-m的最小值为(　　)

A. B. C.1- D.

参考答案

课时规范练22　函数

y=Asin(ωx+φ)的图象

及三角函数的应用

1.C　将函数f(x)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍,得到函数g(x)=cos 2x的图象,则f(x)=cos 4x,故它是周期为的偶函数.

2.A　由题意知图象向左平移个单位长度,∴y=2sin2x++=2cos2x+.

3.C　由题意可知,函数f(x)的最小正周期为T=2×=π,则ω==2,所以f(x)=sin(2x+θ),将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到奇函数g(x)的图象,则g(x)=sin2x++θ=sin2x+θ+,由于函数g(x)为奇函数,则θ+=kπ(k∈Z),可得θ=kπ-(k∈Z),因为-≤θ≤,所以θ=,则f(x)=sin2x+,因此f(0)=sin.

4.A　函数f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<的图象向左平移个单位长度后,图象所对应函数为g(x)=2sin2x++φ=2sin2x++φ,由g(x)关于y轴对称,得+φ=kπ+,k∈Z,可得φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,即f(x)=2sin2x+.当x∈0,时,2x+∈,所以当2x+,即x=时,f(x)max=f=2sin=2.

5.3　依题意,T=,则f(T)=f=cos(2π+φ)=cos φ=.

又0<φ<π,∴φ=.

∴f(x)=cos.

又x=为f(x)的零点,

∴f=cos=0,

∴ω++kπ,k∈Z,∴ω=3+9k,k∈Z.

又ω>0,∴ω的最小值为3.

6.C　∵sin=±1,∴+kπ,k∈Z,解得ω=6k+2,k∈Z.又0<ω<8,∴ω=2,从而f(x)的最小正周期为π.故选C.

7.A　令t=ωx+.∵x∈[0,π],∴t∈,ωπ+.问题转化为g(t)=sin t在t∈,ωπ+时恰有两个极小值点,∴有≤ωπ+.∵ω>0,∴≤ω<.故选A.

8.D　由函数f(x)的图象,得,∴ω=2.再根据五点法作图,可得2×+φ=,∴φ=,∴f(x)=cos2x+.将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的两倍,可得y=cosx+的图象;再向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)=cosx+=-sin x的图象.故选D.

9.B　(方法1)当x∈a,a+时,2x+∈2a+,2a+.令2x+=t,2a+=h,则问题转化为g(t)=sin t在h,h+上的最大值是M,最小值为m.g(t)=sin t的周期是2π,要使得M-m最小,则g(t)的最大值或最小值点是区间h,h+的中点,由周期性,不妨取,或,即h=,或h=.当h=时,M=1,m=sin,M-m=;当h=时,m=-1,M=sin=-,M-m=.故选B.

(方法2)当区间a,a+关于y=sin2x+的图象的对称轴对称时,M-m取得最小值.区间a,a+的对称轴为直线x=a+,函数y=sin2x+的最值为±1,不妨设最大值M=1,则sin2a++=1,即sin2a+=1,所以2a+=2kπ+,k∈Z,解得a=kπ-,k∈Z.所以m=sin2kπ-+=sin2kπ+=,所以M-m的最小值为1-.故选B.