备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练34正弦定理和余弦定理（附解析人教A版）

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1.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,a=,b=,则B的大小为( )
A.B.
C.D.
2.(2024·黑龙江牡丹江模拟)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形中的最大角的大小为( )
A.150°B.135°
C.120°D.90°
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan A=,b=2c,S△ABC=2,则a=( )
A.13B.2
C.2D.3
4.(2024·河北石家庄模拟)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin A=2sin Bcs C,那么△ABC是( )
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
5.(2024·江苏苏锡常镇模拟)在△ABC中,∠BAC=,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,△ABD的面积是△ADC面积的3倍,则tan B=( )
A.B.C.D.
6.(2024·甘肃兰州模拟)用长度为1,4,8,9的4根细木棒围成一个三角形(允许连接,不允许折断),则其中某个三角形外接圆的直径2R可以是 (写出一个答案即可).
7.(2021·全国乙,理15,文15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
8.(2024·河南五市模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4cs A=sin B+sin C.若△ABC的面积S=,则边a的最小值为 .
9.(2023·全国乙,理18)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
10.(2024·河北邯郸模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S=(a2+b2-c2),c=2.
(1)若B=,求a;
(2)D为AB上一点,从下列条件①、条件②中任选一个作为已知,求线段CD的最大值.
条件①:CD为角C的角平分线;
条件②:CD为边AB上的中线.
综 合 提升练
11.在平面四边形ABCD中,AB⊥AC,且AB=AC,AD=CD=2,则BD的最大值为( )
A.2B.6C.2D.2
12.(2024·江苏七市模拟)如图,在△ABC所在平面内,分别以AB,BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S.已知S=,且asin A+csin C=4asin Csin B,则FH= .
13.(2024·河北张家口模拟)在△ABC中,2cs 2A+8sin2=1.
(1)求A;
(2)如图,D为平面ABC上△ABC外一点,且CD=1,BD=,若AC=AB,求四边形ABDC面积的最大值.
创 新 应用练
14.(2023·全国甲,理11)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为( )
A.2B.3C.4D.6
15.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cs∠FCB= .
课时规范练34 正弦定理和余弦定理
1.D 解析 由正弦定理可得asinB=bsinAsinB=sinB=,由于B∈(0,π),b>a,所以B=
2.C 解析 由正弦定理,得a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k(k>0),则b=5k,c=7k,所以C最大.由余弦定理,得csC==-因为0°3.C 解析 因为tanA=,A∈(0,π),所以A=,S△ABC=bcsinA=2c·c=2,解得c=2,b=2c=4,由余弦定理,得a2=16+4-2×4×2=12,解得a=2
4.B 解析 由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得(b+c)2-a2=3bc,整理得b2+c2-a2=bc,则csA=,因为A∈(0,π),所以A=
又由sinA=2sinBcsC,得a=2b,化简得b=c.所以△ABC为等边三角形.故选B.
5.A 解析 因为=
=3,
即AB=3AC.在△ABC中,作AB边上的高,垂足为H,则tanB=
6(答案不唯一) 解析 4根细木棒围成一个三角形的三边长可以为5,8,9,设边长为9的边所对的角为θ,由余弦定理,得csθ=,因为θ∈(0,π),所以sinθ=,所以2R=,所以其中某个三角形外接圆的直径2R可以是(答案不唯一).
7.2 解析 由题意可知△ABC的面积S=acsin60°=,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12.因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accsB=12-2×4×cs60°=8,所以b=2
8.2 解析 由正弦定理可得,bsinC=csinB,asinB=bsinA.由已知可得,4bccsA=acsinB+absinC=2acsinB=2bcsinA,所以sinA=2csA.又00,所以09.解 (1)在△ABC中,由余弦定理和题设可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs∠BAC=2×2+1×1-2×2×1×cs120°=7,故BC=
由正弦定理得sin∠ABC=sin∠BAC.
因此sin∠ABC=
(2)由(1)和题设得cs∠ABC=
故tan∠ABC=
由题设可知tan∠ABC=,故AD=
所以△ADC的面积为AC·AD·sin(120°-90°)=
10.解 (1)因为S=(a2+b2-c2),
由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcsC,
所以S=2abcsC,
由三角形的面积公式可得S=absinC,
所以2abcsC=absinC,
所以tanC=,又C∈(0,π),故C=
由正弦定理,得,
且sinA=sin(B+C)=sin()=sincs+cssin,
所以,故有a=
(2)若选条件①,
在△ABC中,由余弦定理a2+b2-c2=2abcsC,得a2+b2-12=ab,
即(a+b)2=12+3ab≤12+3()2,故a+b≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立,又因为S△CDA+S△CDB=S△ABC,
即bsinCD+asinCD=absin,
所以CD=[(a+b)-](4)=3,故CD的最大值为3.
若选条件②,
由题2,平方得4+2=b2+a2+2abcsC=a2+b2+ab,在△ABC中,由余弦定理得a2+b2-12=ab,
即(a+b)2=12+3ab≤12+3()2,
所以(a+b)2≤48.
当且仅当a=b=2时,等号成立,
故有4|CD|2=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(a+b)2-(a+b)2+4≤36,
从而|CD|≤3,故CD的最大值为3.
11.B 解析 由题意可知AB=AC,AD=2,CD=2,设∠ADC=θ,在△ADC中,,ACsin∠DAC=CDsinθ=2sinθ,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcsθ=12-8csθ.在△ADB中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcs∠DAB=AC2+AD2-2AC·Adcs(+∠DAC)=12-8csθ+8+4ACsin∠DAC=20-8csθ+8sinθ=20+16sin(θ-)≤36,所以BD的最大值为6.
12.3 解析 在△ABC中,S=acsinB=,∵asinA+csinC=4asinCsinB,又,∴a2+c2=4acsinB=6.
连接BF,BH,如图所示,在△BFH中,由余弦定理得FH2=FB2+HB2-2FB·HB·cs∠FBH,又∠FBH=-B,∴FH2=FB2+HB2-2FB·HB·cs(-B)=2(c2+a2)+4acsinB=18,∴FH=3
13.解 (1)由2cs2A+8sin2=1,得2(2cs2A-1)+8=1,
化简得4cs2A-4csA+1=0,
所以(2csA-1)2=0,故csA=
又0(2)在△BCD中,BC2=DB2+DC2-2DB·DCcs∠BDC=4-2cs∠BDC.
由(1)知A=,又AC=AB,
所以△ABC为等边三角形,
所以△ABC的面积S△ABC=AB·ACsinA=BC2sin(4-2cs∠BDC)=cs∠BDC.
又△BCD的面积S△BCD=DB·DCsin∠BDC=sin∠BDC,故四边形ABDC的面积S=S△BCD+S△ABC=sin∠BDC+cs∠BDC=sin∠BDC-cs∠BDC)+sin(∠BDC-)+,当∠BDC-,即∠BDC=时,四边形ABDC的面积最大,最大值为2
14. C 解析 在四棱锥P-ABCD中,由PC=PD=3,得△CDP是等腰三角形.设CD的中点为E,AB的中点为F,由几何知识得,△CDP关于PE对称,点P在平面PEF内,且PA=PB.在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,由勾股定理得,AC==4在△ACP中,∠PCA=45°,由余弦定理得,PA2=PC2+AC2-2AC·PC·cs∠PCA,解得PA=,∴PB=PA=在△BCP中,由余弦定理得,PB2=PC2+BC2-2PC·BC·cs∠BCP,解得cs∠BCP=,
∴sin∠BCP=S△PBC=BC·PC·sin∠BCP=4故选C.
15.- 解析 在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,AB=,所以BC=2.在△ABD中,AB⊥AD,AD=,AB=,所以BD=在△ACE中,AC=1,AE=AD=,∠CAE=30°,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AE·cs∠CAE=1+3-2×1=1,所以CE=1.在△BCF中,BC=2,FC=CE=1,BF=BD=,由余弦定理得cs∠FCB==-