河北省邯郸市第二十五中学2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份河北省邯郸市第二十五中学2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，四象限得到，该选项是错误的；，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（1-6每题3分，7-16每题2分，共38分）
1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，是一元二次方程，符合题意；
D、，当，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选D．
3. 已知方程，下列说法正确的是（ ）
A. 只有一个根B. 只有一个根
C. 有两个根D. 有两个根
【答案】C
解析：解：，
，
∴，
∴，
解得∶，
故选：C．
4. 将抛物线向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：将抛物线向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选C．
5. 二次函数的图象与轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：当时，，
与y轴的交点坐标为，
故选：D．
6. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：解：A．，有两个相等的实数根，不符合题意；
B．，没有实数根，不符合题意；
C．，有两个不相等实数根，符合题意；
D．由，则该方程没有实数根，不符合题意．
故选：C．
7. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，的值随值的增大而增大
C. 点的坐标为D.
【答案】D
解析：解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选：D．
8. 是关于的一元二次方程的解，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
解析：解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，
2a+4b＝2（a+2b）
＝2×（－1）
＝－2.
故选A.
9. 某市2021年底有2万户5G用户，计划到2023年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. 2（1＋2x）＝8.72B. 2＋2（1＋x）＋2（1＋2x）＝8.72
C. 2（1＋x）2＝8.72D. 2＋2（1＋x）＋2（1＋x）2＝8.72
【答案】C
解析：解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2=8.72，
故选：C．
10. 已知二次函数有最大值2，则的大小比较为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
解析：试题解析：∵二次函数y=a（x-1）2+b（a≠0）有最大值2，
∴a＜0，b=2，
则a、b的大小比较为：a＜b．
故选B．
考点：二次函数的最值．
11. 下列图象中，当时，函数与的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：A、直线经过的象限得到，，与矛盾，该选项是错误的；
B、抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，该选项是错误的；
C、根据抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，该选项是错误的；
D、根据抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，并且，得到直线与y轴的交点在x轴下方，该选项是正确的；
故选：D
12. 已知点，是抛物线上两点，若，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 以上都有可能
【答案】B
解析：解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减少，
∵点，是抛物线上两点，且，
∴与的大小关系是．
故选：B．
13. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形ADOF的边长是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
解析：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：，，
，
在Rt△中，，
即，
整理得，，
解得：x=2或x=-12(舍去)，
，
即正方形ADOF的边长是2，
故选B．
14. 若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
15. 已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
解析：解：∵二次函数，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，
则，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程为，
则两根之积为，
故选D.
16. 如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：过点C作CM⊥AB于N，，
在等腰中，，
，
①当时，如图，，
，
，
∴，y随x的增大而增大；
②当时，如图，
，
∴当时，y是一个定值为1；
③当时，如图，，
，
,
当x=3，y=1，当3结合ABCD选项的图象，
故选：B．
的关键．
二、填空题（共12分）
17. 已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2-9x+20=0的两根，则菱形的面积是___．
【答案】10
解析：解：解方程x2-9x+20=0得：x=4或5，
即菱形的两条对角线的长为4和5，
所以菱形的面积为×4×5=10，
故答案为：10．
18. 如图，在一个长为，宽为的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为，那么道路的宽为______．

【答案】
解析：解：设道路的宽为，
由题意得：，
解得或（不合题意，舍去），
∴道路的宽为
故答案为：2．
19. 在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线，则：
（1）该抛物线的对称轴是________；
（2）该抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是________.
【答案】 ①. ②. 或
解析：（1）解：∵，
∴该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：
（2）抛物线的对称轴为：，
当时，，
故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，解得（舍去），
当，抛物线与线段只有一个公共点时，
即顶点在直线上，则，解得，
当时，且抛物线过点时，
，解得，
当抛物线过点时，
解得，，
由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，
，
综上所述，的取值范围为或，
故答案：或．
三、解答题（共7小题，共70分）
20. 解方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1），
（2）
【小问1详解】
由题意得，，
则，
∴，
即，；
【小问2详解】
∴，
因式分解为，
∴，
∴
21. 已知抛物线
（1）求它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（2）说明它是由抛物线如何平移得到．
【答案】（1）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
（2）向右平移4个单位，向下平移3个单位得到的．
【小问1详解】
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴直线，顶点坐标为；
【小问2详解】
∵，
∴是由抛物线向右平移4个单位，向下平移3个单位得到的．
22. 已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
【答案】（1）证明见解析．
（2）7．
【小问1详解】
∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
∵等腰三角形底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，
即以3为底，则，为腰，
∴以3为底，，为腰能构成等腰三角形，
∴周长
∴等腰三角形的周长为7．
23. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表，根据表格回答以下问题：
（1）________，抛物线的对称轴是________；
（2）求二次函数的解析式；
（3）若抛物线上点到轴的距离小于3，请结合图象直接写出的取值范围.
【答案】（1），对称轴为直线，；
（2）；
（3）．
【小问1详解】
根据图表可知：当时，，
∴，
二次函数的图象过点，
∴对称轴为直线；
【小问2详解】
∵抛物线经过点（0，1），（1，-2），（3，-2），
代入y=ax2+bx+c得，
解得
，
∴此二次函数的解析式为；
【小问3详解】
；
当时，，
当时，，
由图象可知，当时，．
24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标：
（3）若抛物线上有一点，使的面积为6，直接写出点坐标..
【答案】（1）
（2）
（3）或或或．
【小问1详解】
∵二次函数的图象过点A和点，
∴，
得，
即抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵抛物线解析式为，如图：

∴该抛物线的对称轴为直线，
∵点P为抛物线的对称轴上的一动点，点A和点B关于直线对称，
∴点P到点A的距离等于点P到点B的距离，
∵两点之间线段最短，
∴连接点A和点C与直线的交点就是使得最小时的点P，
设过点A和点直线解析式为，
，得，
即直线的函数解析式为，
当时，，
即点P的坐标为；
【小问3详解】
∵抛物线解析式为，
当时，，
解得或，
∴点B的坐标为，
∵点A的坐标为，
∴，
设Q点的坐标为，
∵抛物线上有一动点Q，使的面积为6，
∴，
∴，
当时，得，，
当时，得，，
∴点Q的坐标为或或或．
25. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件
（2）购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元
（3）销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【小问1详解】
解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
【小问2详解】
解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
【小问3详解】
解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
26. 如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画.若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
（3）求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
【答案】（1）；
（2）小球能飞过这棵树，理由见解析；
（3）小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
【小问1详解】
小球到达的最高的点坐标为，
∴设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：；
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
小球M能飞过这棵树；
理由：当时，，
∵，
∴小球能飞过这棵树；
【小问3详解】
小球在飞行的过程中离斜坡的高度，
∴小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
…
0
1
2.5
3
…
…
1
…
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37