2022-2023学年河北省邯郸市永年实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)

2022-2023学年河北省邯郸市永年实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知线段、、、是成比例线段，，，，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，菱形中，点坐标为，点坐标为，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在轴的下方作菱形的位似图形菱形，并把菱形的边长放大到原来的倍，则点的对应点的横坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸，两点间的距离，在点所在岸边的平地上取点，，，使，，在同一条直线上，且；使且，，三点在同一条直线上．若测得，，，则，两点间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知，则锐角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在坡角为的斜坡上要裁两棵树，要求它们之间的水平距离为，，则这两棵树之间的坡面的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足：：，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式．已知商场的层高为，为，改造后扶梯的坡比是：，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 用一个倍放大镜照一个，下面说法中错误的是(    )

A. 放大后，各内角大小不变 B. 放大后，各边长的长度不变
C. 放大后，周长发生变化 D. 放大后，面积发生变化

12. 如图，嘉嘉在时测得一棵米高的树的影长为，若时和时两次日照的光线互相垂直，则时的影长为(    )

A.  B.  C.  D.

13. 某渔船在海上进行捕鱼作业，当渔船航行至处时，发现正北方向海里的处有海盗出没，为了安全，请求处的海警前往处护航．如图，已知位于处的东北方向上，位于的北偏西方向上，则和之间的距离为海里．(    )

A.
B.
C.
D.

14. 如图，某同学为了测得电视塔的高度，在与电视塔底成一直线的、两处地面上，用高为米的测角仪分别测得电视塔顶端的仰角为和，同时测得，则这个电视塔的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

15. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

16. 如图，在中，，，是中点，，交于，交于，若，则下面结论正确的是(    )
    ；
    ；
    ；
    ．

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17. 在中，，，，那么______．
18. 一名滑雪运动员沿着坡比为的滑道下滑，已知该运动员滑行距离为米，则高度下降了______米．
19. 如图，在中，，，点为边的中点，于点，连接，则的值为______．

20. 如图，直线分别与两坐标轴交于点，点的坐标为在线段上有一动点连接，当为______时，与相似．

三、解答题（本大题共6小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
22. 本小题分
    如图，在四边形中，，，连接，如果，求的长．

23. 本小题分
    小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度，他在楼门前水平地面上选择一条直线，，在上距离点米的处竖立标杆，，他沿着方向走了米到点处，发现他的视线从处通过标杆的顶端正好落在遮雨玻璃的点处，继续沿原方向再走米到点处，发现他的视线从处通过标杆的顶端正好落在遮雨玻璃的点处，求遮雨玻璃的水平宽度．

24. 本小题分
    在中，，，是的角平分线．
    找出图中的相似三角形，并证明；
    求出的值．

25. 本小题分
    如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上处测得建筑物顶端的仰角为，沿方向前进到达处，在处测得建筑物顶端的仰角为，若建筑物高度求的长度．

26. 本小题分
    如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果，同时出发，用表示移动的时间，那么：
    当的长为时，求值；
    当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？
    求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：：，
即：：，
解得．
故选：．
利用成比例线段的定义得到：：，然后根据比例的性质求的值．
本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如：：即，我们就说这四条线段是成比例线段．
 

2.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，
则，
，
把菱形的边长放大到原来的倍得到菱形，
，
点坐标为，点坐标为，
，
，
，
点的横坐标是，
故选：．
过点作轴于，过点作轴于，根据题意求出位似比，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是位似图形，掌握位似比的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，，，
．
故选：．
由垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用两角相等的两个三角形相似得到三角形与三角形相似，由相似得比例求出所求即可．
此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得：∽，
则，
故，
故选：．
直接利用相似三角形的应用，正确得出∽，进而得出比例式即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，，
长、宽分别为、的国旗不符合标准，
故选：．
分别计算出各个矩形的长和宽的比，根据相似多边形的性质判断即可．
本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，为锐角，
．
．
故选：．
根据特殊角的正切值解决此题．
本题主要考查特殊角的正切值，熟练掌握特殊角的正切值是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
根据正切的定义求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设交于点．
：：，
可以假设，．
四边形是矩形，
，
∽，
，，
，
，
，
解得，
．
故选：．
利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
解得，
改造后扶梯的坡比是：，
，
解得，
，
．
故选：．
在中，利用三角函数可得，再根据坡比的定义以及勾股定理可求得，进而可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握坡比的定义是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长到，连接，如图：

，，，
，
，
，
故选：．
延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案．
本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：用一个倍放大镜照一个，放大后，各内角大小不变，面积发生变化，周长发生变化，
故A，，D正确，不符合题意．
故选：．
利用相似三角形的性质判断即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，；
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
代入数据可得，
解得：；
即时的影长为．
故选：．
根据题意，画出示意图，易得：∽，进而可得，即，代入数据可得答案．
本题考查相似三角形的应用．解题的关键是正确证明三角形相似，运用相似三角形的性质进行计算．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

由题意得，海里，，，
设海里，
在中，，
海里，
在中，，
解得，
，
解得，
海里，
海里．
故选：．
过点作于点，设海里，在中，可得海里，在中，，解得，则，求出的值，再根据勾股定理可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，，米，米，
是的一个外角，
，
，
米，
在中，米，
米，
故选：．
根据题意得：，，米，米，根据三角形的外角可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这棵树的高度是米，
故选：．
设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故正确；
过点作，与交于点，

是中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
故正确；
，，
，
故正确；
过点作，与的延长线交于点，

，
是的中点，
，
，
≌，
，
，
当不是的中点时，，
，
故不正确；
故选：．
证明与都是的余角，便可判断的正误；
过点作，与交于点，证明，，再证明≌，得，进而得，再由等高的三角形的面积比等于底边之比求得的面积，便可判断的正误；
由的，得与的关系，便可判断的正误；
过点作，与的延长线交于点，证明≌，得，当不是的中点时，，此时，便可判断的正误．
本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，三角形的面积，关键在于构造全等三角形．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
故答案为：．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，中，：：，，，
，
，
米，
高度下降了米，
故答案为：．

如图所示，中，：：，，，只需要利用勾股定理求出的长即可．
本题主要考查了勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，，
．
，
．
．
．
设的长为，
则
点为边的中点，

在中，
，
．
．
在中，
．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质先求出的度数，设的长为，用含的代数式先表示出、，再利用直角三角形的边角间关系求出，利用线段的和差关系求出，最后利用直角三角形的边角间关系求出的正切值．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

20.【答案】或 

【解析】解：，，
，，，
，，
如图，

，
∽，
，
即，
；
，
，，
∽，
，
即，
，
综上所述，为或时，与相似．
分两种情况：得∽，由此即可求的值；，根据已知条件可以证明∽，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出即可．
本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题．
 

21.【答案】解：


；



． 

【解析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答；
把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，，
，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：连接，过作于点，延长交于，交于，则，，

，
，
，
∽，
，
，
，即，
，
答：遮雨玻璃的水平宽度为． 

【解析】连接，过作于点，延长交于，交于，则，，证明∽，求得：，再由，提出比例线段便可求得结果．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于构造相似三角形．
 

24.【答案】∽．
证明：，，
，
是的角平分线，
，
，
，
∽．
解：，
，
，
，
，
，
设，，
∽，
，
，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
． 

【解析】由，，得，由是的角平分线求得，则，而是和的公共角，即可证明∽；
先证明，，则，设，，由∽得，所以，可列方程，解方程求得符合题意的的值为，即可求出的值．
此题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、一元二次方程的解法等知识，证明图中的两个等腰三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得，，，
在中，，
解得，
设，则，
在中，，
解得．
经检验是原方程的解且符合题意．
的长度为． 

【解析】在中，，可得，在中，，即可得．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

26.【答案】解：，，，
，
，
解得或，
，
或；
，
或，
当时，
，，
，
，
解得或，
，
；
当时，
，
解得；
综上所述：的值为或；
当时，或；
，，
，
，，
，
，
，
四边形的面积是． 

【解析】分别求出，，再由勾股定理得，求出的值即可；
分两种情况讨论：当时，，求得，当时，，解得；
根据，求解即可．
本题考查三角形相似的综合应用，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．