2022-2023学年河北省邯郸市大名一中九年级（上）开学数学试卷-（含解析）

2022-2023学年河北省邯郸市大名一中九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共42分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 对于函数，下列结论正确的是(    )

A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第二、三、四象限
C. 的值随值的增大而增大 D. 当时，

4. 当，函数的最大值与最小值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 关于函数，下列说法：函数的最小值为；函数图象的对称轴为直线；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．其中正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为门已标注在图中，则可以列出关于的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 将根号外的因式移到根号内，得(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知直角三角形两边的长为和，则此三角形的周长为(    )

A.  B.
C. 或 D.

11. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中表示时间，表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一直线上，则小明给菜地浇水、给玉米地锄草共用了(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

13. 一次数学课后，李老师布置了道选择题作为课后作业，课代表小丽统计了本班名同学的答题情况，结果如图所示，则在全班同学答对的题目数这组数据中，众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

14. 已知点，在抛物线上，且与轴的交点为和当时，则，应满足的关系式是(    )

A.  B.
C.  D.

15. 如图，，过点作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得等于(    )

A.  B.  C.  D.

16. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：；；；若点，均在抛物线上，则；其中正确的个数有(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共10分）

17. 二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：

则该图象的对称轴是______．

18. 如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点，其中点不与点重合，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为______．

19. 二次函数的图象如图，对称轴为直线．
    ______；
    若直线与抛物线在的范围内有两个交点，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
21. 本小题分
    最近上海疫情爆发，防护服极度匮乏，上海许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条某种防护服生产线．经调查发现：条防护服生产线最大产能是件天，每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少件天．设该工厂共引进条生产线．
    每条生产线的最大产能是______件天用含的代数式表示．
    若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？
22. 本小题分
    每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首
    暑假将至，我校为确保学生安全，开展了“珍爱生命谨防溺水”的防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用表示，共分为五个等级：
    A.，，，，，
    下面给出了部分信息．
    七年级个学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，
    八年级个学生的竞赛成绩中等级包含的所有数据为：，，，，
    七八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩统计表

根据以上信息，可以求出：______，______；
根据以上数据，你认为______年级的学生的竞赛成绩较好，请说明理由______从两个方面分析；
若规定评分分及以上为优秀，若参加知识竞赛的七年级有人，八年级有人，请估算两个年级学生评分为优秀的学生共有多少个．
 

23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线经过，
    两点，点在直线上，的纵坐标为．
    求、的值及点坐标；
    若点为直线上一动点，且与的面积相等，试求点的坐标．

24. 本小题分
    如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于，连接．
    求证：；
    若，，求菱形的周长和面积．

25. 本小题分
    在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
    同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
    解：，
    ，．
    当时，的值最小，最小值是．
    的最小值是．
    请你根据上述方法，解答下列各题：
    直接写出的最小值为______．
    求代数式的最小值．
    你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
    若，求的最小值．
26. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于，两点．
    求该抛物线的解析式；
    若抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    在坐标平面内是否存在一点，使得、、、围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项，符合题意；
C.，无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．
此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是分式方程，故本选项不合题意；
B.是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
C.当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.未知数是最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：解：、当时，，
函数的图象经过点，选项A不符合题意；
B、，，
函数的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
C、，
的值随值的增大而减小，选项C不符合题意；
D、当时，，解得：，
当时，，选项D符合题意．
故选：．
代入求出值，进而可得出点不在一次函数的图象上，结论不正确；由，，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，结论不正确；由，利用一次函数的性质可得出的值随的增大而减小，即结论不正确；代入求出值，结合的值随的增大而减小，可得出当时，，即结论D正确．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：

，
当时，最大值是，
，
时，最小值是，
故选：．
利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、灵活运用配方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
且，
．
故选：．
根据一次函数图象与系数的关系得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
该函数图象开口向上，有最小值，故正确；
函数图象的对称轴为直线，故错误；
当时，随的增大而增大，故正确；
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故错误；
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【解答】
解：为的中位线，
，
，是的中点，
，
，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于的一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用二次根式的性质得出的符号，进而变形得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设的第三边长为，
当为直角三角形的直角边时，为斜边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长；
当为直角三角形的斜边时，为直角边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长，
综上所述，该三角形的周长为或．
故选：．
先设的第三边长为，由于是直角边还是斜边不能确定，故应分是斜边或为斜边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
 

11.【答案】 

【解析】解：、由二次函数的图象可知，此时直线应经过二、四象限，故A可排除；
B、由二次函数的图象可知，对称轴在轴的右侧，可知、异号，，此时直线应经过一、二、四象限，故B可排除；
C、由二次函数的图象可知，此时直线应经过一、三象限，故C可排除；
D、由二次函数的图象可知，对称轴在轴的右侧，可知、异号，，此时直线应经过一、三、四象限，故D正确．
故选：．
本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴等．
本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致，逐一排除．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知，分钟时，小明离家距离是千米，不变，表示在给菜地浇水，
共分钟，
分钟时，小明离家距离是千米，不变，表示在给玉米地锄草，
共分钟，
所以，小明给菜地浇水、给玉米地锄草共用了：分钟．
故选C．
因为小明给菜地浇水、给玉米地锄草时离开家的距离不变，所以根据图象求出两个部分的时间相加即可得解．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
 

13.【答案】 

【解析】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
把名同学的答对的题目数从小到大排列，排在最中间的数是，故这组数据的中位数是；
故选：．
根据众数和中位数的定义从图中可得．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．解题的关键是准确认识条形图．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，
抛物线经过和，
抛物线对称轴为直线，
，
，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口向上，由点，坐标可得抛物线对称轴，由可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由，，，，可得出，，，从而得出，即可求解．
本题考查了勾股定理的应用，根据求出的结果得出规律是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可知，，
对称轴为，
，
，
，
错误；
图象与轴有两个不同的交点，
；
正确；
图象与轴的一个交点是，
与轴的另一个交点是，
，
正确；
到对称轴的距离是，到对称轴的距离是，
；
正确；
正确，
故选：．
由图象可知，，与轴有两个不同的交点，所以；由于对称轴为，可求，即可确定，所以；再由图象可知函数与轴的一个交点是，则另一个交点是，将点代入可得；利用函数上的点与对称轴的距离之间的关系，确定．
本题考查二次函数的图象及性质；能够从图象中获取信息，再结合函数的对称性解题是关键．
 

17.【答案】直线 

【解析】解：由表格可得，
该函数图象的对称轴为直线，
故答案为：直线．
根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
当最小时，有最小值，
当时，最小，
则，
此时，，，
，
即的最小值是．
故答案为：．
连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、含角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出的最小值．
 

19.【答案】   

【解析】解：抛物线对称轴为直线，
．
故答案为：．
，
函数最大值为，
，
时，为的函数最小值，
时，直线与抛物线在的范围内有两个交点，
故答案为：．
通过抛物线对称轴为直线求解；
将抛物线解析式化为顶点式，通过时的取值范围求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线顶点坐标公式，掌握二次函数与方程的关系．
 

20.【答案】解：，，，
，
则，
即，；

，
，
，
则或，
解得，． 

【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：依题意得：每条生产线的最大产能是件天．
故答案为：．
，
整理得：，
解得：，．
又要尽量控制成本，
．
答：该工厂引进了条生产线．
利用每条生产线的最大产能引进生产线的数量，即可应含的代数式表示出每条生产线的最大产能；
利用该工厂每月生产防护服的数量每条生产线的最大产能引进生产线的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽量控制成本，即可得出该工厂引进了条生产线．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】    七  因为两个年级成绩的平均数相同，八年级成绩的中位数比七年级大，八年级成绩的方差比七年级小，所以七年级的学生的竞赛成绩较好． 

【解析】解：因为七年级个学生的竞赛成绩中分出现了次，次数最多，
所以；
八年级个学生的竞赛成绩的中位数是第八个，
所以，
故答案为：，；
七年级的学生的竞赛成绩较好，
理由：因为两个年级成绩的平均数相同，八年级成绩的中位数比七年级大，八年级成绩的方差比七年级小，
所以七年级的学生的竞赛成绩较好．
个．
答：两个年级学生评分为优秀的学生共有个．
根据平均数，众数，方差的求法可分别求出、、的值；
根据平均数、中位数、方差的意义判断即可．
用各个年级的总人数乘以优秀率即可．
此题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．理解平均数、中位数、众数与方差的概念，并能根据它们的意义解决问题．
 

23.【答案】解：将，两点坐标代入，
得，
解得，
直线解析式：，
点在直线上，的纵坐标为，
，
解得，
，，；
，
，
，
，
，
设中边上的高为，
根据题意，得，
解得，
点纵坐标为或，
代入直线解析式，得或，
解得或，
或． 

【解析】待定系数法求解析式，然后再求点坐标即可；
先求出的面积，再根据与的面积相等，即可求出点坐标．
本题考查了一次函数的综合，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积等，由面积求点坐标要分情况讨论是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
；
四边形是菱形，
，，，
在 中，，
菱形的周长，
菱形的面积． 

【解析】先根据菱形的性质得，，，则利用得到，，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质证明结论；
先根据菱形的性质得，，，再根据勾股定理计算出，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形的周长和面积．
本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，解决小题的关键是判断为直角三角形斜边上的中线．
 

25.【答案】 

【解析】解：的最小值为．
故答案为：；


，
，
，
当时，的值最小，最小值为，
的最小值为；
，
，
，
代数式有最大值，最大值为；
，
，
，
，
，
当时，的值最小，最小值为，
的最小值为．
根据偶次方的非负性可求得；
根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
根据，用表示出，写出，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．
本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．
 

26.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
在该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小，理由如下：
连接交对称轴直线于，如图：

，
抛物线对称轴是直线，
在中令得，
，
，
当最小时，的周长最小，
在抛物线对称轴上，
，
最小时，的周长最小，此时，，共线，最小值即为的长度，
，，
，直线的解析式为，
在中，令得，
；
在坐标平面内存在一点，使得、、、围成的图形是平行四边形，理由如下：
设，又，，，
若，是对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或． 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
连接交对称轴直线于，由，得抛物线对称轴是直线，，由，故当最小时，的周长最小，此时，，共线，最小值即为的长度，根据，得直线的解析式为，令得；
设，又，，，分三种情况：若，是对角线，则，的中点重合，有，解得；若，为对角线，有，解得；若，为对角线，有，解得．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，平行四边形等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．