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2023-2024学年河北省唐山市遵化二中九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年河北省唐山市遵化二中九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. xy+2=1B. x2+12x−9=0C. ax2+bx+c=0D. 2x2=3x−3
2.x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为( )
A. a+bB. a+b2C. a+5b6D. a+4b5
3.将方程2x2−12x+1=0配方成(x−m)2=n的形式，下列配方结果正确的是( )
A. (x+3)2=17B. (x+3)2=172C. (x−3)2=17D. (x−3)2=172
4.若a2=b3=c4，a+b+c=18，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是( )
A. 255分B. 84分C. 84.5分D. 86分
6.如果关于x的一元二次方程(m−3)x2+3x+m2−9=0有一个解是0，那么m的值是
( )
A. 3B. −3C. ±3D. 0或−3
7.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是( )
A. B. C. D.
8.在只有15人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，若选手要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 以上都不对
9.如图，△ABC中，DE//BC，DF//AC，则下列各比例式中，正确的是( )
A. ADDB=DEBC
B. DFAC=DEBC
C. AEEC=BFFC
D. ECAC=BFBC
10.随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好，某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是( )
A. 2(1+x)=6.62B. 2(1+x)2=6.62
C. 2(1+x)+2(1+x)2=6.62D. 2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62
11.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠C
B. ∠APB=∠ABC
C. APAB=ABAC
D. APAB=BPBC
12.一组数据由五个正整数组成，中位数是3，且唯一众数是7，则这五个正整数的平均数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
13.函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程kx2+bx+1=0的根的情况是( )
A. 无实根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
14.如图，某小区规划在一个长16米、宽9m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分钟花草，要使花草的面积都为120m2，那么通道宽应设计成多少m？设通道宽为x m，则下列方程：
①(16−2x)(9−x)=120；
②16×9−9×2x−(16−2x)x=120；
③16×9−9×2x−16x+x2=120；
其中正确的是( )
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
15.如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，AE和CD交于点G，AC是▱ABCD的对角线，则图中相似三角形共有( )
A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对
16.关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，则m的值是( )
A. 1B. −1C. −10D. −19
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.如图，等边三角形ABC边长为3，D为BC上一点，且BD=1，∠ADE=60°，则CE的长为______．
18.一组数据x1x2x3…x8的平均数为8，方差为1.若增加一个数据8后得到一组新数据，那么这组新数据的平均数______8，方差______1(填“>，=，<”)．
19.(1)若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则4m2−6m+2020的值为______．
(2)关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
解方程：
(1)5x+2=3x2．
(2)3x(x−1)=2−2x．
21.(本小题8分)
某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组(每组10人)学生成绩如下(单位：分)
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
(1)以上成绩统计分析表中a= ______，b= ______，c= ______；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
22.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(3k+1)x+2k2+2k=0．
(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长．
23.(本小题8分)
在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(2)若AB=8 3，AD=16，求EC的长．
24.(本小题8分)
某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
25.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=16cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发.沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t s(0(1)当运动时间为多少秒时，△CPQ与△ABC相似？
(2)在P、Q两点运动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能求出此时t的值，若不能，请说明理由．
26.(本小题8分)
某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A−B−C表示墙面)建饲养场，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
(1)如图1，当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE=______米；(用含x的代数式表示)
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
(2)如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、a=0时不是一元二次方程，故此选项错误；
D、是一元二次方程，故此选项正确；
故选：D．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查算术平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．
【解答】
解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，
故50个数的平均数为：10a+40b50=a+4b5．
故选D．
3.【答案】D
【解析】解：2x2−12x+1=0，
x2−6x=−12，
x2−6x+9=−12+9，
(x−3)2=172．
故选：D．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设a2=b3=c4=k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b+c=18，
∴2k+3k+4k=18，
解得：k=2，
即a=2k=4，
故选：C．
设a2=b3=c4=k，根据比例的性质得出a=2k，b=3k，c=4k，代入a+b+c=18，再求出k即可．
本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质的内容是解此题的关键，注意：如果ab=cd，那么ad=bc．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．
【解答】
解：根据题意得：
85×22+3+5+80×32+3+5+90×52+3+5
=17+24+45=86(分)，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
把x=0代入方程(m−3)x2+3x+m2−9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【解答】
解：把x=0代入方程(m−3)x2+3x+m2−9=0中，
得m2−9=0，
解得m=−3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m−3=0，舍去，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，四个选项的三角形中，有135°角的三角形只有B选项的三角形，
且夹135°角的两边的比相等：1 2= 22，
因此满足了两边对应成比例且夹角相等．
故选：B．
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前8名．
【解答】
解：15名参赛选手的成绩各不相同，第8名的成绩就是这组数据的中位数，
所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前8名．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CF=DE，EC=DF，
∴ADDB=CFFB=DEFB≠DEBC，
故A错误；
∵△BDF∽△BAC，
∴DFAC=BFBC，
∵DEBC=CFBC，且BFBC≠CFBC，
∴DFAC≠DEBC，
故B错误；
∵∠A=∠BDF，∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△DBF，
∴AEDF=DEBF，
∴AEEC=FCBF≠BFFC，
故C错误；
∵△DBF∽△ABC，
∴DFAC=BFBC，
∴ECAC=BFBC，
故D正确，
故选：D．
先由DE//BC，DF//AC证明四边形DECF是平行四边形，则CF=DE，EC=DF，由平行线分线段成比例定理得ADDB=CFFB，所以ADDB=CFFB=DEFB≠DEBC，可判断A错误；
由△BDF∽△BAC得DFAC=BFBC，而DEBC=CFBC，且BFBC≠CFBC，所以DFAC≠DEBC，可判断B错误；
由∠A=∠BDF，∠ADE=∠B，证明△ADE∽△DBF，则AEDF=DEBF，可推导出AEEC=FCBF≠BFFC，可判断C错误；
由△DBF∽△ABC，得DFAC=BFBC，所以ECAC=BFBC，可判断D正确．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地运用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质定理列出相应的比例式是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意可列方程为2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62，
故选：D．
根据“三天累计票房6.62亿元”求解即可得出答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握理解题意，找到其中蕴含的相等关系．
11.【答案】D
【解析】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP=∠CAB，
∴当∠ABP=∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；
当∠APB=∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；
当APAB=ABAC时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；
当APAB=BPBC时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
12.【答案】A
【解析】解：据题意得，此题有三个数为3，7，7；
又因为一组数据由五个正整数组成，所以另两个为1，2；
所以这五个正整数的平均数是1+2+3+7+75=4．
故选：A．
首先根据众数与中位数的意义，推出这五个数据，再由平均数的意义得出结果．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题时要注意理解题意，要细心．
13.【答案】C
【解析】解：根据图象可得k<0，b<0，
所以b2>0，−4k>0，
因为Δ=b2−4k=b2−4k>0，
所以Δ>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
先利用一次函数的性质得k<0，b<0，再计算判别式的值得到Δ=b2−4k，于是可判断Δ>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
14.【答案】C
【解析】解：∵长方形土地ABCD的长为16米、宽为9米，且通道宽为x m，
∴剩余部分可合成长为(16−2x)米、宽为(9−x)米的长方形，
∵花草的面积为120m2，
∴根据题意得可列方程：(16−2x)(9−x)=120，方程①正确；
16×9−9×2x−(16−2x)x=120，方程②正确；
16×9−9×2x−16x+2x2=120，方程③不正确．
∴正确的是①②．
故选：C．
由长方形的长、宽及通道宽，可得出剩余部分可合成长为(16−2x)米、宽为(9−x)米的长方形，根据花草的面积为120m2，即可列出关于x的一元二次方程，再对照给出的三个方程后，即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：∵AD//BC，
∴△ADG∽△ECG①，
又∵AB//CD，
∴△ECG∽△EBA②，
∴△ADG∽△EBA③，
由平行四边形的性质可得：△ABC∽△CDA④；
所以共有四对相似三角形．
故选：C．
已知平行四边形的对边平行，平行线截三角形的两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似．
本题考虑平行线截三角形的两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似，注意要找全，不可漏掉任何一个．
16.【答案】B
【解析】解：−x2+6x−m=−(x−3)2+9−m≤9−m，
∵关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，
∴9−m=10，
解得m=−1，
故选：B．
根据−x2+6x−m=−(x−3)2+9−m≤9−m和关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，可以求得m的值．
本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
17.【答案】23
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠DAC+∠ADE，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠DAC+60°，∠DEC=∠DAC+60°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴ABDC=BDCE，
∴32=1CE
∴CE=23，
故答案为：23．
根据相似三角形的判定定理求出△ABD∽△DCE，再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答．
本题考查了相似三角形的性质和判定，找准相似三角形是解题的关键．
18.【答案】= <
【解析】解：x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8×8=64，
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+8=64+8=72，
x−=72÷9=8，
s2=19[(x1−8)2+(x2−8)2+(x3−8)2+(x4−8)2+(x5−8)2+(x6−8)2+(x7−8)2+(x8−8)2+(8−8)2]
=19[(x1−8)2+(x2−8)2+(x3−8)2+(x4−8)2+(x5−8)2+(x6−8)2+(x7−8)2+(x8−8)2]
<18[(x1−8)2+(x2−8)2+(x3−8)2+(x4−8)2+(x5−8)2+(x6−8)2+(x7−8)2+(x8−8)2].
∴s2变小．
故答案为：=，<．
数据x1x2x3…x8的平均数为8，若增加一个数据8后，平均数不变还是8，求9个数据的方差，各数据与平均数差的平方和不变，分母由8变为9，商变小，方差变小．
本题考查了平均数和方差的计算公式，关键是通过计算结果得出结论，有理有据．
19.【答案】2022 0
【解析】解：(1)∵m是方程2x2−3x−1=0的一个根，
∴2m2−3m−1=0，
∴2m2−3m=1，
∴4m2−6m+2020
=2(2m2−3m)+2020
=2×1+2020
=2+2020
=2022，
故答案为：2022；
(2)∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+3=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4(a−1)×3≥0，
解得a≤43，
又∵a−1≠0，
∴整数a的最大值是1，
故答案为：0．
(1)根据m是方程2x2−3x−1=0的一个根，可以得到2m2−3m=1，再将所求式子变形，然后将2m2−3m=1代入计算即可；
(2)根据关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+3=0有实数根，可知Δ≥0，然后即可求得a的取值范围，从而可以得到整数a的最大值．
本题考查配方法的应用、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出m的值和a的值．
20.【答案】解：(1)5x+2=3x2，
3x2−5x−2=0，
∵a=3，b=−5，c=−2，
∴Δ=(−5)2−4×3×(−2)=25+24=49，
∴x=5± 496=5±76，
∴x1=2，x2=−13；
(2)3x(x−1)=2−2x，
3x(x−1)+2x−2=0，
3x(x−1)+2(x−1)=0，
(x−1)(3x+2)=0，
x−1=0或3x+2=0，
解得x1=1，x2=−23．
【解析】(1)先移项，再利用公式法求解即可；
(2)先移项，再利用因式分解法求解即可
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键．
21.【答案】6 7 7 甲
【解析】解：(1)把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是6+62=6，则中位数a=6；
b=110×(5+6+6+6+7+7+7+7+9+10)=7，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c=7．
故答案为：6，7，7；
(2)小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
(3)选乙组参加决赛．理由如下：
S乙2=110[(5−7)2+(6−7)2+…+(10−7)2]=110(4+1+…+9)=110×20=2，
∵甲乙组学生平均数差不多，而S甲2=2.6>S乙2=2，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
(1)根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
(2)根据中位数的意义即可得出答案；
(3)根据平均数与方差的意义即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，众数，方差，正确理解它们的含义是解题关键．
22.【答案】(1)证明：
∵一元二次方程x2−(3k+1)x+2k2+2k=0，
∴Δ=(3k+1)2−4(2k2+2k)=9k2+6k+1−8k2−8k=k2−2k+1=(k−1)2≥0，
∴无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)解：∵△ABC为等腰三角形，
∴有a=b=6、a=c=6或b=c三种情况，
①当a=b=6或a=c=6时，可知x=6为方程的一个根，
∴62−6(3k+1)+2k2+2k=0，解得k=3或k=5，
当k=3时，方程为x2−10x+24=0，解得x=4或x=6，
∴三角形的三边长为4、6、6，
当k=5时，方程为x2−16x+60=0，解得x=6或x=10，
∴三角形的三边长为6、6、10，
②当b=c时，则方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即(k−1)2=0，解得k1=k2=1，
∴方程为x2−4x+4=0，解得x1=x2=2，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
【解析】(1)计算方程的判别式大于等于0即可；
(2)由等腰三角形的性质有a=b=6、a=c=6或b=c三种情况，当b=6或c=6时，可知x=6为方程的一个根，代入可求得k的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当b=c时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于0可求得k，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长，通过判断不满足三角形三边关系需要舍去．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由翻折得∠AFE=∠D=90°，
∴∠BAF=∠CFE=90°−∠AFB，
∵∠B=∠C，∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
(2)解：∵∠B=90°，AB=8 3，AF=AD=16，
∴FB= AF2−AB2= 162−(8 3)2=8，
∵BC=AD=16，
∴FC=BC−FB=16−8=8，
∵△ABF∽△FCE，
∴ABFC=FBEC，
∴EC=FB⋅FCAB=8×88 3=8 33，
∴EC的长是8 33．
【解析】(1)由矩形的性质得∠B=∠C=∠D=90°，由翻折得∠AFE=∠D=90°，则∠BAF=∠CFE=90°−∠AFB，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABF∽△FCE．
(2)由∠B=90°，AB=8 3，AF=AD=16，根据勾股定理得FB= AF2−AB2=8，而BC=AD=16，则FC=BC−FB=8，由相似三角形的性质得ABFC=FBEC，求得EC=FB⋅FCAB=8 33．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠BAF=∠CFE，进而证明△ABF∽△FCE是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20(1+x)2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不合题意，舍去)．
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．
(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，
依题意，得：(2−y)(30+y0.5×20)=70，
整理，得：4y2−5y+1=0，
解得：y1=14，y2=1．
答∵尽量减少库存，
∴y=1．
答：每套A产品需降价1万元．
【解析】(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，根据总利润=每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题可知，AP=2t cm，CQ=t cm，
∵AB=12cm，BC=16cm，
∴AC=20cm，
∴PC=(20−2t)cm，
当△ABC∽△PQC时，CPAC=CQBC，即20−2t20=t16，
解得t=8013；
当△ABC∽△QPC时，1620−2t=20t，
解得t=507；
综上所述：t的值为8013或507；
(2)四边形ABQP与△CPQ的面积能相等，理由如下：
∵四边形ABQP与△CPQ的面积相等，
∴S△ABC=2S△CPQ，
过点P作PG⊥BC交于G点，
∵PGAB=PCAC，
∴PG=35(20−2t)，
∴12×12×16=2×12×t×35(20−2t)，
解得t=2或t=8．
【解析】(1)分两种情况讨论：当△ABC∽△PQC时，CPAC=CQBC，求得t=8013；当△ABC∽△QPC时，求得t=507；
(2)由题意可知S△ABC=2S△CPQ，过点P作PG⊥BC交于G点，求出PG=35(20−2t)，则12×12×16=2×12×t×35(20−2t)，解得t=2或t=8．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
26.【答案】(45−3x)
【解析】解：(1)①设EF的长为x米，则DE=38+2+2−(3x−3)=(45−3x)(米)．
故答案为：(45−3x)．
②依题意得：x(45−3x)=132，
整理得：x2−15x+44=0，
解得：x1=4，x2=11．
当x=4时，45−3x=45−3×4=33>15，不合题意，舍去；
当x=11时，45−3x=45−3×11=12<15，符合题意．
答：饲养场的宽EF的长为11米．
(2)不能达到，理由如下：
设EF的长为y米，则DE=38+15+2+2−(3y−3)2=60−3y2米，
依题意得：y⋅60−3y2=156，
整理得：y2−20y+104=0，
∵Δ=(−20)2−4×1×104=−16<0，
∴该方程没有实数根，
即当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积不能达到156平方米．
(1)①根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出DE的长；
②利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合DE不超过15米，即可得出饲养场的宽EF的长为11米；
(2)不能达到，设EF的长为y米，则DE=60−3y2米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=−16<0，可得出该方程没有实数根，即不能达到．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
a
6
2.6
乙组
b
7
c
S乙2
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. xy+2=1B. x2+12x−9=0C. ax2+bx+c=0D. 2x2=3x−3
2.x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为( )
A. a+bB. a+b2C. a+5b6D. a+4b5
3.将方程2x2−12x+1=0配方成(x−m)2=n的形式，下列配方结果正确的是( )
A. (x+3)2=17B. (x+3)2=172C. (x−3)2=17D. (x−3)2=172
4.若a2=b3=c4，a+b+c=18，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是( )
A. 255分B. 84分C. 84.5分D. 86分
6.如果关于x的一元二次方程(m−3)x2+3x+m2−9=0有一个解是0，那么m的值是
( )
A. 3B. −3C. ±3D. 0或−3
7.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是( )
A. B. C. D.
8.在只有15人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，若选手要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 以上都不对
9.如图，△ABC中，DE//BC，DF//AC，则下列各比例式中，正确的是( )
A. ADDB=DEBC
B. DFAC=DEBC
C. AEEC=BFFC
D. ECAC=BFBC
10.随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好，某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是( )
A. 2(1+x)=6.62B. 2(1+x)2=6.62
C. 2(1+x)+2(1+x)2=6.62D. 2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62
11.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠C
B. ∠APB=∠ABC
C. APAB=ABAC
D. APAB=BPBC
12.一组数据由五个正整数组成，中位数是3，且唯一众数是7，则这五个正整数的平均数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
13.函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程kx2+bx+1=0的根的情况是( )
A. 无实根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
14.如图，某小区规划在一个长16米、宽9m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分钟花草，要使花草的面积都为120m2，那么通道宽应设计成多少m？设通道宽为x m，则下列方程：
①(16−2x)(9−x)=120；
②16×9−9×2x−(16−2x)x=120；
③16×9−9×2x−16x+x2=120；
其中正确的是( )
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
15.如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，AE和CD交于点G，AC是▱ABCD的对角线，则图中相似三角形共有( )
A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对
16.关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，则m的值是( )
A. 1B. −1C. −10D. −19
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.如图，等边三角形ABC边长为3，D为BC上一点，且BD=1，∠ADE=60°，则CE的长为______．
18.一组数据x1x2x3…x8的平均数为8，方差为1.若增加一个数据8后得到一组新数据，那么这组新数据的平均数______8，方差______1(填“>，=，<”)．
19.(1)若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则4m2−6m+2020的值为______．
(2)关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
解方程：
(1)5x+2=3x2．
(2)3x(x−1)=2−2x．
21.(本小题8分)
某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组(每组10人)学生成绩如下(单位：分)
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
(1)以上成绩统计分析表中a= ______，b= ______，c= ______；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
22.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(3k+1)x+2k2+2k=0．
(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长．
23.(本小题8分)
在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(2)若AB=8 3，AD=16，求EC的长．
24.(本小题8分)
某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
25.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=16cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发.沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t s(0
(2)在P、Q两点运动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能求出此时t的值，若不能，请说明理由．
26.(本小题8分)
某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A−B−C表示墙面)建饲养场，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
(1)如图1，当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE=______米；(用含x的代数式表示)
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
(2)如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、a=0时不是一元二次方程，故此选项错误；
D、是一元二次方程，故此选项正确；
故选：D．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查算术平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．
【解答】
解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，
故50个数的平均数为：10a+40b50=a+4b5．
故选D．
3.【答案】D
【解析】解：2x2−12x+1=0，
x2−6x=−12，
x2−6x+9=−12+9，
(x−3)2=172．
故选：D．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设a2=b3=c4=k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b+c=18，
∴2k+3k+4k=18，
解得：k=2，
即a=2k=4，
故选：C．
设a2=b3=c4=k，根据比例的性质得出a=2k，b=3k，c=4k，代入a+b+c=18，再求出k即可．
本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质的内容是解此题的关键，注意：如果ab=cd，那么ad=bc．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．
【解答】
解：根据题意得：
85×22+3+5+80×32+3+5+90×52+3+5
=17+24+45=86(分)，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
把x=0代入方程(m−3)x2+3x+m2−9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【解答】
解：把x=0代入方程(m−3)x2+3x+m2−9=0中，
得m2−9=0，
解得m=−3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m−3=0，舍去，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，四个选项的三角形中，有135°角的三角形只有B选项的三角形，
且夹135°角的两边的比相等：1 2= 22，
因此满足了两边对应成比例且夹角相等．
故选：B．
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前8名．
【解答】
解：15名参赛选手的成绩各不相同，第8名的成绩就是这组数据的中位数，
所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前8名．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CF=DE，EC=DF，
∴ADDB=CFFB=DEFB≠DEBC，
故A错误；
∵△BDF∽△BAC，
∴DFAC=BFBC，
∵DEBC=CFBC，且BFBC≠CFBC，
∴DFAC≠DEBC，
故B错误；
∵∠A=∠BDF，∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△DBF，
∴AEDF=DEBF，
∴AEEC=FCBF≠BFFC，
故C错误；
∵△DBF∽△ABC，
∴DFAC=BFBC，
∴ECAC=BFBC，
故D正确，
故选：D．
先由DE//BC，DF//AC证明四边形DECF是平行四边形，则CF=DE，EC=DF，由平行线分线段成比例定理得ADDB=CFFB，所以ADDB=CFFB=DEFB≠DEBC，可判断A错误；
由△BDF∽△BAC得DFAC=BFBC，而DEBC=CFBC，且BFBC≠CFBC，所以DFAC≠DEBC，可判断B错误；
由∠A=∠BDF，∠ADE=∠B，证明△ADE∽△DBF，则AEDF=DEBF，可推导出AEEC=FCBF≠BFFC，可判断C错误；
由△DBF∽△ABC，得DFAC=BFBC，所以ECAC=BFBC，可判断D正确．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地运用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质定理列出相应的比例式是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意可列方程为2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62，
故选：D．
根据“三天累计票房6.62亿元”求解即可得出答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握理解题意，找到其中蕴含的相等关系．
11.【答案】D
【解析】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP=∠CAB，
∴当∠ABP=∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；
当∠APB=∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；
当APAB=ABAC时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；
当APAB=BPBC时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
12.【答案】A
【解析】解：据题意得，此题有三个数为3，7，7；
又因为一组数据由五个正整数组成，所以另两个为1，2；
所以这五个正整数的平均数是1+2+3+7+75=4．
故选：A．
首先根据众数与中位数的意义，推出这五个数据，再由平均数的意义得出结果．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题时要注意理解题意，要细心．
13.【答案】C
【解析】解：根据图象可得k<0，b<0，
所以b2>0，−4k>0，
因为Δ=b2−4k=b2−4k>0，
所以Δ>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
先利用一次函数的性质得k<0，b<0，再计算判别式的值得到Δ=b2−4k，于是可判断Δ>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
14.【答案】C
【解析】解：∵长方形土地ABCD的长为16米、宽为9米，且通道宽为x m，
∴剩余部分可合成长为(16−2x)米、宽为(9−x)米的长方形，
∵花草的面积为120m2，
∴根据题意得可列方程：(16−2x)(9−x)=120，方程①正确；
16×9−9×2x−(16−2x)x=120，方程②正确；
16×9−9×2x−16x+2x2=120，方程③不正确．
∴正确的是①②．
故选：C．
由长方形的长、宽及通道宽，可得出剩余部分可合成长为(16−2x)米、宽为(9−x)米的长方形，根据花草的面积为120m2，即可列出关于x的一元二次方程，再对照给出的三个方程后，即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：∵AD//BC，
∴△ADG∽△ECG①，
又∵AB//CD，
∴△ECG∽△EBA②，
∴△ADG∽△EBA③，
由平行四边形的性质可得：△ABC∽△CDA④；
所以共有四对相似三角形．
故选：C．
已知平行四边形的对边平行，平行线截三角形的两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似．
本题考虑平行线截三角形的两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似，注意要找全，不可漏掉任何一个．
16.【答案】B
【解析】解：−x2+6x−m=−(x−3)2+9−m≤9−m，
∵关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，
∴9−m=10，
解得m=−1，
故选：B．
根据−x2+6x−m=−(x−3)2+9−m≤9−m和关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，可以求得m的值．
本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
17.【答案】23
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠DAC+∠ADE，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠DAC+60°，∠DEC=∠DAC+60°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴ABDC=BDCE，
∴32=1CE
∴CE=23，
故答案为：23．
根据相似三角形的判定定理求出△ABD∽△DCE，再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答．
本题考查了相似三角形的性质和判定，找准相似三角形是解题的关键．
18.【答案】= <
【解析】解：x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8×8=64，
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+8=64+8=72，
x−=72÷9=8，
s2=19[(x1−8)2+(x2−8)2+(x3−8)2+(x4−8)2+(x5−8)2+(x6−8)2+(x7−8)2+(x8−8)2+(8−8)2]
=19[(x1−8)2+(x2−8)2+(x3−8)2+(x4−8)2+(x5−8)2+(x6−8)2+(x7−8)2+(x8−8)2]
<18[(x1−8)2+(x2−8)2+(x3−8)2+(x4−8)2+(x5−8)2+(x6−8)2+(x7−8)2+(x8−8)2].
∴s2变小．
故答案为：=，<．
数据x1x2x3…x8的平均数为8，若增加一个数据8后，平均数不变还是8，求9个数据的方差，各数据与平均数差的平方和不变，分母由8变为9，商变小，方差变小．
本题考查了平均数和方差的计算公式，关键是通过计算结果得出结论，有理有据．
19.【答案】2022 0
【解析】解：(1)∵m是方程2x2−3x−1=0的一个根，
∴2m2−3m−1=0，
∴2m2−3m=1，
∴4m2−6m+2020
=2(2m2−3m)+2020
=2×1+2020
=2+2020
=2022，
故答案为：2022；
(2)∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+3=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4(a−1)×3≥0，
解得a≤43，
又∵a−1≠0，
∴整数a的最大值是1，
故答案为：0．
(1)根据m是方程2x2−3x−1=0的一个根，可以得到2m2−3m=1，再将所求式子变形，然后将2m2−3m=1代入计算即可；
(2)根据关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+3=0有实数根，可知Δ≥0，然后即可求得a的取值范围，从而可以得到整数a的最大值．
本题考查配方法的应用、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出m的值和a的值．
20.【答案】解：(1)5x+2=3x2，
3x2−5x−2=0，
∵a=3，b=−5，c=−2，
∴Δ=(−5)2−4×3×(−2)=25+24=49，
∴x=5± 496=5±76，
∴x1=2，x2=−13；
(2)3x(x−1)=2−2x，
3x(x−1)+2x−2=0，
3x(x−1)+2(x−1)=0，
(x−1)(3x+2)=0，
x−1=0或3x+2=0，
解得x1=1，x2=−23．
【解析】(1)先移项，再利用公式法求解即可；
(2)先移项，再利用因式分解法求解即可
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键．
21.【答案】6 7 7 甲
【解析】解：(1)把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是6+62=6，则中位数a=6；
b=110×(5+6+6+6+7+7+7+7+9+10)=7，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c=7．
故答案为：6，7，7；
(2)小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
(3)选乙组参加决赛．理由如下：
S乙2=110[(5−7)2+(6−7)2+…+(10−7)2]=110(4+1+…+9)=110×20=2，
∵甲乙组学生平均数差不多，而S甲2=2.6>S乙2=2，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
(1)根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
(2)根据中位数的意义即可得出答案；
(3)根据平均数与方差的意义即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，众数，方差，正确理解它们的含义是解题关键．
22.【答案】(1)证明：
∵一元二次方程x2−(3k+1)x+2k2+2k=0，
∴Δ=(3k+1)2−4(2k2+2k)=9k2+6k+1−8k2−8k=k2−2k+1=(k−1)2≥0，
∴无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)解：∵△ABC为等腰三角形，
∴有a=b=6、a=c=6或b=c三种情况，
①当a=b=6或a=c=6时，可知x=6为方程的一个根，
∴62−6(3k+1)+2k2+2k=0，解得k=3或k=5，
当k=3时，方程为x2−10x+24=0，解得x=4或x=6，
∴三角形的三边长为4、6、6，
当k=5时，方程为x2−16x+60=0，解得x=6或x=10，
∴三角形的三边长为6、6、10，
②当b=c时，则方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即(k−1)2=0，解得k1=k2=1，
∴方程为x2−4x+4=0，解得x1=x2=2，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
【解析】(1)计算方程的判别式大于等于0即可；
(2)由等腰三角形的性质有a=b=6、a=c=6或b=c三种情况，当b=6或c=6时，可知x=6为方程的一个根，代入可求得k的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当b=c时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于0可求得k，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长，通过判断不满足三角形三边关系需要舍去．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由翻折得∠AFE=∠D=90°，
∴∠BAF=∠CFE=90°−∠AFB，
∵∠B=∠C，∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
(2)解：∵∠B=90°，AB=8 3，AF=AD=16，
∴FB= AF2−AB2= 162−(8 3)2=8，
∵BC=AD=16，
∴FC=BC−FB=16−8=8，
∵△ABF∽△FCE，
∴ABFC=FBEC，
∴EC=FB⋅FCAB=8×88 3=8 33，
∴EC的长是8 33．
【解析】(1)由矩形的性质得∠B=∠C=∠D=90°，由翻折得∠AFE=∠D=90°，则∠BAF=∠CFE=90°−∠AFB，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABF∽△FCE．
(2)由∠B=90°，AB=8 3，AF=AD=16，根据勾股定理得FB= AF2−AB2=8，而BC=AD=16，则FC=BC−FB=8，由相似三角形的性质得ABFC=FBEC，求得EC=FB⋅FCAB=8 33．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠BAF=∠CFE，进而证明△ABF∽△FCE是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20(1+x)2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不合题意，舍去)．
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．
(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，
依题意，得：(2−y)(30+y0.5×20)=70，
整理，得：4y2−5y+1=0，
解得：y1=14，y2=1．
答∵尽量减少库存，
∴y=1．
答：每套A产品需降价1万元．
【解析】(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，根据总利润=每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题可知，AP=2t cm，CQ=t cm，
∵AB=12cm，BC=16cm，
∴AC=20cm，
∴PC=(20−2t)cm，
当△ABC∽△PQC时，CPAC=CQBC，即20−2t20=t16，
解得t=8013；
当△ABC∽△QPC时，1620−2t=20t，
解得t=507；
综上所述：t的值为8013或507；
(2)四边形ABQP与△CPQ的面积能相等，理由如下：
∵四边形ABQP与△CPQ的面积相等，
∴S△ABC=2S△CPQ，
过点P作PG⊥BC交于G点，
∵PGAB=PCAC，
∴PG=35(20−2t)，
∴12×12×16=2×12×t×35(20−2t)，
解得t=2或t=8．
【解析】(1)分两种情况讨论：当△ABC∽△PQC时，CPAC=CQBC，求得t=8013；当△ABC∽△QPC时，求得t=507；
(2)由题意可知S△ABC=2S△CPQ，过点P作PG⊥BC交于G点，求出PG=35(20−2t)，则12×12×16=2×12×t×35(20−2t)，解得t=2或t=8．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
26.【答案】(45−3x)
【解析】解：(1)①设EF的长为x米，则DE=38+2+2−(3x−3)=(45−3x)(米)．
故答案为：(45−3x)．
②依题意得：x(45−3x)=132，
整理得：x2−15x+44=0，
解得：x1=4，x2=11．
当x=4时，45−3x=45−3×4=33>15，不合题意，舍去；
当x=11时，45−3x=45−3×11=12<15，符合题意．
答：饲养场的宽EF的长为11米．
(2)不能达到，理由如下：
设EF的长为y米，则DE=38+15+2+2−(3y−3)2=60−3y2米，
依题意得：y⋅60−3y2=156，
整理得：y2−20y+104=0，
∵Δ=(−20)2−4×1×104=−16<0，
∴该方程没有实数根，
即当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积不能达到156平方米．
(1)①根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出DE的长；
②利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合DE不超过15米，即可得出饲养场的宽EF的长为11米；
(2)不能达到，设EF的长为y米，则DE=60−3y2米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=−16<0，可得出该方程没有实数根，即不能达到．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
a
6
2.6
乙组
b
7
c
S乙2
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