2024春八年级数学下册第16章二次根式综合素质评价试卷附解析（安徽专版沪科版）

这是一份2024春八年级数学下册第16章二次根式综合素质评价试卷附解析（安徽专版沪科版），共7页。

第16章综合素质评价一、选择题 (本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．下列式子中，一定是二次根式的是(　　)A．eq \r(－x－2) B．eq \r(x) C．eq \r(x2＋1) D．eq \r(x2－2)2．要使式子eq \f(3,\r(6－2x))在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)A．x<3 B．x≥3 C．x≤3 D．x≠33．若eq \r(x－3)是最简二次根式，则x的值可能是(　　)A．11 B．13 C．21 D．274．【2023·重庆B卷】估计eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)－\f(1,\r(5))))的值应在(　　)A．4和5之间　　　　B．5和6之间　　　　C．6和7之间　　　　D．7和8之间5．【2023·合肥包河大地中学月考】若eq \r(80n)是整数，则正整数n的最小值是(　　)A．2 B．3 C．4 D．56．下列计算中，正确的是(　　)A．5 eq \r(7)－2 eq \r(7)＝21 B．2＋eq \r(2)＝2 eq \r(2) C．eq \r(3)×eq \r(6)＝3 eq \r(2) D．eq \r(15)÷eq \r(5)＝37．已知a1，则eq \r(m)＋eq \f(1,\r(m)－1)的最小值为________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．【2023·武威】计算：eq \r(27)÷eq \f(\r(3),2)×2 eq \r(2)－6 eq \r(2).16．先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,a－3)－a－1))÷eq \f(a2－1,a－3)，其中a＝eq \r(6)＋1.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．【易错题】已知a＝eq \f(\r(3)－1, \r(3)＋1)，b＝eq \f(\r(3)＋1, \r(3)－1).(1)求a2－ab＋b2的值； (2)若a的小数部分为m，b的小数部分为n，求(m＋n)(m－n)的值．18.已知eq \r((x－250)2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(248－x)　))eq \s\up12(2)＝500，y＝eq \r(m＋13)＋eq \r(m－3)＋eq \r(3－m)，求y－5x的平方根．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．已知eq \r(x)－eq \f(1,\r(x))＝3，求eq \r(x2＋\f(1,x2)＋6)的值．20．一只虫子在平面直角坐标系内爬行，从点P出发先向右爬行3个单位，再向上爬行5个单位到达点Q，点P的坐标为(eq \r(2)，n)，点Q的坐标为(m，eq \r(2)＋1)．(1)求m和n的值；(2)已知y＝eq \r(x－2)＋eq \r(2－x)，求x，y及代数式|m－y|＋|n＋x|的值．六、(本题满分12分)21．【2023·合肥庐阳区期末】(1)如图①，在边长为(eq \r(5)＋eq \r(3))cm的正方形的一角剪去一个边长为(eq \r(5)－eq \r(3))cm的小正方形，求图中阴影部分的面积．(2)小明是一名爱动脑筋的学生，他发现沿图①中的虚线将阴影部分剪开，可拼成如图②所示的长方形，请你根据小明的思路求图①中阴影部分的面积．七、(本题满分12分)22．【2023·合肥寿春中学月考】改编阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：∵eq \r(a)×eq \r(a)＝a，(eq \r(2)＋1)(eq \r(2)－1)＝1，∴eq \r(a)与eq \r(a)，eq \r(2)＋1与eq \r(2)－1互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．(1)eq \r(3)－2的有理化因式是________；化简：eq \f(\r(3)＋2,\r(3)－2)＝________；(2)化简：eq \f(1,\r(3)＋1)＋eq \f(1,\r(5)＋\r(3))＋eq \f(1,\r(7)＋\r(5))＋…＋eq \f(1,\r(289)＋\r(287))；(3)拓展应用：已知a＝eq \r(2 024)－eq \r(2 023)，b＝eq \r(2 023)－eq \r(2 022)，c＝eq \r(2 022)－eq \r(2 021)，试比较a，b，c的大小，并说明理由．八、(本题满分14分)23．新考法阅读材料：材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号，如：eq \r((eq \r(1))2＋(eq \r(2))2－2×eq \r(1)×eq \r(2))＝eq \r((eq \r(1)－eq \r(2))2)＝|eq \r(1)－eq \r(2)|＝eq \r(2)－1.材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式， 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：x2＋2 eq \r(2)x＋3＝x2＋2×eq \r(2)·x＋(eq \r(2))2＋1＝(x＋eq \r(2))2＋1.∵(x＋eq \r(2))2≥0，∴(x＋eq \r(2))2＋1≥1，即x2＋2 eq \r(2)x＋3≥1.∴x2＋2 eq \r(2)x＋3的最小值为1.根据上述材料解决下面问题：(1)eq \r(4－2 \r(3))＝________； eq \r(5＋2\r(6))＝________；(2)求x2＋4 eq \r(3)x＋11的最值；(3)已知x＝eq \r(3－eq \r(13－4eq \r(3)))，求－eq \f(1,4)(4＋2eq \r(3))x2y2＋(eq \r(3)＋1)xy－5的最值．答案一、1．C　【点拨】A.当－x－2<0时，它不是二次根式，故本选项不符合题意. B．当x<0时，它无意义，故本选项不符合题意. C．由于x2＋1＞0，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意. D．当x2－2<0时，它无意义，故本选项不符合题意. 2．A　【点拨】根据题意得：6－2x≥0且6－2x≠0，解得x＜3.3．B　【点拨】eq \r(14)÷eq \r(2)＝eq \r(7).∵4＜7＜9，∴2＜eq \r(7)＜3.∴eq \r(14)÷eq \r(2)的运算结果在2到3之间．4．B　【点拨】A.∵eq \r(8)＝2 eq \r(2)，∴eq \r(8)不是最简二次根式，故A选项错误；B.eq \r(10)是最简二次根式，故B选项正确；C.∵eq \r(18)＝3 eq \r(2)，∴eq \r(18)不是最简二次根式，故C选项错误；D.∵eq \r(24)＝2 eq \r(6)，∴eq \r(24)不是最简二次根式，故D选项错误．5．D　【点拨】∵80n＝42×5n，eq \r(80n)是整数，∴正整数n的最小值是5.6．C　【点拨】A.5 eq \r(7)－2 eq \r(7)＝3 eq \r(7)，A选项不符合题意； B.2和eq \r(2)不是同类二次根式，不能合并，B选项不符合题意；C.eq \r(3)×eq \r(6)＝3 eq \r(2)，C选项符合题意；D.eq \r(15)÷eq \r(5)＝eq \r(3)，D选项不符合题意．7．D　【点拨】因为eq \r(－8a3b)有意义，故a，b异号．又因为a＜b，所以a＜0，b＞0.化简后原式为－2aeq \r(－2ab).8．A　【点拨】∵a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，b－a－c＜0，a－b－c＜0，c－a－b＜0，∴原式＝－b＋a＋c－ a＋b＋c－c＋a＋b＝a＋b＋c.9．A　【点拨】∵eq \r(a－8)有意义，∴a≥8. ∴7－a＜0，a－5＞0. ∵eq \r(a－8)＋|7－a|＋eq \r(( a－5)2)＝3b＋2，∴eq \r(a－8)＋7－a＋a－5＝3b＋2，整理得eq \r(a－8)＝3b.∴a－8＝9b2，∴3a－27b2＝24.10．C　【点拨】由题意可知：a＝eq \f(\r(5)－1,2)，b＝eq \f(\r(5)＋1,2)，∴S1＝eq \f(1,1＋a)＋eq \f(1,1＋b)＝eq \f(1,1＋\f(\r(5)－1,2))＋eq \f(1,1＋\f(\r(5)＋1,2))＝1，S2＝eq \f(2,1＋a2)＋eq \f(2,1＋b2)＝eq \f(2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))\s\up12(2))＋eq \f(2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))\s\up12(2))＝2，由规律推导可知S1＋S2＋…＋S100＝1＋2＋…＋100＝5 050.二、11．2　【点拨】根据二次根式性质eq \r(a2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))可知，eq \r((－2)2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2))＝2.12．＞　【点拨】－2 eq \r(5)＝－eq \r(20)，－3 eq \r(3)＝－eq \r(27).∵eq \r(20)＜eq \r(27)，∴－eq \r(20)＞－eq \r(27)，即－2 eq \r(5)＞－3eq \r(3).13．0　【点拨】∵最简二次根式eq \r(a＋b＋1,3a－b)与2eq \r(3)可以合并成一项，∴是同类二次根式，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋1＝2，,3a－b＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，)) ∴eq \r(ab)＝0.14．(1)2eq \r(ab)(2)3　【点拨】(1)若a≥0，b≥0，则a＋b≥2eq \r(ab)，当a＝b时有最小值2eq \r(ab)。(2)eq \r(m)＋eq \f(1,\r(m)－1)＝eq \r(m)－1＋eq \f(1,\r(m)－1)＋1≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－1))\f(1,\r(m)－1))＋1＝3.三、15．【解】eq \r(48)÷eq \r(3)＋eq \r(\f(1,2))×eq \r(12)－eq \r(24)＝4＋eq \r(6)－2 eq \r(6)＝4－eq \r(6).16．【解】原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,a－3)－\f(a2－2a－3,a－3)))÷eq \f((a＋1)(a－1),a－3)＝eq \f(－a2＋3a＋4,a－3)·eq \f(a－3,(a＋1)(a－1))＝－eq \f(a－4,a－1)，当a＝eq \r(6)＋1时， 原式＝－eq \f(\r(6)＋1－4,\r(6)＋1－1)＝－eq \f(\r(6)－3,\r(6))＝－1＋eq \f(\r(6),2).四、17．【解】(1)∵a＋b＝eq \f(\r(3)－1,\r(3)＋1)＋eq \f(\r(3)＋1,\r(3)－1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))\s\up12(2),(\r(3)＋1)(\r(3)－1))＝4，ab＝eq \f(\r(3)－1,\r(3)＋1)×eq \f(\r(3)＋1,\r(3)－1)＝1，∴a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝13.(2)a＝eq \f(\r(3)－1,\r(3)＋1)＝2－eq \r(3)，b＝eq \f(\r(3)＋1,\r(3)－1)＝2＋eq \r(3)。∵1＜eq \r(3)＜2，∴2－eq \r(3)的整数部分是0，小数部分是2－eq \r(3)，即m＝2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)的整数部分是3，小数部分是eq \r(3)－1，即n＝eq \r(3)－1, ∴(m＋n)(m－n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(3)＋\r(3)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(3)－\r(3)＋1))＝3－2 eq \r(3).18．【解】∵eq \r((x－250)2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(248)))－x2＝500，∴248－x≥0.∴x≤248.∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－250))＋248－x＝500.∴250－x＋248－x＝500.∴x＝－1.又∵y＝eq \r(m＋13)＋eq \r(m－3)＋eq \r(3－m)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－3≥0，,3－m≥0.))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥3，,m≤3.))∴m＝3.∴y＝eq \r(m＋13)＝4.∴y－5x＝4－5×(－1)＝9.∵9的平方根为±3，∴y－5x的平方根为±3.五、19．【解】∵eq \r(x)－eq \f(1,\r(x))＝3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(2)＝9.∴x＋eq \f(1,x)＝11.∴eq \r(x2＋\f(1,x2)＋6)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))\s\up12(2)－2＋6)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))\s\up12(2)＋4)＝eq \r(112＋4)＝eq \r(125)＝5 eq \r(5).20．【解】(1)由题意，得m=eq \r(2)+3，n=eq \r(2)+1－5=eq \r(2)－4.(2) ∵y=eq \r(x－2)+eq \r(2－x)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，2－x≥0，)) ∴x=2，∴y=0，∴m－y=eq \r(2)+3＞0，n+x=eq \r(2)－4+2=eq \r(2)－2＜0，∴|m－y|+| n+x |=eq \r(2)+3+2－eq \r(2)=5.六、21．【解】(1)由题意得S阴影＝(eq \r(5)+eq \r(3))2－(eq \r(5)－eq \r(3))2＝5+2eq \r(15)+3－(5－2eq \r(15)+3)＝4eq \r(15)(cm2) (2) 由题意得，图②中长方形的长为(eq \r(5)+eq \r(3))＋(eq \r(5)－eq \r(3))＝2eq \r(5)(cm)，图②中长方形的宽为(eq \r(5)+eq \r(3))－(eq \r(5)－eq \r(3))＝2eq \r(3)(cm)，∴S阴影＝2eq \r(5)×2eq \r(3)＝4eq \r(15)(cm2).七、22．【解】(1)eq \r(3)＋2；－7－4 eq \r(3)【点拨】∵(eq \r(3)－2)(eq \r(3)＋2)＝－1，∴eq \r(3)－2的有理化因式是eq \r(3)＋2.∴eq \f(\r(3)＋2,\r(3)－2)＝eq \f((\r(3)＋2)(\r(3)＋2),(\r(3)－2)(\r(3)＋2))＝eq \f(7＋4 \r(3),－1)＝－7－4eq \r(3).(2)eq \f(1,\r(3)＋1)＋eq \f(1,\r(5)＋\r(3))＋eq \f(1,\r(7)＋\r(5))＋…＋eq \f(1,\r(289)＋\r(287))＝eq \f(\r(3)－1,2)＋eq \f(\r(5)－\r(3),2)＋eq \f(\r(7)－\r(5),2)＋…＋eq \f(17－\r(287),2)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(17,2)＝8.(3)a