2024届高考小题冲刺练 专题08--“8+4+4”小题冲刺练（新高考地区专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

2024届高三“8+4+4”小题期末冲刺练（8）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，∴.
故选: C.
2.设复数，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，得，
∴解得或∵，∴．
故选:B．
3.已知平面向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，，
向量与夹角为锐角，即需且与不共线，
得，解得：，
所以“”是“向量与的夹角为锐角”的充要条件.故C项正确.
故选：C.
4.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
则函数为奇函数，故排除，
当时，，故排除，
故选：C．
5.已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.
由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.
设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：
，整理得：
则，解得
即，解得，代入得
或，再利用焦半径公式得
故选：B.
6.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】A
【解析】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则，
令，解得，两边取常用对数得，即
即，因为，，
所以，解得，因为，所以的最小值为9．
故选：A
7.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设数列的一阶商数列为，二阶商数列为，
则，，，
又数列的二阶商数列是常数列，
则，
则满足，
所以数列是为首项，为公比的等比数列，
则，
所以，
则，，，，，，
等式左右分别相乘可得，
所以，
则，
故选：C.
8.已知函数，设，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，，故为偶函数，
当时，，令，则，即在上单调递增，故，所以，则在上单调递增，
由于，，，所以．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列命题正确的是（ ）
A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为7
B. 若，则．
C. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和4
【答案】BD
【解析】对于选项A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A不正确；
对于选项B：若，则
，故B正确；
对于选项C：在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，其中是线性回归方程的一次项系数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系，故C不正确；
对于选项D：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和4，故D正确.
故选：BD.
10.若直线与圆相交于两点，则长度可能等于（ ）
A. 2B. 4C. D. 7
【答案】BC
【解析】由圆，可得圆心，半径为，
又由直线恒过定点，且点在圆的内部，可得，
当直线时，此时直线与圆相交，截得的弦长最短，
此时，
当直线过圆心时，此时截得的弦长最长，此时，
所以弦长的取值范围为，结合选项，选项B、C符合题意.
故选：BC.
11.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若是偶函数，则 B. 若函数是偶函数，则
C. 若，函数存在最小值 D. 若函数存在极值，则实数a的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A、B中，函数的定义域为，且，
则，则，
则，故恒成立，故，故A正确，B错误；
对于C中，当时，，可得，
令，即，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以C正确；
对于D中：，
因为存在极值，则有零点，令，即，
所以，则，即，解得，所以D正确.
故选：ACD
12.某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ）
A. 甲队积分为9分的概率为B. 四支球队的积分总和可能为15分
C. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
【答案】ABD
【解析】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，
所以甲队积分为9分的概率为，故A正确；
对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，
则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，
所以四支球队的积分总和可能为15分，故B正确；
对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，
则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故C错误；
对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲，
若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，
这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，
在丙输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；
若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，
这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输，
①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率；
②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；
综上概率为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，所以由得，
因为关于x的不等式在区间上有解，所以，
当时，，当时，，
当且仅当时，等号成立，
综上的最大值为1，
故，即实数a的取值范围是.
故答案为：.
14.已知的展开式中的系数为__________.
【答案】
【解析】由，则其展开式的通项，
令，解得，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：.
15.已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，且，则___________.
【答案】
【解析】不妨设，
可得，，
由图可知在一个周期内，
则，，，
又因为，即，可得，解得，
则，解得，
所以，
可知的最小正周期，
所以.
故答案为：.
16.如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为__________.

【答案】
【解析】
如图，作，交于，则，
过作交于点，连接.
因为为直三棱柱，则平面，且，
则平面，且平面，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，所以，
则是二面角的平面角，
所以，所以，
又，，所以，所以，.
可把三棱锥补成棱长为，，的长方体，
则三棱锥的外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：