江苏省句容碧桂园学校2023-2024学年高二下学期数学第1次月考模拟卷

这是一份江苏省句容碧桂园学校2023-2024学年高二下学期数学第1次月考模拟卷，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是（ ）
A．B．6C．D．4
2．已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（ ）
A．32.4B．32.8C．31.4D．31.8
3．已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．14D．49
6．一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是（ ）
A．6B．12C．18D．36
7．有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．300B．360C．390D．420
8．有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（ ）
A.与为对立事件 B.与为相互独立事件 C.与为相互独立事件 D.与为互斥事件
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．直线是曲线的切线 D．若在区间上的最大值为3，则
10．身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
11．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A．B．只有第4项的二项式系数最大
C．各项系数之和为1D．的系数为560
三、填空题
12．甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 .
13．已知直线的斜率为2，且与曲线相切，则的方程为 .
14．设，则 ．
四、解答题
15．已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为．
(1)求的值；
(2)求展开式中含的项的系数；
(3)用二项式定理证明：能被整除.
16．某校举办“复兴杯”围棋比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为，若乙先下，则乙赢的概率为，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下．
(1)求比赛四局乙赢的概率；
(2)已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率．
17．已知函数.
(1)当时，求的最大值.
(2)讨论函数的单调性.
18．在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
(1)有3名内科医生和2名外科医生；
(2)既有内科医生，又有外科医生；
(3)至少有1名主任参加；
(4)既有主任，又有外科医生．
19．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
参考答案：
1．A【详解】由小到大排列的个数据、、、，则，
这四个数为极差为，中位数为，
因为这个数据极差是它们中位数的倍，则，解得，
所以，这四个数由小到大依次为、、、，
因为，故这个数据的第百分位数是.
2．A【详解】令9名女生的身高为，依题意，，，
因此增加一名女生后身高的平均值为，
所以这10名女生身高的方差为
.
3．A【详解】由得：，即的定义域为；
，当时，；当时，；
的单调递增区间为．
4．B【详解】的展开式的通项为．
令，得，则的常数项为，则，
∴“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件.
5．D【详解】的展开式的通项为，
则，，
则展开式中的系数为，
6．B【详解】将老人位置固定，夫妻两人在老人左右，此时有种站法，
将三个孩子插入两两大人之间的空隙中，有种站法，故总的站法有.
7．C【详解】(1)当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为;
(2)当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为；
(3)当5人全部被录取，则不同的录取情况数为；
综上不同的录取情况数共有.
8．B【详解】由题意，与互斥但不对立，故A错；
事件有共种，则，
事件有共种，则，
其中事件有共种，事件有共种，
，
则，所以与相互独立，故B对；
，所以与不独立，故C错；
因为与可同时发生，所以与不互斥，故D错.
9．ABD【详解】由题意可知，
易知时，时，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在上取得极大值，在上取得极小值，即A正确；
又，
所以在区间上分别各有一个零点，即B正确；
联立与得，
若直线是曲线的切线，则切点为，而，所以C错误；
若在区间上的最大值为3，由上可知，所以，
故D正确.
10．ABD【详解】对于A，6个人全排列有种方法，A、C、D全排列有种方法，
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；
对于B，先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，则共有种方法，B正确；
对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；
对于D，6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，
当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，D正确.
11．AD【详解】对于A：由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确；
可得，对于B：因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；
对于C：令，可得各项系数之和为，故C错误；
对于D：因为二项展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数为，故D正确；
12． 【详解】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为，
所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为，
至少两次投中的概率为.
13．【详解】设，令，得，则切点为，
故所求的方程为.
14．【详解】由，
令，得，令，得，
所以.
15．【详解】（1）由题意可得，解得
（2）设的展开式的通项为，则，
令得，．
含的项的系数为；
（3）由二项式定理可知，
各项都能被整除.能被整除
16．【详解】（1）设乙先下乙赢为事件A，甲先下乙赢为事件B，
由题知，，，
设比赛四局乙赢为事件C，
则，
所以比赛四局乙赢的概率为；
（2）已知前两局甲、乙各赢一场，且比赛五局结束比赛，
则第三局和第四局甲、乙各赢一场，第5局甲、乙都有可能赢，
设前两局甲、乙各赢一场，比赛五局为事件D，
则，
所以前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束的概率为
17．【详解】（1）当时，，
由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
故；
（2）定义域为，，
当时，，在上递增；
当时，令，解得，
令，解得.
于是在上单调递增；在上单调递减.
18．【详解】（1）先选3名内科医生共有种选法，
再选2名外科医生共有种选法，故选派方法共有种.
（2）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去人，易得选派方法为：
.
（3）分两类：一是选1名主任有种方法；二是选2名主任有种方法，
故至少有1名主任参加的选派方法共种.
（4）若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法；
若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法，
故既有主任，又有外科医生的选派种数为.
19．【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1，所以，
则.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，得，故第75百分位数为84.
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故这两组成绩的总平均数为，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
.