江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期期末学业水平测试数学模拟卷

这是一份江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期期末学业水平测试数学模拟卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、等式与不等式、计数原理与概率统计
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（ ）
（参考数据：若，则，）
A．683B．841C．977D．955
3．若，，且，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法.

A．108B．96C．84D．48
6．2024年春节期间，有五部电影上映，小李准备和另3名同学一行去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小李看电影，且4人中恰有2人看同一部电影的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，，其中，．若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则（ ）
A．B． C．D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在定义域上恒成立
B．若经过原点的直线与的图象相切于点，则
C．若在区间上单调递减，则的取值范围为
D．若有两个极值点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若，则 .
13．已知，则的值为 ．
14．设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15．电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
(1)求n的值；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望．
(3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”．
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数．（四舍五入后取整）
附：，其中．
若，则．
16．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在唯一的极值点，证明：．
17．作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了4大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品供游客选择；国庆期间甲、乙等5名同学准备从以上4个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的.
(1)分别求“恰有2人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率；
(2)事件“5人中选择博物馆物个数为”，求的值.
18．从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，.
①直接写出，，的值；
②求与的关系式（），并求（）.
19．已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程;
(2)当时，在上恒成立，求的取值范围;
(3)若（是自然对数的底数），求证:.
参考答案：
1．B
【分析】先化简集合，再根据集合的并集运算求解.
【详解】由题意得，则.
故选：B．
2．C
【分析】由题意可知：，则，结合正态分布的原则分析求解.
【详解】由题意可知：，则，
可得，
所以半年后即可出栏的猪的数量约为.
故选：C.
3．D
【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D.
【详解】对于A，由，可得，
又，所以，即，
当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B，由，可得，即，所以，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，由，可得，
所以可得，即，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，易知，
即，当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：D．
4．A
【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，则，，
若则，
即，故充分性成立，
若，则，
解得或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．A
【分析】分类考虑，选2种颜色，或选3种颜色，或选4种颜色涂色，计算出各种情况的涂色方法，根据分类加法原理，即可求得答案.
【详解】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法；
若选3种颜色，则①③或者②④或者①④中必有两块区域同色，另两块区域不同色，共有种涂色方法；
若选4种颜色，共有种涂色方法；
故共有（种）涂色方法，
故选：A
6．C
【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小李看电影，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案，
若小李看电影，且4人中恰有两人看同一部电影，
有两人看电影，则有种方案，有一人看电影，则有种方案，
即满足小李看电影，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案，
所以所求概率.
故选：C.
7．C
【分析】方法一：利用导数研究函数的单调性，结合题意得，等价变形得，设，利用单调性得，求解值域即可得解；方法二：原不等式化为，利用反函数性质得，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可求解；方法三：原不等式化为，构造函数，利用导数研究函数单调性，即可转化为，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可求解.
【详解】方法一：，显然在上单调递增，
故存在唯一的，使得，即，
且当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
因此的最小值为，
则，即.
对两边取对数得，则，
代入得.
设，则，
所以在单调递减且，
可知不等式的解为，
因此.
又，则.
方法二：即，即，
而与互为反函数，
根据互为反函数的函数图象关于直线对称，问题转化为即可，
即恒成立.
设，则，
当时，，当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
故，即得.
方法三：
，
构造，则转化为.
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以有极小值，且，
则转化为，
即，设，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
故，即得.
故选：C
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
8．B
【分析】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案.
【详解】令，则，
由于当时，，故此时，
则在上单调递减，
由于函数是定义在上的奇函数，
则，即为上的偶函数，
则在上单调递增，
而，故，
故当或时，，当或时，，
由可得或，解得或，
故不等式的解集为，
故选：B
【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解.
9．AB
【分析】写出展开式的通项，即可表示出，，从而求出，即可判断A，再利用赋值法判断B、C，将两边对求导可得，再令，即可判断D.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
，
所以，，
因为，所以，解得（舍去）或，故A正确；
由，
令可得，故B正确；
由，
令可得，
令可得，所以，故C错误；
将两边对求导可得，
，
令可得，故D错误.
故选：AB
10．ACD
【分析】根据条件概率公式及全概率公式计算可得.
【详解】因为，，，故A正确；
若发生，则乙箱中有个红球和个黑球，所以，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，
所以，故B错误；
若发生，则乙箱中有个红球和个黑球，所以，故C正确；
所以
，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【分析】对于A，利用导数求得函数的最大值为0，可得结论正确；对于B，依题求出函数在点处的切线方程，代入原点即得；对于C，利用在上恒成立即可求得；对于D，利用在上恒有两不等实根即可求得.
【详解】对于A项，当时，，
当时，，递增，当时，，递减，
则时，取得极大值，即最大值0，故在定义域上恒成立，即A项正确；
对于B项，由可得，即在处的切线斜率为，
切线方程为：，代入原点坐标，得，解得，故B项错误；
对于C项，由求导得，，
因在区间上单调递减，则有在区间上恒成立.
设，则需使即 ，解得，故C项正确；
对于D项，因有两个极值点，则有两个正实根，
需使解得，此时，不妨设，则，
当或时，，递增，当时，，递减，
故在时取极大值，在时取极小值，符合题意，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查利用导数解决不等式恒成立和极值点问题，属于难题.
解决含参数的一元二次不等式恒成立问题，一般可考虑数形结合或者参变分离法求解；求解函数的极值点存在问题，一般将其转化为导函数方程的根的个数问题或者化归成两函数图象的交点个数问题解决.
12．
【分析】利用导数的运算法则，求得，结合，即可求解.
【详解】由函数，可得，
又由.
故答案为：.
13．31
【分析】由二项式定理得，，解得，再由组合数性质求解.
【详解】解：由二项式定理得，
，解得
．
故答案为：31．
14．
【分析】令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求函数最值即可求解.
【详解】因为，令，则，
令，
又对任意，存在
不等式恒成立，又，
即，即恒成立.
又，，
则时，，单调递减；
时，，单调递增，
故；
又当时，，
当且仅当时，等号成立，
故，又，
所以，
故答案为：.
【点睛】不等式恒成立问题，构造一个适当在函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用的技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快在思路，有着非凡的效果.
15．(1)；
(2)分布列见解析，3.75；
(3)（i）能；（ii）2198人．
【分析】（1）根据被调查的男女生人数均为，完成列联表，代入公式计算，得出结果解不等式即可.
（2）由已知，根据二项分布得出的分布列和数学期望；
（3）（i）根据全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，求出，即可判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，根据正态分布求出“反诈达人”的概率，即可估计参与本次知识竞赛的学生人数．
【详解】（1）由已知，完成列联表，
，
根据条件，可得，解得，
因为，所以．
（2）由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，
对“反诈”知识了解的概率为，则，
，
，
，
，
，
．
则X的分布列为
所以．
（3）（i），那么，
则该同学能被评为“反诈标兵”．
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，
“反诈达人”的概率为，
则，解得，
所以参与本次知识竞赛的学生人数约为2198人．
16．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导，分，，三种情况讨论，综合可得；
（2）由（1）得，表示出得的范围，并代入所证不等式，消去a得关于的不等式，构造函数判单调性得最值即可证明.
【详解】（1）因为，
当时，，此时在上恒成立，
所以在上单调递减；
当时，在上单调递减，所以在上有唯一零点，
当时，，在上单调递增，
当时在上单调递减；
当时，在上有零点，
当和时，，所以在和上单调递减，
当时，，所以在上单调递增．
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意可知，
若存在唯一的极值点，
由（1）可知且．
因为，
要证，
只需证①．
因为，所以．
将代入①整理可得，只需证．
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，即原不等式成立．
17．(1)“恰有人选择庆余年馆”的概率为，“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为
(2)答案见解析
【分析】（1）设“恰有人选择庆余年馆”为事件，设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件，求出所有可能选择的方式的种数，利用排列组合思想求出事件、所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得这两个事件的概率；
（2）利用古典概型求解即可.
【详解】（1）所有可能选择的方式有种，设“恰有2人选择庆余年馆”为事件，
则其余人每人都有种选择，所以，
设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件，
则乙有种选择，其余人每人都有种选择，则，
则“恰有人选择庆余年馆”的概率为，
“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为；
（2），，
，.
18．(1)分布列见解析
(2)①，，；②，；
【分析】（1）列出随机变量的所有可能取值并求得对应的概率，写出其分布列即得；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求得，，再通过构造等比数列求得数列的通项即得.
【详解】（1）的可能取值为2和3，
则，
所以随机变量的分布列为：
（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，.
②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
即，，
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
即次传球后球在甲手中的概率是.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查全概率公式应用和数列递推公式的处理方法,属于难题.
解题的关键有二，其一，在用表示事件“经过次传球后，球在甲手中”后 ，要想到运用全概率公式得到，再运用独立事件的概率乘法公式展开得到；其二，在此数列递推式两边凑项，构造等比数列.
19．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）结合导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程，
（2）法一：利用导数证明在上单调递增，利用单调性，讨论，时函数的函数值的变化规律，由此可得的取值范围；
法二：验证时，不等式成立，当时，条件可转化为，结合导数求函数的最小值可得结论；
（3）法一：判断的单调性结合零点存在性定理证明存在，使得，结合函数的单调性可得，再利用导数证明，证明结论；
法二：，在条件下，结合一次函数性质，利用导数证明结论.
【详解】（1）时，，
函数的定义域为，
所以在处的切线斜率
又，
所以函数在处的切线方程为
即切线方程为，
（2）法一: 由已知，令，
则，又，所以，
所以在上单调递增，
又，
当时，，
所以在上单调递增，
恒成立;.
当时，，
所以存在，当时，，
在上单调递减，，
此时在上恒成立，不成立..
综上，，
法二:，
当时，，不等式成立
当时，不等式可化为，
所以，
由已知可得，..
令，则，
令，
则，
所以在上单调递增，，
所以，在单调递增，
又，
综上，
（3）法一:由已知，，
因为函数在都是增函数，
所以在上单调递增，
又，
所以存在，有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以.
令，则
所以在上单调递增，即，
综上:当时，，
法二:令
当，即时，（恒成立）.
当，即时，在时单调递增，
，
令，，
因为在上都为增函数，且，
所以当，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
当，即时，在时单调递减，
所以，
令，则，
因为，所以，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，
综上：当时，
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
性别
不了解
了解
合计
女生
男生
合计
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
性别
不了解
了解
合计
女生
男生
合计
X
0
1
2
3
4
5
P
2
3