精品解析：江苏省镇江市句容碧桂园学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年度第二学期期末检测

高二数学

满分：150分  时长：120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪＝（    ）

A {x|1≤x≤4} B. {x|2≤x≤3}

C. {x|1≤x＜2} D. {x|2＜x≤3}

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解.

【详解】解：因为，或，

所以，，

故选：A．

2. 设向量均为单位向量，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 充要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】将两边平方转化为，从而得到与之间的关系.

【详解】若，则，所以，

，所以，满足充分性；

若，两边平方得，所以，满足必要性．

故选：B．

3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（    ）

A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种

【答案】A

【解析】

【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可.

【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.

故选：A

4. 羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可.

【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，

设小圆锥母线长x，则大圆锥母线长为x＋7，由相似得，即x＝，

所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.

故选：C.

5. 某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（    ）

A. 0.9 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】由题得：，故，

因为，所以根据对称性得：.

故选：D.

6. 已知一组数据的平均数是2，方差是3，则对于以下数据： ，，，，，1，2，3，4，5下列选项正确的是（    ）

A. 平均数是3，方差是7 B. 平均数是4，方差是7

C. 平均数是3，方差是8 D. 平均数是4，方差是8

【答案】D

【解析】

【分析】利用平均数和方差的定义计算即可.

【详解】由题可知，

所以有，所以其平均数为；

故选：D

7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，

则有函数在区间上单调递减，因此，解得，

所以的取值范围是.

故选：D

8. 已知定义在上的奇函数在上单调递减若，则满足的的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇函数的性质可知在上单调递减，原不等式等价于，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得解；

【详解】解：根据奇函数的性质，得在上单调递减，且；由，得，即，所以，解得，

故选：A.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

9. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.

【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，

由图形可知，

，故A错误；

由，四边形为平行四边形，所以，故B正确；

因为,,所以平面,所以，故C正确；

因为，而,所以，故D正确.

故选：BCD

10. 下列说法错误的是（    ）

A. 两个不等式与成立的条件是相同的

B. 函数的最小值是2

C. 函数的最小值为4

D. ，，且，则的最小值是8

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据基本不等式结合对勾函数图象逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为成立的条件；

成立的条件，故A错误；

对于对勾函数的图象如图所示：

对于选项B：因为，

结合对勾函数图象可得函数的值域为，无最值，故B错误；

对于选项C：令，

结合对勾函数图象可知的值域为，无最值，故C错误；

对于选项D：因为，，则，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值是8，故D正确；

故选：ABC.

11. 对于函数，下列说法正确的是（    ）

A. 是偶函数

B. 是奇函数

C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数

D. 没有最小值

【答案】AC

【解析】

【分析】

首先根据奇偶性的定义判断A和B，然后作出的图象，观察图象可知函数的单调性和最值，进而判断C和D.

【详解】，，所以是偶函数；

作出的图象，可知在上是减函数，在上是增函数；

由图象可知函数存在最小值0.

故选：AC.

【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性及最值，考查逻辑思维能力，考查数形结合思想，属于常考题.

12. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（    ）

A. BC1∥平面A1EC

B. 二面角A1－EC－A的正弦值为

C. 点A到平面A1BC1的距离为

D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，连接，使相交于F，连接EF，通过证明即可判断选项正误；B选项，通过证明平面，可得二面角A1－EC－A的平面角为；C选项，利用等体积法结合可得答案；D选项，利用正弦定理，可得外接圆半径，后可得球的半径.

【详解】A选项，连接，使相交于F，连接EF，因F，E分别为中点，

则，因平面，平面，则BC1平面A1EC，故A正确；

B选项，由题可得平面ABC，又平面ABC，则.又，

，平面，平面，则平面.

又平面，则，结合，可知二面角A1－EC－A的平面角为，则，故B错误；

C选项，设点A到平面A1BC1的距离为d，取AC中点为G，连接BG.

则，

又，，，由余弦定理可得，则，

得.则，故C正确.

D选项，设外接圆半径，由正弦定理，.

又设三棱锥外接球半径为，则三棱锥外接球与以外接圆为底面的圆柱外接球相同，则.故D正确

故选：ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．

【答案】64

【解析】

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；

综上所述：不同的选课方案共有种.

故答案为：64.

14. 的展开式的常数项是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】因为的展开式为，

所以展开式的常数项是.

故答案为：.

15. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．

【答案】##

【解析】

【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台体积公式即可得解.

【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，

则，

故，则，

所以所求体积为.

故答案为：.

16. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是__________

【答案】

【解析】

【分析】先将问题的零点问题转化为函数与的交点，分析出的值域，由此判断出零点个数．

【详解】函数的零点，转化为函数与的交点，．当，时,，当时，两函数无交点．所以当时，也无交点．所以交点在范围内，由函数图像可知，有10个交点．

【点睛】方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活性，借助图像可以简化分析思路．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.

（1）有多少种放法？

（2）每盒至多一球，有多少种放法？

（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？

（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？

【答案】（1）256(种)   

（2）24(种)    （3）144(种)   

（4）12(种)

【解析】

【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可；

（2）根据排列的定义求解即可；

（3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解；

（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解.

【小问1详解】

每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.

【小问2详解】

这是全排列问题，共有(种)放法.

【小问3详解】

（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个

盒子，有种投放方法，故共有(种)放法.

（方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，

把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，

所以共有(种)放法.

【小问4详解】

（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，

余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，

故共有(种)放法.

（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，

第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，

由分步计数原理得，共有(种)放法.

18. 已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数c的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由单调性确定的范围，再由奇偶性确定值；

（2）由二次函数性质求解．

【详解】（1）在区间上是单调增函数，即，解得.

又，.

当时，不是偶函数；

当时，是偶函数.

故函数的解析式为.

（2）由（1）知，则.

对任意的恒成立，，且.又，，解得.

故实数c的取值范围是.

【点睛】本题考查幂函数的奇偶性与单调性，考查二次函数恒成立问题．属于中档题

19. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;

(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

【答案】(1) (2)详见解析

【解析】

【详解】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率.

(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.

(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.

(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:

;;

;;

所以的分布列如下:

则数学期望.

考点：分布列 数学期望 概率

20. 如图，在四棱锥中，底面，//，，，.

（1）求证：平面；

（2）试确定的值为多少时？二面角的余弦值为.

【答案】（1）证明见详解   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理分析证明；

（2）建系，利用空间向量处理二面角问题.

【小问1详解】

因为底面，底面，则，

且，，平面，

所以平面.

【小问2详解】

由题意可知：，即为等边三角形，

取的中点，连接，则，

又因为//，则，

如图，以A为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

设，则，

可得，

由（1）可知：平面的法向量，

设平面的法向量，则，

令，则，可得，

由题意可得：，解得，

所以当时，二面角的余弦值为.

21. 为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果.通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

经济作物的收购价格始终为25元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如图所示：

（1）若经济作物的单价（单位：元/公斤）与年份编号之间具有线性相关关系，请求出关于的线性回归方程；

（2）根据（1）中所求的线性回归方程，估计2022年经济作物的单价；

（3）用频率分布直方图估计经济作物的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素，试判断2022年该村应种植经济作物还是经济作物？并说明理由.

参考公式：.

参考数据：.

【答案】（1）   

（2）元/公斤   

（3）应种植经济作物，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据公式，结合已知数据计算即可；

（2）根据（1）计算当时的值即可得答案；

（3）由题知，进而根据频率分布直方图估计平均数得，再计算其收入.

【小问1详解】

解：由表中数据知，，

关于的线性回归方程为.

【小问2详解】

解：2022年对应的年份代号为6，当时，，

故估计2022年经济作物的单价为元/公斤.

【小问3详解】

解：利用频率和为1得，

，

经济作物的亩产量的平均值为：

，

经济作物的收入为元，经济作物的收入为元，

，

故2022年该村应种植经济作物.

22. 已知函数

（1）讨论单调性；

（2）当时，证明

【答案】（1）当，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解即可.

（2）首先将题意等价于只需证，令，再证即可.

【小问1详解】

，

①若，则，在上单调递增；

②若，则当时，，当 时，，

故在上单调递增，在上单调递减．

【小问2详解】

因为，所以只需证.

当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，

所以.

记，

则，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以．

综上，当时，，

即，即证：.