2023-2024学年江苏省宿迁市宿城中专学校高二（下）第二次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市宿城中专学校高二（下）第二次月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则|PF|＝（ ）
A．2B．3C．D．
2．（4分）若复数z满足z（1﹣2i）＝3+i，则的模等于（ ）
A．B．C．2D．3
3．（4分）过点（﹣3，2）且与有相同焦点的椭圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）在三角形ABC中，若则三角形为（ ）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．钝角三角形D．锐角三角形
5．（4分）若函数f（x）＝4sin（）（ω＞0）的最小正周期为π（ ）
A．x＝﹣B．x＝0C．x＝D．x＝
6．（4分）若实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根为1﹣i，则另一个根的三角形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）若，则cs2α等于（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±y＝0B．x±3y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0
9．（4分）已知，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，若将函数f（x）个单位后得到函数g（x）的图象，则＝（ ）
A．1B．C．2D．
二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
11．（4分）在三角形ABC中，a：b：c＝2：3：4，则csC＝ ．
12．（4分）已知三角形ABC中，b（a2﹣b2）＝c（a2﹣c2）（b≠c），则∠A＝ ．
13．（4分）已知，且，则cs2α值为 ．
14．（4分）若，则＝ ．
15．（4分）若点O和点F分别为椭圆+＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则• ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16．（8分）设复数z满足关系式|z|+z＝8+4i，又是实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根．
（1）求复数z；
（2）求m，n的值．
17．（10分）已知，，且，，求csβ的值.
18．（10分）已知正弦型函数f（x）＝Hsin（ωx+φ），其中常数H＞0，，若函数的一个最高点与其相邻的最低点的坐标分别是，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间．
19．（12分）椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，椭圆C经过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点（2，1）且倾斜角为的直线L与椭圆C交于A，求线段AB的值．
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c
（1）求角C的大小；
（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长。
22．（12分）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c＝3，当a取得最小值时，判断三角形的形状．
23．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。
（1）若，证明△ABC为等腰三角形；
（2）若，且（sinA+sinC）2+cs2B＝1+3sinAsinC，求△ABC的面积。
2023-2024学年江苏省宿迁市宿城中专学校高二（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（单项选择，共10题，每题4分，共40分）
1．（4分）已知抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则|PF|＝（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义将P到该抛物线焦点的距离转化为它到准线的距离即可求得答案．
【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝4x，设其焦点为F，
∴其准线l的方程为：x＝﹣7，
设点P（x0，y0）到其准线的距离为d，则d＝|PF|，
即|PF|＝d＝x2﹣（﹣1）＝x0+4
∵点P到y轴的距离是2，
∴x0＝7，
∴|PF|＝2+1＝3．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，属基础题．
2．（4分）若复数z满足z（1﹣2i）＝3+i，则的模等于（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】先求出z，再根据复数模的求法直接求解即可．
【解答】解：由z（1﹣2i）＝8+i，得
z＝＝＝+i，
∴||＝|z|＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查复数代数形式的乘法运算，熟练掌握复数模的求法是解答此题的关键．
3．（4分）过点（﹣3，2）且与有相同焦点的椭圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出已知椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求出所求椭圆的a，然后由隐含条件求出b，则椭圆方程可求．
【解答】解：椭圆的焦点坐标为（），，
所求椭圆与椭圆的焦点相同，2），
则3a＝＝2，
∴a＝，得b2＝15﹣5＝10．
∴所求椭圆的方程为：＝1．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，椭圆的定义的应用，考查计算能力，是基础题．
4．（4分）在三角形ABC中，若则三角形为（ ）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．钝角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【分析】根据题意可得，由此可得答案．
【解答】解：由于，
则由正弦定理得，sinA＝csA，
又A、B为△ABC的内角，
则，
故△ABC为等腰直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查利用正弦定理判断三角形形状，属于基础题．
5．（4分）若函数f（x）＝4sin（）（ω＞0）的最小正周期为π（ ）
A．x＝﹣B．x＝0C．x＝D．x＝
【答案】A
【分析】先根据题意求得ω的值，进而得到函数解析式，再令，可求得对称轴方程，令k＝﹣1即可得到答案．
【解答】解：依题意，，解得ω＝2，
∴，
令，则，
当k＝﹣1时，．
故选：A．
【点评】本题考查正弦型函数的最小正周期及对称性，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（4分）若实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根为1﹣i，则另一个根的三角形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出另一个根，再根据复数的三角形式即可求解．
【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根为2﹣i，
∴另一个根是1+i，
∴另一个根的三角形式为．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及复数的三角形式，难度不大．
7．（4分）若，则cs2α等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据可知csα＝，再根据倍角公式即可求解．
【解答】解：∵，
∴csα＝，
∴cs3α＝2cs2α﹣7＝2×﹣6＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查诱导公式以及倍角公式，难度不大．
8．（4分）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±y＝0B．x±3y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0
【答案】A
【分析】根据题意可得b＝3，进而得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：依题意，，
则b＝4，
故双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，即3x±y＝3，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
9．（4分）已知，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可得，再结合平方关系即可得出答案．
【解答】解：由于，
则，即，
于是，则，
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的求值问题，属于基础题．
10．（4分）已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，若将函数f（x）个单位后得到函数g（x）的图象，则＝（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】先得到函数f（x）的解析式，进而求得g（x）的解析式，再计算即可．
【解答】解：，
依题意，，可得ω＝6，
则，
故，
则．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象及性质，属于基础题．
二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
11．（4分）在三角形ABC中，a：b：c＝2：3：4，则csC＝ ．
【答案】．
【分析】根据题意利用余弦定理即可得解．
【解答】解：不妨设a＝2k，b＝3k，其中k＞5，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理的运用，属于基础题．
12．（4分）已知三角形ABC中，b（a2﹣b2）＝c（a2﹣c2）（b≠c），则∠A＝ ．
【答案】．
【分析】根据已知条件可得a2﹣b2﹣c2﹣bc＝0，再由余弦定理得解．
【解答】解：由于b（a2﹣b2）＝c（a7﹣c2）（b≠c），
则a2b﹣b5＝a2c﹣c3，即a4（b﹣c）﹣（b﹣c）（b2+bc+c2）＝（b﹣c）（a4﹣b2﹣bc﹣c2）＝3，
又b≠c，
则a2﹣b2﹣c3﹣bc＝0，
故，
又A为△ABC的内角，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理的运用，属于基础题．
13．（4分）已知，且，则cs2α值为 ．
【答案】．
【分析】先根据题意得到sinα和csα的值，再由二倍角公式得解．
【解答】解：依题意，，
则，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．
14．（4分）若，则＝ ．
【答案】．
【分析】根据题意可得，再利用商数关系即可得解．
【解答】解：由于，
则，，
可得，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的求值问题，属于基础题．
15．（4分）若点O和点F分别为椭圆+＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则• 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把•表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值．
【解答】解：设P（x，y），
则•＝（x，y）＝x2+x+y2，
又点P在椭圆上，所以x7+x+y2＝x2+x+（5﹣x2）＝x6+x+3＝（x+2）2+4，
又﹣2≤x≤2，
所以当x＝8时，（x+2）2+2取得最大值为5，即•的最大值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，属中档题．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16．（8分）设复数z满足关系式|z|+z＝8+4i，又是实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根．
（1）求复数z；
（2）求m，n的值．
【答案】（1）z＝3+4i；
（2）m＝﹣6，n＝25．
【分析】（1）设z＝a+bi，根据题意建立关于a，b的方程组，解出即可；
（2）根据虚根成对定理和韦达定理即可得解．
【解答】解：（1）设z＝a+bi，
则，
于是，解得，
故z＝3+2i；
（2）依题意，3+4i和7﹣4i为实系数一元二次方程x2+mx+n＝8的两个根，
则，解得．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
17．（10分）已知，，且，，求csβ的值.
【答案】．
【分析】根据，，且，可求出sinα和sin（α+β），再根据csβ＝cs（α+β﹣α）＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα即可求解．
【解答】解：∵，，且，，
∴sinα＝＝，sin（α+β）＝＝，
∴csβ＝cs（α+β﹣α）＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝﹣+＝．
【点评】本题考查平方关系以及和角公式，难度中等．
18．（10分）已知正弦型函数f（x）＝Hsin（ωx+φ），其中常数H＞0，，若函数的一个最高点与其相邻的最低点的坐标分别是，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意可得H＝3，，再代入点的坐标，得到，由此得解；
（2）解不等式，即可得到答案．
【解答】解：（1）依题意，H＝3，，
则，解得ω＝4，
故，
又，
则，
故；
（2）令，
则，
即函数f（x）的单调递增区间为．
【点评】本题考查正弦型函数的图像及性质，属于基础题．
19．（12分）椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，椭圆C经过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点（2，1）且倾斜角为的直线L与椭圆C交于A，求线段AB的值．
【答案】（1）+y2＝1．
（2）．
【分析】（1）根据题意可设椭圆的方程为+＝1，（a＞0，b＞0），则，解得a2，b2，即可得出答案．
（2）根据题意可得直线L的方程为y﹣1＝tan（x﹣2），即y＝x﹣1，联立椭圆的方程，解得A，B坐标，再由两点之间的距离公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可设椭圆的方程为+＝1，b＞4），
则，
解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（2）根据题意可得直线L的方程为y﹣8＝tan（x﹣2），
联立，
解得或，
不妨设A（0，﹣8），），
所以|AB|＝＝．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
【答案】（1）[，2]．
（2）B＝．
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换，化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x+）+1，由已知可得2x+∈[，]，进而可得答案．
（2）根据题意可得f（A）＝sin（2A+）+1＝，解得A，再由正弦定理，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为f（x）＝sin8x+）+1，
因为x∈[0，]，
所以2x+∈[，]，
所以sin（4x+）+1∈[，
所以f（x）的值域为[，2]．
（2）因为f（A）＝sin（2A+）+1＝，
所以sin（2A+）＝，
又因为0＜A＜π，
所以＜2A+＜，
所以当2A+＝，即A＝，
因为a＝b，
所以由正弦定理可得sinA＝，
所以sinB＝，
因为2＜B＜，
所以B＝．
【点评】本题考查正余弦定理的应用，属于中档题．
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c
（1）求角C的大小；
（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长。
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得，进而得到C的值；
（2）由已知条件结合三角形的面积公式可得ab＝6，再利用余弦定理可求得a+b的值，进而求得周长.
【解答】解：（1）∵acsB+bcsA＝2ccsC，
∴由正弦定理可得，sinAcsB+sinBcsA＝2sinCcsC，
又在△ABC中，sin（A+B）＝sinC，
又sinC≠5，则2csC＝1，即，
又C∈（0，π），故；
（2）∵△ABC的面积为，，
∴，则ab＝6，
又c＝，由余弦定理可得，c2＝a2+b3﹣2abcsC＝（a+b）2﹣3ab＝7，
∴（a+b）2＝2+3ab＝25，则a+b＝5，
∴△ABC的周长为。
【点评】本题考查利用三角恒等变换求值，考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题.
22．（12分）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c＝3，当a取得最小值时，判断三角形的形状．
【答案】（1）；（2）当a取得最小值时，△ABC为正三角形．
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，进而得到A的大小；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可得结论．
【解答】解：（1）由，
可得，
即，
即4cs2A﹣4csA+1＝8，
解得，
又A为△ABC的内角，
则；
（2），
又，则，
故，
则，当且仅当，
故当a取得最小值时，△ABC为正三角形．
【点评】本题考查解三角形与基本不等式的运用，属于中档题．
23．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。
（1）若，证明△ABC为等腰三角形；
（2）若，且（sinA+sinC）2+cs2B＝1+3sinAsinC，求△ABC的面积。
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）△ABC的面积S＝。
【分析】（1）根据以及正弦定理求解即可；
（2）先根据正弦定理得到sinB＝sinA，再根据三角函数的平方关系得到cs2B＝1﹣sin2B＝1﹣sin2A，再根据a＝2，b＝得到c＝3，再根据余弦定理求得csC＝＝即可求解。
【解答】解：（1）证明：∵，
∴2csAsinC＝sinB，
∴7csAsinC＝sin（A+C），
∴sinAcsC﹣csAsinC＝0，
∴sin（A﹣C）＝0，
∴A＝C，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵，
∴，
∴sinB＝sinA，
∴cs5B＝1﹣sin2B＝2﹣sin4A，
∵（sinA+sinC）2+cs2B＝7+3sinAsinC，
∴（sinA+sinC）2﹣sin2A＝5sinAsinC，
∴a2+c2+6ac﹣a7＝3ac，
∵a＝2，
∴6+c2+4c﹣2＝6c，
∴c2﹣2c﹣3＝0，
∴c＝7，
∵a＝2，b＝，
∴csC＝＝，
∴sinC＝＝，
∴△ABC的面积S＝absinC＝。
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理，解题的关键在于掌握正弦定理、余弦定理和数值运算，为中等题。