2022-2023学年江苏省镇江市句容市碧桂园学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省镇江市句容市碧桂园学校高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省镇江市句容市碧桂园学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知U=R，A={x|x2−4x+3≤0}，B={x||x−3|>1}，则A∪∁UB=(    )
A. {x|1≤x≤4} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<2} D. {x|2 2. 设向量a,b均为单位向量，则“a⊥b”是“|2a−b|=|a+2b|”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有(    )
A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种
4. 羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为(    )
A. 2π7 B. 3π7 C. 4π7 D. π3
5. 某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N(4,σ2)(σ>0)，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为(    )
A. 0.9 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.1
6. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1，1，2，3，4，5下列选项正确的是(    )
A. 平均数是3，方差是7 B. 平均数是4，方差是7
C. 平均数是3，方差是8 D. 平均数是4，方差是8
7. 设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是(    )
A. (−∞,−2] B. [−2,0) C. (0,2] D. [2,+∞)
8. 已知定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，若f(−2)=1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(    )
A. [−1,1] B. [−2,2]
C. (−∞,−1]∪[1,+∞) D. (−∞,−2]∪[2,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中(    )
A. AE//CD
B. CH//BE
C. DG⊥BH
D. BG⊥DE


10. 下列说法错误的是(    )
A. 两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ ab成立的条件是相同的
B. 函数y=x+1x的最小值是2
C. 函数f(x)=sinx+4sinx的最小值为4
D. x>0，y>0，且xy=4，则x+4y的最小值是8
11. 对于函数f(x)=lg(|x−2|+1)，下列说法正确的是(    )
A. f(x+2)是偶函数
B. f(x+2)是奇函数
C. f(x)在区间(−∞,2)上是减函数，在区间(2,+∞)上是增函数
D. f(x)没有最小值
12. 已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则(    )
A. BC1//平面A1EC
B. 二面角A1−EC−A的正弦值为 55
C. 点A到平面A1BC1的距离为 217
D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为 216
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______ 种(用数字作答)．
14. (2x+1)(1−1x)5的展开式的常数项是______ .(填写具体数字)
15. 在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1= 2，则该棱台的体积为______ ．
16. 已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[−1,1]时，f(x)=2|x|−1，则函数F(x)=f(x)−|lgx|的零点有______ 个.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一个球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
18. (本小题12.0分)
已知幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0,+∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)= f(x)+2x+c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
19. (本小题12.0分)
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值．
20. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)试确定PA的值为多少时？二面角A−PC−D的余弦值为 55．

21. (本小题12.0分)
为了提高农民收入，某农科所实地考察，研究发现某村适合种植A，B两种经济作物，通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如表：
年份编号x
1
2
3
4
5
年份
2017
2018
2019
2020
2021
单价y(元/公斤)
18
20
23
25
29
经济作物B的收购价格始终为25元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

(1)若经济作物A的单价y(单位：元/公斤)与年份编号x具有线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程，并估计2022年经济作物A的单价；
(2)用上述频率分布直方图估计经济作物B的平均亩产量(每组数据以区间的中点值为代表)，若不考虑其他因素，试判断2022年该村应种植经济作物A还是经济作物B？并说明理由．
附：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=elnx−ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a=e时，证明：xf(x)−ex+2ex≤0．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：因为A={x|1≤x≤3}，B={x|x>4或x<2}，
所以∁UB={x|2≤x≤4}，A∪(∁UB)={x|1≤x≤4}．
故选：A．
先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解．
本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：若a⊥b，则a⋅b=0，
所以|2a−b|2=4a2−4a⋅b+b2=5，|a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=5，
所以|2a−b|=|a+2b|，满足充分性，
若|2a−b|=|a+2b|，两边平方得a⋅b=0，所以a⊥b，满足必要性．
故选：B．
将|2a−b|=|a+2b|两边平方转化为a⋅b=0，从而得到与a⊥b之间的关系．
本题主要考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有A55=120种．
故选：A．
将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有A55种，计算即可．
本题考查排列相关知识，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，
设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x+7，由相似得xx+7=13，即x=72，
所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为2π⋅172=4π7．
故选：C．
将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可．
本题主要考查旋转体的结构特征和曲线所对的圆心角，属于中档题．

5.【答案】D 
【解析】解：由题得：P(x≥2)=0.9，故P(x<2)=0.1，
因为6+22=4，所以根据对称性得：P(x≥6)=P(x<2)=0.1．
故选：D．
根据正态分布的对称性求解即可．
本题主要考查正态分布的对称性，考查运算求解能力，属于基础题．

6.【答案】D 
【解析】解：由题可知x1+x2+x3+x4+x5=2×5=10，(x1−2)2+(x2−2)2+(x3−2)2+(x4−2)2+(x5−2)2=3×5=15，
∴2x1+1+2x2+1+2x3+1+2x4+1+2x5+1+1+2+3+4+5=2(x1+x2+x3+x3+x5)+20=2×10+20=40，
∴其平均数为40×110=4，
s2=110[(2x1−3)2+(2x2−3)2+(2x3−3)2+(2x4−3)2+(2x5−3)2+32+22+12+0+12]
=110{4[(x1−2)2+(x2−2)2+(x3−2)2+(x4−2)2+(x5−2)2]+4(x1+x2+x3+x4+x5)−20}
=110(4×15+4×10−20)
=110×80
=8．
故选：D．
利用平均数和方差的定义计算即可．
本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：设t=x(x−a)=x2−ax，对称轴为x=a2，抛物线开口向上，
∵y=2t是t的增函数，
∴要使f(x)在区间(0,1)单调递减，
则t=x2−ax在区间(0,1)单调递减，
即a2≥1，即a≥2，
故实数a的取值范围是[2,+∞)．
故选：D．
利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．
根据题意，分析可得f(x)在R上为减函数，结合f(−2)的值及|f(2x)|≤1，可得−2≤2x≤2，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，
则f(x)在(0,+∞)上也单调递减，
则有f(x)在R上为减函数，
又由f(−2)=1，则|f(2x)|≤1⇔−1≤f(2x)≤1⇔f(2)≤f(2x)≤f(−2)，
则有−2≤2x≤2，故有−1≤x≤1，
即x的取值范围是[−1,1]；
故选：A．
  
9.【答案】BCD 
【解析】解：还原正方体直观图如图，
可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；
由EH= //BC，可得CH//BE，故选项B正确；
正方形中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故选项C正确；
因为BG//AH，且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确．
故选：BCD．
把展开图恢复成正方体，判断其直线平面的位置关系，充分利用平行，垂直问题求解．
本题考查了折叠问题，考查了空间线线之间位置的关系，属于中档题，但是难度不大．

10.【答案】ABC 
【解析】解：对于选项A：因为a2+b2≥2ab成立的条件a，b∈R，a+b2≥ ab成立的条件a，b≥0，故A错误；
对于对勾函数f(x)=x+kx(k>0)的图象如图所示：

对于选项B：因为x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
结合对勾函数图象可得函数y=x+1x的值域为(−∞,−2]⋃[2,+∞)，无最值，故B错误；
对于选项C：令t=sinx∈[−1,0)⋃(0,1]，
结合对勾函数图象可知y=t+4t的值域为(−∞,−5]⋃[5,+∞)，无最值，故C错误；
对于选项D：因为x>0，y>0，则x+4y≥2 x⋅4y=4 xy=8，
当且仅当x=4y=4时，等号成立，
所以x+4y的最小值是8，故D正确；
故选：ABC．
根据基本不等式结合对勾函数图象逐项分析判断．
本题主要考查了基本不等式及对勾函数单调性在函数最值求解中的应用，属于中档题．

11.【答案】AC 
【解析】解：∵f(x)=lg(|x−2|+1)，
∴f(x+2)=lg(|x|+1)是偶函数，
故A正确；B不正确；
∵f(x)=lg(|x−2|+1)=lg(x−1),x≥2lg(−x+3),x<2，
∴f(x)在区间(−∞,2)上是减函数，在区间(2,+∞)上是增函数，故C正确；
∴函数f(x)=lg(|x−2|+1)有最小值，也没有最大值，故D错误．
故选：AC．
利用函数的解析式求解f(x+2)判断函数的奇偶性，从而判断AB的正误；利用函数的单调性判断C的正误；利用函数的性质判断函数的最值，即可判断D的正误．
本题考查函数奇偶性、单调性及最值的判断，是中档题．解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．

12.【答案】ACD 
【解析】解：对A选项，连接A1C，AC1，使相交于F，连接EF，
∵F，E分别为AC1，AB中点，∴EF//BC1，
又EF⊂平面A1CE，BC1⊄平面A1CE，
∴BC1//平面A1EC，故A正确；
对B选项，由题可得A1A⊥平面ABC，又CE⊂平面ABC，
∴CE⊥A1A.又CE⊥AB，AA1∩AB=A，AA1⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，
∴CE⊥平面AA1B1B，又A1E⊂平面AA1B1B，
∴CE⊥A1E，又CE⊥AB，
∴二面角A1−EC−A的平面角为α=∠A1EA，
则sinα=AA1A1E=1 1+14=2 55，故B错误；
对C选项，设点A到平面A1BC1的距离为d，取AC中点为G，连接BG，
则VB−AA1C1=13S△AA1C1⋅BG=13S△A1BC1d=VA−A1BC1，
又S△AA1C1=12AA1⋅A1C1=12，BG= 32，BA1=BC1= 2,A1C1=1，
由余弦定理可得cos∠A1BC1=2+2−14=34，∴sin∠A1BC1= 1−(34)2= 74，
∴S△A1BC1=12BA1⋅BC1⋅sin∠A1BC1= 74，
∴d=S△AA1C1⋅BGS△A1BC1= 34 74= 217，故C正确；
对D选项，设△ABC外接圆半径为r，
由正弦定理可得2r=1 32⇒r= 33，设三棱锥外接球半径为R，
则三棱锥外接球与以△ABC，△A1B1C1外接圆为底面的圆柱外接球相同，
∴R= r2+(12BB1)2= 13+14= 216，故D正确．
故选：ACD．
A选项，连接A1C，AC1，使相交于F，连接EF，通过证明EF//BC1，即可判断选项正误；B选项，通过证明CE⊥平面ABB1A1，可得二面角A1−EC−A的平面角为α=∠A1EA；C选项，利用等体积法结合VB−AA1C1可得答案；D选项，利用正弦定理，可得△ABC外接圆半径，后可得球的半径．
本题考查线面平行的证明，二面角的求解，等体积法求解点面距，三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．

13.【答案】64 
【解析】解：若选2门，则只能各选1门，有C41C41=16种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有C41C42+C42C41=24+24=48，
综上共有16+48=64种不同的方案．
故答案为：64．
利用分类计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．

14.【答案】−9 
【解析】解：第一个因式取x，第二个因式取1x，可得2×C51×(−1)=−10；
第一个因式取1，第二个因式取15，可得1×15=1．
∴(2x+1)(1−1x)5的展开式的常数项是−10+1=−9．
故答案为：−9．
(2x+1)(1−1x)5的展开式的常数项是第一个因式取x，第二个因式取1x；第一个因式取1，第二个因式取常数，故可得结论．
本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．

15.【答案】7 66 
【解析】解：如图，设正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上下底面中心分别为M，N，
过A1作A1H⊥AC，垂足点为H，由题意易知A1M=HN= 22，又AN= 2，
∴AH=AN−HN= 22，又AA1= 2，∴A1H=MN= 62，
∴该四棱台的体积为13×(1+4+ 1×4)× 62=7 66．
故答案为：7 66．
先根据题意求出四棱台的高，再代入台体的体积公式即可求解．
本题考查台体的体积公式的应用，属基础题．

16.【答案】10 
【解析】解：函数F(x)=f(x)−|lgx|的零点个数，即方程f(x)−|lgx|=0的根的个数，
也就是函数y=f(x)与y=|lgx|的交点个数，
作出两函数的图象如图：

由图可知，函数F(x)=f(x)−|lgx|的零点有10个．
故答案为：10．
求函数F(x)=f(x)−|lgx|的零点个数，即方程f(x)−|lgx|=0的根的个数，也就是函数y=f(x)与y=|lgx|的交点个数，画出图象，数形结合得答案．
本题考查函数零点的判定，考查函数与方程的思想，考查函数的周期性，正确作图是关键，是中档题．

17.【答案】解：(1)每一个小球都有4种放法，故共有44=256种．
(2)每个盒至多一个球即每个盒子均有一球，也就是4个元素的排列，故有A44=24种不同的放法；
(3)恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C42A43=144种不同的放法；
(4)分2步进行分析，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，C41=4种选法，再将其余3个盒子装球，
由题意，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，有C31=3种选法，
所以，总方法数为3×4=12种． 
【解析】(1)每一个小球都有4种放法，根据分步计数原理可得．
(2)把4个小球全排列即可，
(3)从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列即可，
(4)根据题意，分2步进行分析：从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，再向其余3个盒子装球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，由分步计数原理计算可得答案；
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的综合运用，解题是要特别注意小球相同与不相同的区别．

18.【答案】解：(1)∵幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0,+∞)上是单调增函数．
∴−m2+2m+3>0，且−m2+2m+3为偶数，
解得m=1，
∴f(x)=x4．
(2)函数g(x)= f(x)+2x+c=x2+2x+c，
g(x)>2，化为c>−x2−2x+2=−(x+1)2+3≤3．
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴c>[−(x+1)2+3]max=3，当且仅当x=−1时取等号．
∴实数c的取值范围是c>3． 
【解析】(1)由幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0,+∞)上是单调增函数．可得−m2+2m+3>0，且−m2+2m+3为偶数，解出即可得出．
(2)函数g(x)= f(x)+2x+c=x2+2x+c，g(x)>2，化为c>−x2−2x+2=−(x+1)2+3，依题意，c>[−(x+1)2+3]max．
本题考查了幂函数的性质、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19.【答案】解：(Ⅰ)设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为23和35．
则P(B)=(1−23)×(1−35)=13×25=215，
再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1−P(B)=1315，
故至少有一种新产品研发成功的概率为1315．
(Ⅱ)由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
由独立试验的概率计算公式可得，
P(X=0)=(1−23)×(1−35)=215，
P(X=120)=23×(1−35)=415，
P(X=100)=(1−23)×35=15，
P(X=220)=23×35=25，
所以X的分布列如下：
X
0
120
100
220
P(x)
 215
 415
 15
 25
则数学期望E(X)=0×215+120×415+100×15+220×25=140． 
【解析】(1)利用对立事件的概率公式，计算即可，
(2)求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．
本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型，属于中档题．

20.【答案】(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，则
PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA⋂AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
(2)解：由题意可知：∠CAD=∠ACD=∠CAB=60°，即△ACD为等边三角形，
取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，
又因为AB//CD，则AE⊥AB，
如图，

以A为坐标原点，AE，AB，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA=m>0，则P(0,0,m)，D( 32,−12,0)，C( 32,12,0)，B(0,2,0)，
可得DC=(0,1,0),PC=( 32,12,−m),BC=( 32,−32,0)，
由(1)可知：平面PAC的法向量BC=( 32,−32,0)，
设平面PCD的法向量n=(x,y,z)，则n⋅DC=y=0n⋅PC= 32x+12y−mz=0，
令x=2m，则y=0,z= 3，可得n=(2m,0, 3)，
平面PAC的法向量BC=( 32,−32,0)，二面角A−PC−D的余弦值为 55，
|cos〈n,BC〉|=|n⋅BC||n|⋅|BC|= 3m 4m2+3× 3= 55，解得m= 3，
所以当PA= 3时，二面角A−PC−D的余弦值为 55． 
【解析】(1)根据线面垂直的性质定理和判定定理分析证明；
(2)建系，利用空间向量处理二面角问题．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)∵x−=1+2+3+4+55=3，y−=18+20+23+25+295=23，b =i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−5x−2=1×18+2×20+3×23+4×25+5×29−5×3×2312+22+32+42+52−5×32=27，a =23−2.7×3=14.9，
则y关于x的回归直线方程为y =2.7x+14.9，
当x=6时，y =2.7×6+14.9=31.1，
即估计2022年经济作物A的单价为31.1元/公斤．
(2)利用频率和为1得：2m=1−(0.010+0.0175+0.0125)×2020=0.01，
所以m=0.005．
经济作物B的亩产量的平均值为：
(360×0.005+380×0.010+400×0.0175+420×0.0125+440×0.005)×20=401，
故经济作物A亩产值为300×31.1=9330元，经济作物B亩产值为25×401=10025元．
∵9330<10025，
∴应该种植经济作物B． 
【解析】(1)利用表格数据求出中心点值，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而利用所求方程进行预测；(2)先利用频率分布直方图的每个小矩形面积之和为1求得m值，再利用平均值公式求其平均值，再比较两种作物的亩产量进行求解．
本题考查回归方程的应用，属于中档题．

22.【答案】解：(1)f′(x)=ex−a(x>0)，
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上为増函数；
②若a>0，则当x0；当x>ea时，f′(x)<0．
故在(0,ea)上，f(x)为増函数；在(ea,+∞)上，f(x)为减函数．
(2)因为x>0，所以只需证f(x)≤exx−2e，
由(1)知，当a=e时，f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数，
所以f(x)max=f(1)=−e．
记g(x)=exx−2e(x>0)，则g′(x)=(x−1)exx2，
所以，当01时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
所以g(x)min=g(1)=−e．
所以当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤exx−2e，即xf(x)−ex+2ex≤0．
解法二：(1)同解法一．
(2)由题意知，即证exlnx−ex2−ex+2ex≤0，
从而等价于lnx−x+2≤exex．
设函数g(x)=lnx−x+2，则g′(x)=1x−1．
所以当x∈(0,1))时，g′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，
故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．
从而g(x)在(0,+∞)上的最大值为g(1)=1．
设函数h(x)=exex，则h′(x)=ex(x−1)ex2．
所以当x∈(0,1))时，h′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0．
故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递増．
从而h(x)在(0,+∞)上的最小值为h(1)=1．
综上，当x>0时，g(x) 【解析】(1)求出函数的导数，通过a的范围，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可．
(2)因为x>0，只需证f(x)≤exx−2e，f(x)max=f(1)=−e.记g(x)=exx−2e(x>0)，利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可证明结果；
解法二：(1)同解法一．
(2)由题意知，即证exlnx−ex2−ex+2ex≤0，等价于lnx−x+2≤exex.设函数g(x)=lnx−x+2，利用函数的导数求解g(x)在(0,+∞)上的最大值为g(1)=1．
设函数h(x)=exex，通过导函数求解最值得到h(x)在(0,+∞)上的最小值为h(1)=1.即可．
本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及二次导函数的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．